专题10 特殊三角形（讲义）（解析版）

专题10特殊三角形核心知识点精讲1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定；2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角).(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.【题型1：等腰三角形】【典例1】如图，在等腰中，，为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为（）A．16 B．24 C．32 D．8【答案】A【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；过作于，过作于，由“三线合一”得，再由“”可判定，从而由全等三角形的性质得，再，即可求解；掌握性质及判定方法，能根据题意作出恰当的辅助线，构建是解题的关键．【详解】解：如图，过作于，过作于，，，，，，，，在和中，，（），，；故选：A．1．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（

）A．或 B． C． D．以上答案均不对【答案】B【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据非负数的性质，求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：∵，∴且，解得：，，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵，∴不能组成三角形；②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长，∴三角形的周长为，故选：B．2．已知等腰三角形一边长等于4，另一边长等于10，则它的周长是（）A．17 B．18 C．24 D．18或24【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，等腰三角形有两条边长为4和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分两种情况：当腰为4时，，所以不能构成三角形；当腰为10时，，，所以能构成三角形，周长是：．故选C．3．如图，在中，，，，点D在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若则下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形面积，证明是解题的关键．过点E作于F，证明，由全等三角形的性质得出，根据可得出答案．【详解】解：过点E作于点F，如图所示：∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，整理得：，∴，∵，∴，即；故选A4．如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点，，，则的面积是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到EF＝DE＝2，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作EF⊥BC于F，∵AC＝BC＝6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面积＝×BC×EF＝6，故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【题型2：等边三角形】【典例2】如图，和都是等边三角形，且点A、C、E三点共线，与、分别交于点F、M，与交于点N，下列结论中错误的有（

）个：①；②；③；④A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据等边三角形性质得出，求出，根据推出，得到，继而证明，即可判断①；根据，得出，找不出边相等证明，可判断②；根据角的关系可以求得，可求得，根据，即可判断③，根据，，可求得，可判定，即可判断④，【详解】解：①∵和都是等边三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，即；故①正确，②∵，∴，∴，∵，∴找不出边相等证明的条件；故②不正确③∵，∴，∴，∴，∵，∴；故③正确④∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，故④正确；综上所述：正确的结论是①③④，错误的是②．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定是解题的关键．1．如图，是等边三角形，已知，于，与交于点，下列结论中不一定成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；根据等边三角形的性质可得，，再利用边角边证明和全等．然后得到，结合角的关系，得到；根据，得到，进而得到，再根据，得到，即可证明．由和全等对应边相等得到；再结合边的关系，得到；即可得到答案．【详解】解：如图所示：是等边三角形，，，在和中，，，，，，故A正确；，，，，，，，，．故B正确；．，，，故D正确，无法判断，故C错误，故选：C．2．如图，点在线段上，点在线段上，且和均是等边三角形，那么（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、平角的定义；由等边三角形的性质和平角的定义以及三角形内角和定理即可得出结果．【详解】解：∵和均是等边三角形，∴，∵，，，∴，∵，∴；故选：D．3．已知，如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下四个结论：①；②是等边三角形；③；④平分．其中正确的结论是（

）A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④【答案】D【分析】根据“等边三角形的三边都相等，三个角都是”可以证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，可判断①；对应角相等可得，然后证明与全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而得到是等边三角形，可判断②；再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，可求出，根据三角形的内角和定理求出不是，即可判断③；根据三角形面积公式求出，根据角平分线性质即可判断④．【详解】解：∵和均是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故①正确；∴，∵，∴，∴，又∵，∴是等边三角形，故②正确；如图：过C作于M，于N，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴平分，故④正确；当时，平分，则，此时，则，故③不正确；综上，正确的有①、②、④．故选：D．4．如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为（

）A．1 B． C． D．无法确定【答案】B【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可．【详解】解：过作交于，，是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，，故选：B．【题型3：等腰直角三角形】【典例3】如图，在中，以，为腰作等腰直角和等腰直角，其中，连接，为边上的高，延长交于点．有下列结论：①；②；③；④为中点．其中正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质是解题的关键．由，则，可判断①的正误；当时，即，此时，可判断②的正误；如图，作于，的延长线于，证明，则，，同理，可证，则，，同理可证，则，，即为中点，可判断④的正误；由，可判断③的正误．【详解】解：∵以，为腰作等腰直角和等腰直角，∴，由题意知，，∴，①正确，故符合要求；同理，，由题意知，当时，即，此时，②错误，故不符合要求；如图，作于，的延长线于，

