易错突围：第五章 相交线与平行线（解析版）-人教七下期中综合复习

七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）第五章相交线与平行线易错导航相交线与平行线相交线与平行线对顶角、同位角、内错角、同旁内角的判别易错易错点1对顶角、同位角、内错角、同旁内角的判别易错利用邻补角、垂直求角易错易错点2利用邻补角、垂直求角易错平行线的判定与性质易错易错点3平行线的判定与性质易错平行线中拐点问题易错易错点4平行线中拐点问题易错平移易错易错点5平移易错易错训练【易错点1对顶角、同位角、内错角、同旁内角的判别易错】（2021·广东惠来·七年级期末）如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（）A．和互为补角 B．和是同位角C．和是内错角 D．和是对顶角【答案】C【分析】根据同位角、内错角、邻补角、对顶角的定义求解判断即可．【详解】解：A、和是邻补角，故此选项不符合题意；B、和是同位角，故此选项不符合题意；C、和不是内错角，故此选项符合题意；D、和是对顶角，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了同位角、内错角、对顶角以及邻补角的定义，熟记同位角、内错角、邻补角、对顶角的定义是解题的关键．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．【变式训练】1.（2021·全国·七年级专题练习）下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】C【分析】根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，逐一判断即可．【详解】解：①中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故①符合题意；②中∠1和∠2是对顶角，故②不符合题意；③中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故③符合题意；④中∠1和∠2没有公共点，故④符合题意．∴∠1和∠2不是对顶角的有3个，故选C．【点睛】此题考查的是对顶角的识别，掌握对顶角的定义是解决此题的关键．2．（2021·河北阜城·七年级期中）已知如图①～④，其中与是同位角的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角可得答案．【详解】解：图①中∠1与∠2是同位角，图②中∠1与∠2不是同位角，图③中∠1与∠2是同位角，图④中∠1与∠2不是同位角，故选：B．【点睛】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形．3.（2022·全国·七年级）如图，（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角；（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角；（3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角；（4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线_________所截得的________角；（5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线________所截得的________角．【答案】BD（BC）同位AC内错ABACBC同旁内ABACBC同位ABCEBC同旁内【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的性质判断即可；【详解】（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线BD（BC）所截得的同位角；（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线AC所截得的内错角；（3）∠3和∠ABC是直线AB、AC被直线BC所截得的同旁内角；（4）∠ABC和∠ACD是直线AB、AC被直线BC所截得的同位角；（5）∠ABC和∠BCE是直线AB、CE被直线BC所截得的同旁内角．故答案是：BD（BC）；同位；AC；内错；AB；AC；BC；同旁内；AB；AC；BC；同位；AB；CE；BC；同旁内．【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的判断，准确分析判断是解题的关键．【易错点2利用邻补角、垂直求角易错】（2021·全国·七年级专题练习）如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC=40，则∠EOF=_______．【答案】130°【分析】根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=40°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=40°，根据OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°即可．【详解】解：∵AB、CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=40°．∵OD平分∠BOF，∴∠DOF=∠BOD=40°，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°．故答案为130°．【点睛】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．【变式训练】1.（2021·新疆塔城·七年级期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOC的邻补角是___________．若∠AOC＝50°，则∠BOD＝________，∠COB＝________．【答案】∠AOD、∠BOC50°130°【分析】根据邻补角必须是相邻的两个角，即有一条公共边和一个公共顶点的互补的两个角；对顶角有一个公共顶点，其中一个角的两条边是另一个角的两条边的反向延长线，对顶角的度数相等即可得出答案．【详解】解：∠AOC的邻补角是∠BOC，∠AOD；

