特色题型专练07 最值问题-圆（解析版）（江苏专用）

中考特色题型专练之最值问题——圆题型一、点运动路径1．如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】取的中点，的中点，的中点，连接，可得四边形是正方形，由得，则可得点的运动路径，从而求得路径的长．【详解】解：取的中点，的中点，的中点，连接，如图：则，且，，，∴四边形为平行四边形，∵，，∴四边形为正方形，∴，，由勾股定理得：，∵在等腰中，，∴，∴，，∵为的中点，∴，∴，∴点在以为直径的圆上，当点在点时，点在点；当点在点时，点在点，∴点的路径为以为直径的半圆，∴点的运动路径长．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及正方形的判定，确定点的运动路径是关键与难点．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，的半径为4（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线，P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，连接，根据，得到点在以为直径的圆上运动，当与相切时，得到的运动轨迹为，进行求解即可．【详解】解：∵点A坐标为，点B坐标为，∴，，连接，∵，∴，∴点在以为直径的上运动，当点在上运动一周时，点的运动路径为以与相切时，与的两个交点所夹的，如图：当与相切时，，∴，∴，∴，∴的度数为，∴的长度为：；故选C．【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，解直角三角形，圆周角定理，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是确定点的运动轨迹．3．如图，在边长为的菱形中，，点分别是上的动点，且与交于点．当点从点运动到点时，则点的运动路径长为．【答案】【分析】作的外接圆，连接．利用全等三角形的性质证明点在以为弦的圆上，确定圆心和半径利用弧长公式计算即可．【详解】解∶如图，作的外接圆，连接，四边形是菱形，，都是等边三角形，，，，点在以为弦的圆上，为的外接圆弧所对的圆心角为度，，过点作于根据垂径定理,得在在,,即,，故点P的运动的路径的长．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹．4．如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为．【答案】【分析】根据、分别平分、，求出，连接，证明，得到，得到点路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧，构造，求出，，根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图，，，，分别平分、，，连接，，，，，，点的路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧的一部分，过点、、作圆，作圆内接四边形，则，，，，，当重合时，则，，则是等边三角形点的运动路径长为：．故答案为：．【点睛】本题考查动点问题根据题意确定点所经过的路径，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，求弧长，转化为定边对定角问题是解题的关键．题型二、将军饮马1．如图，已知的直径的度数为，它的另一边交于点，点为弧的中点，点为直径上的一个动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．如图，作点关于直径的对称点，连接，，则，，由，可知当三点共线时，此时的值最小，由点为弧的中点，可求，则，由勾股定理求，进而可得结果．【详解】解：如图，作点关于直径的对称点，连接，，∴，，∴，∴当三点共线时，此时的值最小，∵点为弧的中点，∴，∴，∴，由勾股定理得，，故选：B．2．如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．无法计算【答案】B【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，当点P与D重合时，最小，利用勾股定理即可求得最小值．【详解】解：如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，则，；∵点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，∴，，∴；∵，∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长；在中，，由勾股定理得：，即的最小值为；故选：B．3．如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为．【答案】16【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理．作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解．【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，此时，点为的最小值时的位置，由垂径定理，，∴，∵，为直径，∴为直径．则．故答案为：16．4．如图，在中，直径，位于点两侧且垂直于直径的两条弦长分别为，，若点为直径上任意一点，则的最小值为．【答案】【分析】根据垂径定理可得，，根据两点之间线段最短，的长度即为所求，在中应用勾股定理，即可求解，本题考查了垂径定理，两点之间线段最短，已知弦长半径求弦心距，勾股定理，解题的关键是：找到的等长线段．【详解】解：连接，交于点，过点作的垂线，垂足为点，，是直径，垂直平分弦，，的最小值，弦心距，弦心距，，，，故答案为：．题型三、两动一定1．如图，在正方形中，，点E是正方形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，，则的最小值为（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．根据，得到点E在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵，∴点E在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，则线段的长即为的长度最小值，∵，∴，∴，∴，故的长度最小值为，故选A．2．如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】本题考查圆外动点最小距离问题，勾股定理及轴对称最小距离问题，作点的对称点，连接交圆于一点即为最小距离和的点，根据勾股定理求解即可得到答案；【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交圆于一点即为最小距离和的点，如图所示，∵矩形中，，，∴，，，∴，∴的最小值是：，故选：C．3．如图，点是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为．【答案】2【分析】本题考查了正多边形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识．取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T，利用轴对称的性质可得，从而得出当共线时，的最小值为，然后利用直角三角形斜边中线的性质求出，证明，为等边三角形，即可求解．【详解】解：取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T，

