2023-2024学年海南省高一下学期阶段性教学检测（三）（4月）数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页海南省2023-2024学年高一下学期阶段性教学检测（三）（4月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求出结果.【详解】由，得到，所以，又，所以，故选：C.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据余弦二倍角公式可得结果.【详解】因为，所以或，又，所以.故选：A.3．扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由扇形的面积公式计算可得.【详解】由扇形的面积公式可得.故选：C.4．已知，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】化弦为切，代入求值.【详解】.故选：B5．函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先验证函数的单调性，再代入验证，由零点存在定理得到零点所在区间.【详解】当时，设，则，故在上是单调递增函数；又，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.故选：C.6．如图是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先研究函数的奇偶性，排除AB，再根据当时，，排除C，经过判断，D选项正确.【详解】A选项，的定义域为，，故为偶函数，图象关于y轴对称，A错误；B选项，的定义域为，，故为偶函数，图象关于y轴对称，B错误；C选项，的定义域为，，故为奇函数，但当时，，不合要求，C错误；D选项，的定义域为，且，故为奇函数，当时，，当时，，满足要求.故选：D7．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指数、对数函数、正弦函数的性质，结合媒介数比较大小即得.【详解】依题意，，而，即，所以.故选：A8．指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计､物理学､生物学､人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数随时间（单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：，其中为常数，为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了，则感染人数累计增加需要的时间大约为（

）（参考数据：，）A．10.5天 B．9天 C．8天 D．6天【答案】B【分析】根据指数函数模型，结合指数与对数运算列方程求解即可得结论.【详解】当时，感染人数累计增加了，则，所以，则，所以，所以感染人数累计增加可得，则，此时，所以，故感染人数累计增加需要的时间大约为天.故选：B.二、多选题9．已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】由对于A中，由，所以，所以A正确；对于B中，当时，可得，所以B不正确；对于C中，由，因为的符号不确定，无法比较大小，所以C不正确；对于D中，由A知，且，根据不等式的性质，可得，所以D正确.故选：AD.10．下列命题是真命题的是（

）A．函数的最小值为2B．若正数满足，则的最小值为16C．若，则函数的最大值为D．若，则函数的最小值为【答案】BC【分析】根据基本不等式的“一正二定三相等”逐项判断即可得结论.【详解】对于A，函数中，故当，，最小值不为2，故A不正确；对于B，若正数满足，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16，故B正确；对于C，若，则函数，当且仅当，即时等号成立，故C正确；对于D，若，则函数，当且仅当，即时取等，但是，取等条件不成立，故，故D不正确.故选：BC.11．对于函数，若存在非零常数，使得，都有，则称为广周期函数，广周期为.已知函数满足，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．是广周期函数C．若为广周期函数，则的广周期只有一个D．若在上的值域为，则在上的值域为【答案】ABD【分析】对于A：由题意可知为的周期，结合周期性分析求解；对于BC：根据广周期函数的定义结合题意分析判断；对于D：由选项BC可得：，结合题意分析求解.【详解】对于选项A：因为，可知为的周期，若，则，故A正确；对于选项B：因为，可知是广周期函数，且1为广周期，故B正确；对于选项C：若为广周期函数，可知存在非零常数，使得，都有，则对任意，则，注意到，可知为的广周期，所以的广周期不唯一，故C错误；对于选项D：由选项BC可得：，即，因为，，若，则，所以；同理可得：若，，则；若，，则；综上所述：在上的值域为，故D正确；故选：ABD.三、填空题12．.【答案】【分析】由对数和指数的运算得出结果即可.【详解】.故答案为：.13．函数在区间上的值域为.【答案】【分析】根据条件，利用和差角公式、二倍角公式及辅助角公式，得到，再根据条件及的性质，即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，令，因为，所以，故答案为：.14．已知函数（其中为自然对数的底数），若方程有三个根，则的取值范围是.【答案】【分析】画出函数图象，数形结合，利用图象确定的范围，再结合对数的运算得到正确结果即可.【详解】作出函数的图象，如下：由图像可知，，由，且，所以，因为，所以，则，又，所以，所以取值范围为，故答案为：.【点睛】方法点睛：对于分段函数求方程根的个数问题，可采用数形结合，画出图象后，从图象上确定所求根的大致范围，再结合对数的运算求解.四、解答题15．（1）化简：；（2）计算：.【答案】（1）；（2）1【分析】（1）利用诱导公式化简得到答案；（2）根据得到，再对原式化简即可得到结果.【详解】（1）（2）因为，所以，所以.16．已知函数，.(1)当时，用单调性定义证明：在区间上单调递减；(2)若在区间内有2个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先有，其次利用单调性的定义结合作差法即可得证；（2）首先，其次由题意可得，且，解不等式组即可求解.【详解】（1）当时，，任取，且，则，因为，所以，所以，即，由函数单调性定义可知，在区间上单调递减.（2）因为，所以函数必有一个零点又因为在区间内有2个零点，所以，且，解得，且，所以实数的取值范围为17．已知锐角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点.(1)求的值；(2)若锐角满足，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知，得到，，由二培角公式化简，即可得到结果.（2）由已知，将切化弦，和正余弦同角间关系联立，解出的正余弦，然后由，两角差的正弦公式计算可得.【详解】（1）由三角函数的定义可得，已知为锐角所以，所以.（2）因为均为锐角，所以.由题意得，解得，所以.18．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.(1)求函数的解析式；(2)若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，设，则，代入当时，，则得到的解析式；（2）用换元法将化为，再由，使得成立”转化为，使得成立”，通过分离参数，得到，由函数的单调性，从而得到实数的取值范围.【详解】（1）设，则，因为是奇函数，所以.因为函数是定义在上的奇函数，所以.综上，.（2）当时，.设，易知当时，，令.，使得成立”即为，使得成立”，所以，使得，又在上单调递增，故，所以实数的取值范围是.19．已知函数.(1)若的最小正周期为，求的值；(2)将函数的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上没有最值，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，化简函数，结合的最小正周期为，即可求解；（2）根据题意，求得，得到，令，则转化为函数在区间