∵∠BOD的对顶角是∠AOC，∠AOC＝50°，∴∠BOD＝∠AOC＝50°，∵∠COB是∠AOC邻补角，∴∠COB=180°-∠AOC=130°．故答案为：∠AOD、∠BOC，50°，130°【点睛】本题主要考查了邻补角与对顶角的概念和特点，熟练掌握邻补角与对顶角的定义是解题的关键．2.（2021·全国·七年级课时练习）如图，直线，，相交于点．（1）写出，的邻补角；（2）写出，的对顶角；（3）如果，求，的度数．【答案】（1）的邻补角是和，的邻补角是和；（2）的对顶角是，的对顶角是；（3），．【分析】(1)根据邻补角定义“只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角”进行分析；(2)根据对顶角定义“有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线”进行分析即可；(3)根据邻补角互补、对顶角相等可得答案．【详解】解：(1)由图及题意可知：∠AOC的邻补角是∠COB，∠AOD；∠BOE的邻补角是：∠AOE，∠BOF；(2)∠DOA的对顶角是∠COB，∠EOC的对顶角是∠DOF；(3)∵∠AOC=50°，由对顶角相等可知：∴∠BOD=50°，由邻补角互补可知：∠COB=180°-∠BOD=180°-50°=130°．【点睛】本题考查了邻补角及对顶角的定义，掌握邻补角及对顶角的概念是解决本题的关键．3.（2021·山东·平原县育才中学七年级期中）如图，直线AB、CD、EF相交于点O．（1）写出∠COE的邻补角；（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；（3）如果∠BOD=60°，，求∠DOF和∠FOC的度数．【答案】（1）∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）∠DOF=30°，∠FOC=150°【分析】（1）根据邻补角的定义可得结论；（2）根据对顶角的定义可得结论；（3）根据角的互余和互补，计算得解．【详解】（1）∠COE的邻补角有∠COF和∠EOD；（2）∠COE的对顶角为∠DOF，∠BOE的对顶角为∠AOF；（3）∵，∴∠BOF=90°，∴∠DOF=90°-60°=30°，∵∠DOF与∠FOC互为邻补角，∴∠FOC=180°-30°=150°．【点睛】本题考查邻补角、对顶角及余角和补角之间的关系，关键是理解并掌握互余、互补、邻补角、对顶角之间的角度和位置关系．4．（2021·安徽宣城·）如图，OA⊥OB于点O，∠AOD：∠BOD＝7：2，点D、O、E在同一条直线上，OC平分∠BOE，求∠COD的度数．【答案】100°【分析】由垂直的定义结合两角的比值可求解∠BOD的度数，即可求得∠BOE的度数，再利用角平分线的定义可求得∠BOC的度数，进而可求解∠COD的度数．【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOD：∠BOD＝7：2，∴∠BOD＝∠AOB＝20°，∴∠BOE＝180°﹣∠BOD＝160°．∵OC平分∠BOE，∴∠BOC＝∠BOE＝80°，∴∠COD＝∠BOC+∠BOD＝80°+20°＝100°．【点睛】本题考查了角度的计算，垂直的定义，角平分线的定义，结合垂直的定义和两角的比值求出∠BOD的度数是解题的关键．5．（2021·广东·东莞市东华初级中学七年级期中）如图，AB交CD于O，OE⊥AB．（1）若，求∠AOC的度数；（2）若∠AOC∶∠BOC＝1∶2，求∠EOD的度数．【答案】（1）62°；（2）30°【分析】（1）利用垂直及平角即可求得∠AOC的度数；（2）根据∠AOC＋∠BOC＝180°求得∠AOC的度数，再由平角即可求得结果．【详解】解：（1）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，又∵∠EOD＝28°，∠EOD＋∠AOE＋∠AOC＝180°，∴∠AOC＝180°－∠EOD－∠AOE＝180°－28°－90°＝62°；（2）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC＋∠BOC＝180°，∴∠AOC＋2∠AOC＝180°，∴∠AOC＝60°，∴∠EOD＝180°－∠AOC－∠AOE＝180°－60°－90°＝30°．【点睛】本题考查了角的计算，熟练掌握垂直的定义，平角的定义是解题的关键．6．（2021·江苏盐都·七年级期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD．（1）已知∠AOC＝38°12'，求∠BOG的度数；（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠EOB的平分线吗？说明理由．【答案】（1）51°48′；（2）OG是∠EOB的平分线，理由见解析【分析】（1）根据互为余角的意义和对顶角的性质，可得∠AOC＝∠BOD＝38°12′，进而求出∠BOG；（2）求出∠EOG＝∠BOG即可．【详解】解：（1）∵OG⊥CD．∴∠GOC＝∠GOD＝90°，∵∠AOC＝∠BOD＝38°12′，∴∠BOG＝90°﹣38°12′＝51°48′，（2）OG是∠EOB的平分线，理由：∵OC是∠AOE的平分线，∴∠AOC＝∠COE＝∠DOF＝∠BOD，∵∠COE+∠EOG＝∠BOG+∠BOD＝90°，∴∠EOG＝∠BOG，即：OG平分∠BOE．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及余角，熟练掌握角平分线的定义及余角是解题的关键．7．（2021·浙江衢州·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥OF，且OA平分∠COE．（1）若∠DOE＝50°，求∠BOF的度数．（2）设∠DOE＝α，∠BOF＝β，请探究α与β的数量关系（要求写出过程）．【答案】（1）25°；（2）α=2β【分析】（1）先根据平角的定义得：∠COE=130°，由角平分线的定义和垂线的定义可得∠BOF的度数；（2）根据（1）中的过程可得结论．【详解】解：（1）∵∠DOE=50°，∴∠COE=180°-∠DOE=180°-50°=130°，∵OA平分∠COE，∴∠AOE=∠COE=×130°=65°，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-65°-90°=25°；（2）∵∠DOE=α，∴∠COE=180°-∠DOE=180°-α，∵OA平分∠COE，∴∠AOE=∠COE=（180°-α）=90°-α，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠BOF=β=180°-∠AOE-∠EOF=180°-（90°-α）-90°=α，即α=2β．【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及邻补角的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义是关键．