，∵正六边形关于直线对称，∴，也关于直线对称，∴，∵，O为中点，∴，∴，当共线时，，∴的最小值为，∵正六边形的边长为2，∴，，∴是等边三角形，∴，，∵，O为中点，Q为中点，∴，，∴，∴是等边三角形，

∴，∴，∴的最小值为2．故答案为：2．4．如图，点E是边长为6的正方形的边上一动点，F是以为直径的半圆上的一动点，连接，则的最小值是.

【答案】/【分析】本题考查了正方形的性质，线段和最小原理，圆的最值性质．延长到点G，使得，设半圆的圆心为点O，连接交于点M，交半圆于点N，则的最小值是，根据用勾股定理计算即可．【详解】解：延长到点G，使得，设半圆的圆心为点O，连接交于点M，交半圆于点N，∵E是边长为6的正方形的边上的一个动点，F是以为直径的半圆上的一个动点，∴，，过点O作于H，

∵边长为6的正方形，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，当点F与点N重合，点E与点M重合时，最小，最小值是，且．故答案为：．题型四、折叠圆1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是（）A．8 B．12 C． D．【答案】D【分析】由折叠可得，BE=B'E=AE，点B′在以E为圆心EA为半径的圆弧上运动．当D、B′、E共线时，B′D的长度最小．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=4，即可求出B′D的最小值．【详解】解：如图，B′的运动轨迹是以E为圆心EA为半径的圆弧，∴当B′点落在DE上时，B′D取得最小值．根据折叠的性质，可得△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，EB′＝EB，∵E是AB边的中点，AB＝8，∴AE＝EB′＝4，∵AD＝BC＝12，∴DE＝＝4，∴DB′＝DE﹣B'E＝4﹣4．故选：D．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的综合运用．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，关键是抓住对应边和对应角相等．2．如图，在中，，，，点在边上，且，点为射线上一动点，连接．将沿直线折叠，使点落在点处，连接，，则的面积最小值为（

）A．3 B．6 C． D．12【答案】B【分析】根据题意可得，点P在以点F为圆心，2为半径的圆弧上运动，则过点F作FD⊥AB于D，FD与⊙F的交点为P，则此时△APB的面积最小，结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理求出此时AB，PD的长即可得出结果．【详解】解：根据折叠可知，FP=FC=2，∴在折叠的过程中，FP的长度不变为2，∴点P在以点F为圆心，2为半径的圆弧上运动，则过点F作FD⊥AB于D，FD与⊙F的交点为P，则此时△APB的面积最小．在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=，∵∠DAF=∠CAB，∠ADF=∠ACB=90°，∴△ADF∽△ACB，∴，∴，∴DF=3.2．∴DP=DF-PF=3.2-2=1.2，∴此时△APB的面积=×AB×DP=×10×1.2=6．即△APB面积的最小值为6．故选：B．【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质以及勾股定理等知识点，解题的关键是找出点P的运动轨迹，从而得出面积最小时的点P的位置．3．如图，正方形纸片的边长为6，点E是边上一定点，连接，且，点F是边的中点，点M是线段（除点A外）上任意一个动点，连接，把沿折叠，点A落在处，连接，则的最小值是．

