【数学】总体取值规律的估计课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2用样本估计总体9.2.1总体取值规律的估计新课导入

面对一个统计问题，在随机抽样获得观测数据的基础上，需要根据数据分析的需要，选择适当的统计图表描述和表示数据，获得样本的规律，并利用样本的规律估计总体的规律，解决相应的实际问题。对于下图的数据，大家可以发现什么规律？问题1:我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准𝑎，用水量不超过𝑎的部分按平价收费，超过𝑎的部分按议价收费.如果希望确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为怎么确定标准更为合理？问题分析

每户居民月均用水量标准如果定得太低，会影响很多居民的日常生活;如果标准太高，则不利于节水为了确定一个较为合理的用水标准，必须先了解在全市所有居民用户中，月用水量在不同范围内的居民用户所占的比例情况.

如果经费、时间等条件允许，我们可以通过全面调查获得过去一年全市所有居民用户的月均用水量数据，进而得到月均用水量在不同范围内的居民用户所占的比例，由于全市居民用户很多，通常采用抽样调查的方式，通过分析样本观测数据，来估计全市居民用户月均用水量的分布情况.思考：在这个问题中，总体、个体、调查变量分别是什么？总体是该市的全体居民用户个体是每户居民调查变量是居民用户的月均用水量假设通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据(单位:t):

在这个实际问题中，因为我们更关心月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据。与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图.思考：如何制作频率分布表、画频率分布直方图呢？1.求极差2.决定组距与组数3.将数据分组4.列频率分布表5.画频率分布直方图1.求极差极差为一组数据中最大值与最小值的差.极差为28.0-1.3=26.72.决定组距与组数

一般数据的个数越多，所分组数也越多.当样本容量不超过100时，常分成5-12组.为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.数据分组可以是等距的，也可以是不等距的，往往按等距分组，或者除了第一和最后的两端，其他各段按等距分组.分组时可以先确定组距，也可以先确定组数.3.将数据分组

由于组距为3,9个组距的长度超过极差，我们可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值.4.列频率分布表注意：频率和必须为15.画频率分布直方图小长方形面积和为1问题：观察上述频率分布表和频率分布直方图，你觉得这组数据中蕴含了哪些有用的信息？你能从图表中发现居民月均用水量的哪些分布规律？能用适当的语言描述吗？（阅读195-196页）思考：频率分布表和频率分布直方图的优缺点（1）频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率，但不够直观、形象，对分析数据分布的总体态势不太方便.（2）频率分布直方图能够直观地表明数据分布的形状，一般呈中间高、两端低、左右对称的“峰”状结构.但是从直方图本身得不到具体的数据内容，也就是说，将数据表示成直方图以后，原式数据不能再图中表示出来.问题

请同学们重新确定组数，对这100个数据再次进行等距分组，画出相应的频率分布直方图，观察不同的组数（组距）对直方图呈现的数据分布规律有什么影响.不同的组数对于直方图呈现数据分布规律的影响

当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原始数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点.

0.004470课堂练习201.组号123456频数1417201615CB3.4.从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛,成绩(单位:分)分组及各组的频数如下:[40,50),2；[50,60),3；[60,70),10；[70,80),15；[80,90),12；[90,100],8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[60,90)的学生比例.解：（1）频率分布表如下.成绩分组频数累计频数频率[40,50)

20.04[50,60)

30.06[60,70)

100.2[70,80)

150.3[80,90)

120.24[90,100]

80.16合计

501.00解：（2）画出频率分布直方图，如图所示.(3)学生成绩在[60,90)的频率为(0.2＋0.3＋0.24)×100%＝74%，所以估计成绩在[60,90)的学生比例为74%.5.为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110(含110)以上为达标，则该校高一年级全体学生的达标率约为多少？解：（1）频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小，(2)若次数在110(含110)以上为达标，则该校高一年级全体学生的达标率约为多少？思考:常见的统计图有哪些？分别适用于统计的数据有什么特点？常见的统计图有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图．扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例；条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势．条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用描述连续型数据等.例2

已知某市2015年全年空气质量等级如下表所示：空气质量等级(空气质量指数(AQI))频数频率优(AQI≤50)8322.8%良(50<AQI≤100)12133.2%轻度污染(100<AQI≤150)6818.6%中度污染(150<AQI≤200)4913.4%重度污染(200<AQI≤300)308.2%严重污染(AQI>300)143.8%合计365100%2016年5月和6月的空气质量指数如下：5月2408056539212645875660191625558565389901251241038189443453798162116886月63921101221021168116315876331026553385552769912712080108333573829014695选择合适的统计图描述数据，并回答下列问题：(1)分析该市2016年6月的空气质量情况；(2)比较该市2016年5月和6月的空气质量，哪个月的空气质量较好？(3)比较该市2016年6月与该市2015年全年的空气质量，2016年6月的空气质量是否好于2015年？解：①根据该市2016年6月的空气质量指数和空气质量等级分级标准，可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数与频率分布表如下：

空气质量等级合计优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

天数415920030频率13.33%50%30%6.67%00100%从表中可以看出，

“优”

“良”的天数达19天，占了整月的63.33%.没有出现“重度污染”和“严重污染”.②我们可以用条形图和扇形图对数据作出直观的描述，如图1和图2.从条形图中可以看出，在前三个等级的占绝大多数，空气质量等级为“良”的天数最多，后三个等级的天数很少，从扇形图中可以看出，空气质量为“良”的天数占了总天数的一半，大约有三分之二为“优”“良”，大多数是“良”和“轻度污染”.因此，整体上6月的空气质量不错.图1图2我们还可以用折线图展示空气质量指数随时间的变化情况，容易发现，6月的空气质量指数在100附近波动．(2)根据该市2016年5月的空气质量指数和空气质量分级标准，可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数和频率分布表如下：空气质量等级合计优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

天数321511031频率10%68%16%3%3%0100%为了便于比较，我们选用复合条形图，将两组数据同时反映到一个条形图上．通过条形图中柱的高低，可以更直观地进行两个月的空气质量的比较．可以发现，5月空气质量为“优”和“良”的总天数比6月多所以，从整体上看，5月的空气质量略好于6月，但5月有重度污染，而6月没有.(3)把2016年6月和2015年全年的空气质量进行比较，由于一个月和一年的天数差别很大，所