【易错点3平行线的判定与性质易错】（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知，．（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．（2）若DE平分，，求的度数．【答案】解：（1）DE∥BC．理由：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴∠EFC=∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF=∠ADE，又∵∠DEF=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC．（2）∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∵∠BDC=3∠B，∴∠BDC=3∠ADE=3∠CDE，又∵∠BDC+∠ADC=180°，3∠ADE+2∠ADE=180°，解得∠ADE=36°，∴∠ADF=72°，又∵AD∥EF，∴∠EFC=∠ADC=72°．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．【变式训练】1．（2021·河南驻马店市·七年级期末）如图所示，下列四组条件中，能得到AB//CD的是（）A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCDC．∠ABC=∠ADC，∠2=∠3D．∠BAD+∠ABC=180°【答案】C【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定并能准确识图是解题关键．2．（2021·全国七年级）如图，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，则∠D的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】A【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题关键．3．（2020·高台县南华初级中学八年级期末）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°【答案】B【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记判定定理是解题的关键．4．（2020·沈阳市雨田实验中学八年级期末）如图，于点，，，则（）A．112° B．122° C．132° D．142°【答案】C【点睛】此题主要考查了平行线的性质，掌握垂直与平行线的性质并准确得出∠BAC度数是解题关键．5．（2020·吉林省第二实验学校九年级月考）已知，一个含有30°的角的三角尺按如图所示位置摆放，若，则的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．65°【答案】B【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是根据题意作出平行线进行求解．6．（2020·西安市曲江第一中学九年级期末）如图，已知，把三角尺的直角顶点放在直线a上．若，则的度数为（）A．130° B．140° C．145° D．150°【答案】A【点睛】此题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题关键．7．（2020·河南南阳市·七年级期末）如图，写出一个能判定EC∥AB的条件是____．【答案】∠DCE=∠B（答案不唯一）【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．8．（2021·保定市莲池区贺阳外国语学校八年级期末）如图，，垂足为点，，，则的度数为________．【答案】50°【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠ACB=40°．9．（2019·黑龙江绥化市·八年级期末）如图，∠1=120°，∠2=45°，若使b∥c，则可将直线b绕点A逆时针旋转_________度.【答案】15【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．10．（2020·宁波市惠贞书院七年级期中）如图，，，平分，，，为______°．【答案】20【点睛】本题主要考查平行线的性质，涉及到角的和差，角平分线的性质，解题的关键是求得∠BCE．11．（2020·河南省淮滨县第一中学七年级期末）如图，直线，，若＝，则＝________度．【答案】52【点睛】此题考查平行线的性质，三角形外角性质，关键是根据平行线的性质得出同位角相等．12．（2020·河南濮阳市·油田十中八年级期中）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为______．【答案】【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键．13．（2021·重庆万州区·七年级期末）补全解答过程：如图，EF∥AD，∠1=∠2，若∠BAC=70°，求∠AGD．解：∵EF∥AD，（已知）∴∠2=，（两直线平行，同位角相等）．又∵∠1=∠2，（已知）∴∠1=∠3，（等量代换）∴AB∥，（）∴∠AGD＋∠BAC=180°．（）∵∠BAC=70°，（已知）∴∠AGD=．【答案】∵EF∥AD（已知），∴∠2=∠3．（两直线平行，同位角相等）又∵∠1=∠2，（已知）∴∠1=∠3，（等量代换）∴AB∥DG．（内错角相等，两直线平行）∴∠BAC+∠AGD=180°．（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠BAC=70°，（已知）∴∠AGD=110°．故答案为：∠3；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；110°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解平行线的判定与性质进行证明是解此题的关键．14．（2021·四川宜宾市·七年级期末）如图，A、B、C和D、E、F分别在同一条直线上，且∠1＝∠2，∠C＝∠D，试完成下面证明∠A＝∠F的过程．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠3（）∴（等量代换）∴BD//CE（）∴∠D+∠DEC＝（）又∵∠C＝∠D（已知）∴∠C+∠DEC＝180°（）∴（）∴∠A＝∠F（）【答案】证明：∵∠1=∠2（已知），∠2=∠3（对顶角相等），∴∠1=∠3（等量代换），

∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），

∴∠D+∠DEC=180°（两直线平行，同旁内角互补），

又∵∠C=∠D（已知），

∴∠C+∠DEC=180°（等量代换），

∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行），

∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：对顶角相等；∠1=∠3；同位角相等，两直线平行；180°；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；DF∥AC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．15．（2020·四川资阳市·七年级期末）如图，直线和直线相交于点，连接，点分别在、、上，连接、，是上一点，已知（1）求证：；（2）若平分，，求的度数．（用表示）【答案】解：（1）∵∠3＋∠DFE＝180°，∠1＋∠3＝180°∴∠DFE＝∠1，∴AB∥EF，∴∠CEF＝∠EAD；（2）∵AB∥EF，∴∠2＋∠BDE＝180°又∵∠2＝α∴∠BDE＝180°−α又∵DH平分∠BDE∴∠1＝∠BDE＝（180°−α）∴∠3＝180°−（180°−α）＝90°＋α．【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定等知识点，注意：①内错角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．16．（2020·贵州遵义市·七年级期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG相交于点H，∠C＝∠EFG，∠BFG＝∠AEM，求证：AB∥CD．（完成下列填空）证明：∵∠BFG＝∠AEM（已知）且∠AEM＝∠BEC（）∴∠BEC＝∠BFG（等量代换）∴MC∥（）∴∠C＝∠FGD（）∵∠C＝∠EFG（已知）∴∠＝∠EFG，（等量代换）∴AB∥CD（）【答案】证明：∵∠BFG＝∠AEM（已知）且∠AEM＝∠BEC（对顶角相等）∴∠BEC＝∠BFG（等量代换）∴MC∥GF（同位角相等，两直线平行）∴∠C＝∠FGD（两直线平行，同位角相等）∵∠C＝∠EFG（已知）∴∠FGD＝∠EFG，（等量代换）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案是：对顶角相等；GF；同位角相等，两直线平行；FGD；内错角相等，两直线平行．【点睛】考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．17．（2021·广东深圳市·八年级期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______；（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？【答案】（1）∵AM//BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；故答案为：116°；58°；（2）不变，∠APB=2∠ADB，∵AM//BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB=2∠ADB；（3）∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN∴∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，∴∠CBD＝58°，∴∠ABC+∠DBN＝58°，∴∠ABC＝29°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等．18．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）三角形ABC中，D是AB上一点，交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接BE，若，，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若，BE平分，求的度数．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴，又∵∠BCF＋∠ADE＝180°，∴，∴，（2）解：过E作，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，又∵，∴，答：的度数是100°，（3）解：∵BE平分，，∴，∴，∴设，则，∵DE∥BC，∴，，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，答：的度数是12°．【点睛】本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及其性质的有关知识．19．（2021·河南驻马店市·七年级期末）已知：△ABC和平面内一点D．（1）如图1，点D在BC边上，过D点作DE//BA交AC于点E，作DF//CA交AB于点F，判断∠EDF与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF//CA，∠EDF＝∠A，请你判断DE与BA的位置关系．并说明理由．（3）如图3，点D在△ABC的外部，若作DE//BA，DF//CA，请直接写出∠EDF与∠A数量关系．【答案】解：（1）∠EDF=∠A．理由：∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠A=∠DEC，∠DEC=∠EDF，∴∠A=∠EDF；（2）DE∥BA．证明：如图，延长BA交DF于G．∵DF∥CA，∴∠2=∠3．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．∴DE∥BA．（3）∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°．理由：①如图，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠D+∠E=180°，∠E+∠EAF=180°，∴∠EDF=∠EAF=∠BAC；②如图，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠D+∠F=180°，∠F=∠CAB，∴∠EDF+∠BAC=180°．综上，∠EDF与∠A相等或互补【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．【易错点4平行线中拐点问题易错】（2020·浙江金华市·七年级期中）如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，求∠APC的度数；（问题迁移）（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（问题应用）：（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．【答案】解：（1）过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