【答案】/【分析】本题考查了正方形的性质，圆的性质，作出点A关于直线的对称点M，交于点M，根据，判定三点都在以B为圆心，以为半径的圆上弧上，当点与点M重合时，取得最大值，是定值，此时取得最小值，解答即可．【详解】作出点A关于直线的对称点M，交于点M，

∵，∴三点都在以B为圆心，以为半径的圆上弧上，当点与点M重合时，取得最大值，∵是定值，∴此时取得最小值，∵正方形纸片的边长为6，点E是边上一定点，，∴，，解得，∴，∵点F是边的中点，∴，设与的交点为N，根据题意，得，，∴，解得，∴，∴，故答案为：．4．如图，在矩形中，，，P为边上一个动点，连接，将沿所在直线折叠后，点A的对应点落在点处，连接，则当取最小值时，的值为．【答案】/0.75【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，根据折叠可得出，则在以B为圆心，为半径的圆上运动，则当B、、D三点共线时，取最小值，最小值为，然后在中利用正切的定义求解即可．【详解】解：连接，∵折叠，∴，∴在以B为圆心，为半径的圆上运动，∵，∴当B、、D三点共线时，取最小值，最小值为，∴．故答案为：．题型五、直角圆1．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，作于点，连接，则线段长度的最小值为(

)A．3 B． C． D．1【答案】B【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的基本性质，圆周角定理以及勾股定理连接，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理，由为直径得到，接着由得到点在以为直径的上，于是当点、、共线时，最小，如图，在中利用勾股定理计算出，从而得到的最小值【详解】，，，，，点在以为直径的上，连接，，在中，，，，由于，是定值，点在线段上时，最小，如图2，，即线段长度的最小值为，故选：B．2．如图，在中，，D是内部的一个动点，满足，则线段长的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最值问题．根据，推出，得到点在以为直径的圆上，取的中点，连接，，根据，求出最小值即可．解题的关键是确定点的运动轨迹．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴点在以为直径的圆上，取的中点，连接，，则：∵，∴，∴，∴，∴的最小值为2．故选A．3．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是．【答案】【分析】本题考查圆外一点到圆上最小距离问题，勾股定理，圆周角定理，根据得到点在为直径的圆上，连接圆心与点交于一点即为最小距离点，结合勾股定理求解即可得到答案；【详解】解：∵，∴点在为直径的圆上，∴连接圆心与点交于一点即为最小距离点，如图所示，∵是半圆的直径，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．4．如图，矩形中，AB=2，，动点P从点A出发向终点D运动，连接BP，并过点C作CHBP，垂足为H．以下结论：①；②AH的最小值为；③在运动过程中，BP扫过的面积等于；④在运动过程中，点H的运动路径的长为，其中正确的有（填写序号）．【答案】①②③④【分析】由四边形是矩形，，得，则，即可证明，可判断①正确；取的中点，连接，，可求得，由勾股定理求得，因为，所以，则，即可求得的最小值是，可判断②正确；当点与点重合时，则与矩形的对角线重合，可求得扫过的面积为，可判断③正确；可求得，则点的运动路径的长为，可判断④正确，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，∴，∴，故①正确；如图1，取的中点，连接，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的最小值是，故②正确；如图，点的运动路径为以的中点为圆心，半径长为的一段圆弧，当点与点重合时，则为与矩形的对角线重合，∴扫过的面积为，故③正确；∵由勾股定理得，∴，∴，∴，∴点的运动路径的长为，故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定、旋转的性质、两点之间线段最短、勾股定理的应用、三角形的面积公式、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．题型六、定角定长1．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识，先求出，从而证明点P在以点A为圆心，为半径的圆上，从而得到，从而得到，得出点P在以点A为圆心，为半径的圆上是解题的关键．【详解】解：连接、，∵四边形是正方形，∴，，∴，，又∵，∴，∴，以点A为圆心，为半径作圆，延长交圆于点Q，连接，则，∴，∴点P在上，，∴．故选：D．2．如图，等边边长为，E、F分别是边上两个动点且．分别连接，交于P点，点M为的中点，N为上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理和直角三角形的性质．以为边在外作等边，取的外心为，求得点在上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．【详解】解：∵等边边长为，点M为的中点，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，以为边在外作等边，取的外心为，连接，∵，∴点在上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，过点作直线的垂线，垂足为，如图，∵，，，∴，，∴，∵是的外心，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，由勾股定理得，在中，，∴，∴的最小值为：，故选：B．3．如图，在矩形中，，，为矩形内一动点，且．（）当为等边三角形时，．（）的最小值为．【答案】【分析】（）如图，在的垂直平分线上取点，使得，以点为圆心，为半径画圆，在圆上任取一点，均有，当为等边三角形时，圆与垂直平分线上在矩形内的交点即为点，过点作于，解直角三角形求出，即可求解；（）连接，与圆交于点，此时，的值最小，过点作于，解直角三角形求出，，进而求出，利用勾股定理求出，即可求出；本题考查了圆周角定理，矩形的性质，等边三角形的性质，三角函数，勾股定理，根据题意，准确找到点的位置是解题的关键．【详解】解：（）如图，在的垂直平分线上取点，使得，以点为圆心，为半径画圆，在圆上任取一点，均有，当为等边三角形时，圆与垂直平分线上在矩形内的交点即为点，过点作于，则，∴四边形为矩形，∴，∵为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：；（）连接，与圆交于点，此时，的值最小，过点作于，则，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案为：．4．如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连，若，则的最小值为．【答案】/【分析】以为斜边作等腰直角三角形，连接、，圆周角定理，易得，为等腰直角三角形，得到，进而得到点D在点为圆心，为半径的上运动，根据圆外一点到圆上一点的最值的确定方法进行求解即可．【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接、，∵以为直径的，A为弧中点，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴点D在点为圆心，为半径的上运动，在等腰直角中，，在中，，∴，∵∴当C、D、三点共线时，CD取的最小值，最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是确定动点的运动轨迹，利用一箭穿心，进行求解．题型七、切线与勾股定理1．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（）