（2）∠APC=∠α+∠β，

理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）如图所示，当P在BD延长线上时，

∠CPA=∠α-∠β；

如图所示，当P在DB延长线上时，

∠CPA=∠β-∠α．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．【变式训练】1．（2021·全国九年级专题练习）如图，将一块带有60°角的直角三角板放置在一组平行线上，若∠1=35°，则∠2的度数应该是（

）A．60° B．35° C．30°

D．25°【答案】D【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2021·河南新乡市·七年级期末）如图，已知直线，，，则等于（）A．110° B．100° C．130° D．120°【答案】A【点睛】本题考查平行线的性质，是重要考点，作平行辅助线、掌握相关知识是解题关键．3．（2020·四川攀枝花市·七年级期末）如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（）A．20° B．25° C．35° D．50°【答案】A【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．4．（2020·重庆市万州第二高级中学九年级期中）如图，直线为直角，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．5．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．6．（2020·湖北随州市·七年级期末）如图，直线a∥b∥c，直角∠BAC的顶点A在直线b上，两边分别与直线a，c相交于点B，C，则∠1＋∠2的度数是___________．【答案】270°【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．7．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，直线∥，△的顶点和分别落在直线和上，若∠1＝60°，且∠1＋∠2＝90°，则的度数是______°．【答案】30【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解决问题的关键．8．（2020·山东青岛市·七年级期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__°．【答案】46【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．9．（2020·河南郑州市·郑州外国语中学九年级月考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为_____．【答案】48°【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．10．（2021·全国九年级）如图，AEFC是折线，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所满足的关系式为_______________；【答案】或【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用与辅助线的作法．11．（2020·上海静安区·七年级期中）（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，①请尝试探索，，三者的数量关系．②请说明理由．【答案】解：（1）过点E作EF∥AB，