A． B．3 C． D．【答案】D【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理．根据题意连结、OQ，当时，线段最短，即线段最短，再根据勾股定理求解即可．【详解】如答图，连结、OQ．

是的切线，，，当时，，线段最短，即线段最短．，，，，，，．故选：D．2．如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先连接根据勾股定理知可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意得到当时，线段最短是关键．【详解】解：连接如图：∵是的切线，根据勾股定理知∴当时，线段最短，∵在中，故选：C．3．如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则最小值是．【答案】【分析】本题主要考查了切线的性质、坐标与图形、勾股定理、垂线段最短等知识，解题关键是将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．连接，，根据切线的性质定理可得，要使最小，只需最小即可，根据垂线段最短，当轴时，取最小值，然后根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，连接，，根据切线的性质定理，得．要使最小，只需最小，则根据垂线段最短，当轴于时，取最小值，此时点的坐标是，，在中，，∴，则最小值是．故答案为：．4．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点P在经过点，的直线上，与相切于点Q，则切线长的最小值为．

【答案】【分析】本题主要考查切线的性质、勾股定理及图形与坐标，熟练掌握切线的性质及勾股定理是解题的关键；连接，由切线的性质可知，要使的值为最小，则需满足为最小值即可，然后根据点到直线垂线段最短可知当时为最小值，进而问题可求解．【详解】解：连接，如图所示：