∴∠A=∠AEF，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠FEC=∠C，

∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，

∴∠AEC=∠A+∠C；

（2）①∠1+∠2-∠E=180°，

②过点E作EF∥AB，

∴∠AEF+∠1=180°，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠FEC=∠2，

即∠CEA+∠AEF=∠2，

∴∠AEF=∠2-∠CEA，

∴∠2-∠CEA+∠1=180°，

即∠1+∠2-∠AEC=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．12．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学七年级月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝．【答案】问题情境1：如图2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°，故答案为∠B+∠P+∠D＝360°；问题情境2如图3，∠P＝∠B+∠D，理由是：过点P作EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，∴∠BPD＝∠B+∠D，即∠P＝∠B+∠D；故答案为∠P＝∠B+∠D；问题迁移：（1）如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∴∠EBF+∠EDF＝140°，∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）如图5，∠E+∠M＝60°，理由是：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∠E＝60﹣x﹣y，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+∠M＝60°；（3）如图5，∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，∴∠M＝；故答案为∠M＝．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．【易错点5平移易错】（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，△ABC经过平移得到△A’B’C’，图中△_________与△_________大小形状不变，线段AB与A’B’的位置关系是________，线段CC’与BB’的位置关系是________．【答案】ABCA’B’C’平行平行【解析】【分析】根据平移的性质：经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等，平移不改变图形的形状、大小和方向，进行求解即可．【详解】解：∵是△ABC经过平移得到的，∴图中△ABC与大小形状不变，线段AB与线段的位置关系式平行，线段与线段的关系式平行，故答案为：ABC，，平行，平行．【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平移的性质．【变式训练】1．（2021·山东·济宁市第十三中学七年级阶段练习）在以下现象中，属于平移的是（）①在荡秋千的小朋友；②打气筒打气时，活塞的运动；③自行车在行进中车轮的运动；④传送带上，瓶装饮料的移动．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】D【解析】【分析】判断生活中的现象，是否是平移，要根据平移的定义，进行判断，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．【详解】解：①在荡秋千的小朋友，是旋转，故此选项错误；②打气筒打气时，活塞的运动，是平移，故此选项正确；③自行车在行进中车轮的运动，是旋转，故此选项错误；④传送带上，瓶装饮料的移动，是平移，故此选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．2．（2021·广东·广州市第十六中学七年级期中）下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是（）A．奥迪 B．本田C．奔驰 D．铃木【答案】A【解析】【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿着某一方向移动，这种图形的平行移动叫做平移变换，简称平移，由此即可求解.【详解】解：A、是经过平移得到的，故符合题意；B、不是经过平移得到的，故的符合题意；C、不是经过平移得到的，故不符合题意；D、不是经过平移得到的，故不符合题意；故选A.【点睛】本题主要考查了图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握图形平移的概念.3．（2021·吉林双辽·七年级期末）如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】【分析】根据平移的性质证明BE＝CF即可解决问题．【详解】解：由平移的性质可知，BC＝EF，∴BE＝CF，∵BF＝8，EC＝2，∴BE+CF＝8﹣2＝6，∴CF＝BE＝3，故选：A．【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．4．（2021·福建三明·八年级期末）如图，平移△ABC得到△DEF，其中点A的对应点是点D，则下列结论中不成立的是（）A．AD//BE B．AC＝DF C．∠ABE＝∠DEF D．△ABC≌△DEF【答案】C【解析】【分析】利用平移的性质解决问题即可．【详解】解：由平移的性质可知：AD∥BE，AC=DF，△ABC≌△DEF，故选项A，B，D正确．故选：C．【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质．平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．5．（2021·吉林前郭尔罗斯·七年级期末）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知BE＝4，EF＝8，CG＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．16 B．20 C．26 D．12【答案】C【解析】【分析】由平移的性质可知，S△ABC＝S△DEF，EF＝BC＝8，再由S阴＝S梯形EFGB求解即可得到答案．【详解】由平移的性质可知，S△ABC＝S△DEF，EF＝BC＝8，∵CG＝3，∴BG＝BC﹣CG＝5，∴S阴＝S梯形EFGB＝（5+8）×4＝26，故选C．【点睛】本题主要考查了平移的性质，梯形面积计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．6．（2020·全国·九年级课时练习）下列图形中，可由基本图形平移得到的是_____（填图形编号）【答案】①③④【解析】【分析】根据平移的性质，对每个选项进行分析即可．【详解】解：能由一个三角形平移得到，∴①正确；因图中的图形大小不都相同，不能由一个平移得到，∴②错误；能由一个图形经过平移得出，∴③正确；能由一个正方形经过平移得到，∴④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了图形的平移，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小、方向，解题的关键在于正确识别图形．7．（2022·黑龙江虎林·七年级期末）在以下现象中：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；③在笔直的公路上行驶的汽车；④随风摆动的旗帜；⑤钟摆的摆动，属于平移现象的有__（只填序号）【答案】①②③【解析】【分析】根据平移的性质，对题中的现象进行一一分析，选出正确答案．【详解】解：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；是平移运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；是平移运动；③在笔直的公路上行驶的汽车；是平移运动；④随风摆动的旗帜；不是平移运动；⑤钟摆的摆动，不是平移运动；∴属于平移现象的有：①②③；故答案为：①②③．【点睛】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．8．（2021·吉林珲春·七年级期中）如图，线段AB按一定的方向平移到线段CD，点A平移到点C，若AB=6cm，四边形ABDC的周长为28cm，则BD=_____cm．【答案】8【解析】【分析】图形平移后，AB平移到线段CD，点A平移到点C，则A和C是对应点，B和D是对应点，可得AB+BD=14，最后得出结果．【详解】解：∵图形平移后，对应点连成的线段平行且相等，∴AB平移到线段CD，点A平移到点C，则A和C是对应点，B和D是对应点，∴AC=BD，AB=CD∵AC+BD+AB+CD=2AB+2BD=28，∴AB+BD=14，∵AB=6cm，∴BD=14-6=8cm，故答案为：8．【点睛】根据平移的性质，图形平移后，对应点连成的线段平行且相等，求出结果．9．（2021·浙江滨江·七年级期中）如图，是由通过平移得到，且点，，，在同一条直线上，若，，则的长度是___________.【答案】5【解析】【分析】根据平移的性质得，再利用得到，然后求解即可．【详解】∵是由通过平移得到，∴，∵，∴，∴．故答案为：5．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．掌握平移性质及找准平移前后的对应边是解题关键．10．（2021·四川射洪·七年级期末）如图，将ABC沿BC方向平移一定距离得到DEF，若AB＝5，BE＝3，DG＝2，则图中阴影部分面积为_____．【答案】12【解析】【分析】先根据平移的性质得到，，则，再利用得到，然后根据梯形的面积公式计算．【详解】解：沿方向平移一定距离得到，，，，，．故答案为：12．【点睛】本题考查了平移的性质：平移前后两图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．11．（2021·河北邱县·七年级期末）如图，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到点A'，作出平移后的四边形A'B'C'D'．【答案】见解析【解析】【分析】分别作BB′、CC′、DD′与AA′平行且相等，即可得到B、C、D的对应点，顺次连接即可．【详解】解：如图所示：四边形A'B'C'D'即为所求．【点睛】本题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题的关键．12．（2021·陕西城固·八年级期中）如图，将沿方向平移得到，若的周长为cm，四边形ABFD的周长为，求平移的距离．【答案】3cm【解析】【分析】先根据平移的性质得到AD=BE=CF，AC=DF，再利用三角形和四边形的周长得到AB+BC+AC=12，AB+BF+DF+AD=18，则利用等量代换得到12+2CF=18，然后求出CF得到平移的距离．【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，∴AD=BE=CF，AC=DF，∵△ABC的周长为12cm，四边形ABFD的周长为18cm，∴AB+BC+AC=12，AB+BF+DF+AD=18，∴AB+BC+CF+AC+CF=18，即12+2CF=18，解得CF=3，∴平移的距离为3cm．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．13．（2021·福建·厦门市莲花中学七年级期中）如图，已知△ABC的面积为16，BC＝8．点D在线段BC上，将△ABC沿射线BC方向平移，使点B与点D重合，在平移过程中，若△ABC所扫过部分的面积为28．（1）画出平移后的图形;（2）求平移的距离．【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）以C为圆心，以BD的长为半径画弧交BC的延长线于F，再以D为圆心，以AB的长为半径，以F为圆心以AC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，EF，三角形DEF即为所求；（2）过点A作AH⊥CB于H，连接AE，由题意可知，梯形ABFE的面积即为△ABC扫过的面积，AE=BD，DF=BC=8，然后根据三角形面积公式和梯形面积公式求解即可.【详解】解：（1）如图以C为圆心，以BD的长为半径画弧交BC的延长线于F，再以D为圆心，以AB的长为半径，以F为圆心以AC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，EF，三角形DEF即为所求；（2）如图过点A作AH⊥CB于H，连接AE，由题意可知，梯形ABFE的面积即为△ABC扫过的面积