∵与相切于点Q，∴，∵，∴，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，且，要使的值为最小，则需满足为最小值即可，根据点到直线垂线段最短可知当时为最小值，∴，∴，∴的最小值为；故答案为．题型八、中位线与瓜豆原理1．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为5，P为上任意一点，E是的中点，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．如图，连接，取的中点H，连接，利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2.5的圆，进而求解即可．【详解】解：如图，连接，，取的中点H，连接，．∵点E是的中点，点H是的中点，，点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2.5的圆，，，，，的最小值．故选B．2．抛物线与轴交于两点（在左侧），其对称轴与轴交于点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，则线段的最大值与最小值的比值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查求线段最大值，最小值的问题，关键是把求的最大值，最小值转化成求的最大值，最小值，由三角形中位线定理，把求的最大值，最小值转化成求的最大值，最小值，连接交圆于，延长交圆于，由二次函数的性质求出，的长即可．【详解】解：连接，∵抛物线的对称轴与轴交于点，∴是的中点，∵是中点，∴是的中位线，∴，∴当取最大值，最小值时，取得最大值，最小值，连接交圆于，延长交圆于，当与重合时，长最小，当与重合时，长最大，抛物线，∴当时，∴，∴，∴点的坐标是，∴，∵点的坐标是，∴，∴，∵的半径是∴长的最大值是，最小值是，∴的最大值是，最小值是，∴线段的最大值与最小值的比值是，故选：D．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M为边上一点，以点M为圆心，为半径作，交x轴于点D，连接交于点E，连接，点F为中点，则的最小值为．【答案】/【分析】如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，由矩形的性质得到，进而得到，，证明，则，再证明为的中位线，得到，则点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，故当三点共线且点F在上时，有最小值，利用勾股定理得到，则．【详解】解；如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，∵四边形为矩形，，∴，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，∵点F为的中点，∴为的中位线，∴，∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，∴当三点共线且点F在上时，有最小值，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，矩形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理等等，正确作出辅助线推出点F的运动轨迹是解题的关键．4．（1）如图①，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、2为半径的上有一动点．连接，若点为的中点，连接，则的最小值为．（2）如图②，点A、B的坐标分别为、，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为．

【答案】【分析】（1）连结，取的中点D，连结，，根据三角形的中位线定理得，则点C在以定点D为圆心，1为半径的圆上运动，所以当点C运动到线段上时，的值最小，求出的长，即得的最小值；（2）连结，取的中点D，连结，，根据三角形的中位线定理得，则点M在以定点D为圆心，为半径的圆上运动，所以当点M运动到线段的延长线上时，的值最大，求出的长，即得的最大值．【详解】（1）连结，取的中点D，连结，，

为的中点，，所以点C在以定点D为圆心，1为半径的圆上运动，，，，，，所以当点C在线段上时，的值最小，最小值为；故答案为：．（2）连结，取的中点D，连结，，

为的中点，，所以点M在以定点D为圆心，为半径的圆上运动，，，，，，所以当点M运动到线段的延长线上时，的值最大，最大值为；故答案为：．【点睛】本题考查了图形与坐标，圆的定义，三角形中位线定理，求圆外一点到圆上点的距离的最值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．题型九、阿氏圆1．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接BP，取BE的中点G，连接PG，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值．【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，∵，，∴，∵G是BE的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，．故选：C．【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将转换成，再根据三点共线求出最小值．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC补成等边△ABP，过F作BP的垂线FH，故GF+FB＝GF+FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+FB最短．又由于点G为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度．【详解】延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等边三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于点G∴∠AGC＝90°∵O为AC中点∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝

∴OQ＝∴GH最小值为故选C．【点睛】本题考查了含30°直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短路径．解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，进而联想到找出点G运动路径再计算．3．已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是．【答案】【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．设半圆与、的切点为、，取的中点，连接、，根据已知条件证明，得，当且仅当、、三点共线时，取得最小值，进而求解．【详解】解：设半圆与、的切点为、，连接、、、，则，，，所以平分，，，，，，取的中点，连接、，则，，，在和中，，，，，，，当且仅当、、三点共线时，取得最小值,最小值为．故答案为：．4．如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为．

【答案】【分析】取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，利用两点之间的距离公式，即可求出的最小值，即可得．【详解】解：如图所示，取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，

∵、，，∴，，以O为圆心，为半径作，在优弧上取一点Q，连接，∵，，∴，∴A，P，B，Q四点共圆，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，过点F作于点G，∵，，∴∴点F的坐标为，∵，∴∵，即,∴的最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．题型十、相切最大1．如图，直线与以线段为直径的圆相切于点，，，点是直线上一个动点．当的度数最大时，线段的长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题解析：连接BC，∵直线l与以线段AB为直径的圆相切于点C，∴∠ACB=90°，当∠APB的度数最大时，则P和C重合，∴∠APB=90°，∵AB=6，AC=3，由勾股定理得：BP=BC=.故选D．2．如图（4）所示，直线与线段为直径的圆相切于点，并交的延长线于点，且，点在切线上移动，当的度数最大时，则的度数为（

）A．° B．°C．° D．°【答案】B【详解】解：连接BD，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°，当∠APB的度数最大时，则P和D重合，∴∠APB=90°，∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBP=，∴∠ABP=30°，∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．故选B．3．如图,AB是⊙O的直径,AB=2，CD与⊙O相切于点D，，点E在切线CD上,则当∠AEB最大时,AE=．【答案】30°．【详解】试题解析：解：连接BD，AP，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°，当∠APB的度数最大时，则P和D重合，∴∠APB=90°，∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBA=，∴∠ABP=30°，∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．考点：切线的性质．4．如图，半径为1的与直线相切于点A，点是上的一个动点，作于点，则的最大值是．【答案】/【分析】在的延长线上取一点，使，则．当与相切于点时，取得最大值，此时连接并延长交延长线于点，则．根据等腰直角三角形的性质和切线的性质，求出结果即可．【详解】解：由圆的对称性不妨设点是左半圆上的动点．如图，在的延长线上取一点，使，则．当与相切于点时，取得最大值，此时连接并延长交延长线于点，则．，，，，∴为等腰直角三角形，∴，，连接，则．∴为等腰直角三角形，∴，，，的最大值为．【点睛】本题属于线段和的最值问题，主要考查了切线的性质、勾股定理等，能正确作出辅助线，将所求最大值转化为求的长的最大值是解题的关键．题型十一、其它最值1．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，在点P的运动过程中，线段DE的最小值为（）A．3﹣3 B． C．4﹣6 D．2【答案】B【分析】根据PD⊥AC，PE⊥AB可以确定A，D，P，E四点共圆，根据三角形内角和定理确定∠BAC=60°，进而确定当AP⊥BC时，线段DE取得最小值，根据三角形内角和定理和圆周角定理的推论确定∠ADE=45°，根据相似三角形的判定定理和性质可＝，设AE=2x，根据等角对等边和勾股定理表示出AB和AP，根据30°所对的直角边是斜边的一半，圆周角定理和勾股定理表示出AD，最后代入比例式中计算即可．【详解】解：如下图所示，以AP为直径作，连接OD，过D作DM⊥AP于M．∵PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，∴∠ADP＝90°，∠AEP＝90°．∴∠ADP+∠AEP＝180°．∴A、D、P、E四点共圆，且直径为AP．∵∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，∴∠BAC＝60°．∴DE是中60°圆周角所对的弦．∴当直径最小时，DE取得最小值．∴当AP⊥BC时，DE取得最小值．∵∠ABC＝45°，∴∠BAP=45°．∴∠APE=45°，∠ABC=∠BAP．∴∠BAP=∠APE，AP=BP．∴AE=PE．∵∠ADE和∠APE都是所对的圆周角，∴∠ADE＝∠APE＝45°．∴∠ADE＝∠ABC＝45°．

∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB．∴＝．设AE＝2x，则PE＝2x．∴．∴OA＝OD＝x，．∴．∵∠BAC=60°，∠BAP=45°，∴∠DAP＝∠BAC﹣∠BAP＝1