∵，，，∴，∴，，同理，，，，∴，∴，，∵，，，∴，∴，，∴为中点，④正确，故符合要求；∴，③正确，故符合要求；故选：C．1．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、MC．下列结论：①DF＝DN；②△ABE≌△MBN；③AD＝CD；④AE＝CN；，其中正确的结论个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】①正确．证明△FBD≌△NAD（ASA）即可判断．②错误，根据AB＞BM，对应边不相等，即可判断．③正确．根据等腰三角形的性质得BD＝CD，由直角三角形斜边上的中线即可判断．④正确，证明AF＝CN，AE＝AF即可判断．【详解】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠ADN＝∠ADB＝90°，AD＝BD＝CD，③正确；∴∠BAD＝45°＝∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，∴AF＝AE，∵M为EF的中点，∴AM⊥BE，∴∠AMF＝∠AME＝90°，∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，在△FBD和△NAD中，，∴△FBD≌△NAD（ASA），∴DF＝DN，故①正确；∵AM⊥BE，∴AB＞BM，∴△ABE与△MBN显然不全等，故②错误，∵AD⊥BC，AD＝CD，∴∠CAD＝45°，∵AF＝AE，∴∠CAN＝22.5°，∴∠ABF＝∠CAN，在△AFB和△△CNA中，，∴△AFB≌△CAN（SAS），∴AF＝CN，∵AF＝AE，∴AE＝CN，故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．2．如图，与都是等腰直角三角形，，，，连接BD，CE，点F是BD的中点，过点A，F的直线交CE于点G，若，，则的面积为．【答案】【分析】延长，取点H，使，连接，过点D作于点M，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，求出，根据F为的中点，得出．【详解】解：延长，取点H，使，连接，过点D作于点M，如图所示：∵点F为的中点，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵F为的中点，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，余角的性质，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．3．如图，在中，于点D，点E，F分别在上，且，则．【答案】/6厘米【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．利用等腰直角三角形的性质和已知条件证明即可得到．【详解】解：∵，点D是的中点，∴，∴，，∴，，∴，在和中，，∵，，，∴，∵，∴．故答案为：【题型4：特殊三角形综合运用】【典例4】如图，在四边形中，，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，且．(1)°；(2)求证：；(3)连接，且平分交于点，探究的形状并说明理由．【答案】(1)(2)证明见解析(3)是等腰三角形，理由见解析【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．（1）由，得到从而得到．（2）由，得到，由，可得到，从而得到，再利用，得到，从而．（3）由平分得，由，，得由得，从而得到，最后证出，得到答案即可．【详解】（1）（2），，，

，，

，，在和中，，，，（3）平分，

，，，，．，，

∴，，

，

，∴是等腰三角形1.如图，在等腰中，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是

【答案】①③④【分析】连接，首先证明，利用等边对等角得，，则，据此即可判定结论①；因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，即可判断结论②；证明且，即可证得是等边三角形，即可判断结论③；证明，则，得，即可判断结论④．【详解】解：如图1，连接，

∵，，，∴，，∴，，∵，∴，∴，，∴，故①正确；由①知，，∵点是线段上一点，∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，故③正确；如图2，在上截取，

∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴，∴，∴，故④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故答案为：①③④，【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．2．已知四边形，，．(1)如图1，若，则________；(2)如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接．①求的度数；②若，，求的长．【答案】(1)(2)①；②【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）设，则，根据等边对等角解题即可；（2）①运用等边对等角解题即可；②作，为垂足，利用角的直角三角形的性质解题即可．【详解】（1）解：设，则，∵，∴∴，故答案为：；（2）①解：∵，∴为等边三角形，∴，又∵，∴，，∴；②解：作，为垂足，∵，平分，∴∵，∴，∴，∴．1．已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边（注：c可能等于，也可能等于），且满足．设这个等腰三角形ABC的周长为，则【答案】107【分析】本是考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，整式化简求值．解题的关键求出a、b、x的值．先将变形为，根据非负数性质求出a、b值，再根据等腰三角形的定义和三角形三边关系求得c值，从而求得x值，然后化简整式，把x值代入计算即可．【详解】解：∵∴，解得：，，∵a，b，c是等腰三角形ABC的三边∴或∵，∴，不符合题意，舍去，∴，，∴，∵当时，原式．故答案为：107．2．如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时，度．【答案】60或105或150【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的外角性质：分和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可．【详解】解：当时，则；当时，，则；当时，，则；故答案为：60或105或1503．如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为．【答案】或【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解．【详解】解：当点在线段上时，如图所示，连接，∵中，，，点是斜边的中点，∴，，又∵，∴，∵∴，∴，∴∴，∵，，∴；当点在的延长线上时，如图所示同理可得，则∴故答案为：或．4．如图，在中，是的中点，点分别在边、上，且．下列结论正确的是（填所有正确答案的序号）．①；②；③；【答案】①②/②①【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据等腰直角三角形的性质和等角的余角相等证得，，根据全等三角形的判定与性质可判断①和②；由是变化的，为定值可判断③．【详解】解：，，是的中点，，，，，，在和中，，，故①正确；，，故②正确；是变化的，而为定值，∴不一定成立，故③错误；故答案为：①②．1．如图，等腰的底边长为3，面积是6，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为（

）A． B．5 C． D．6【答案】C【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，连接，由题意点B关于直线的对称点为点A，推出的长为的最小值即可．【详解】解：如图，连接．是等腰三角形，点D是边的中点，，，，∵是线段的垂直平分线，∴点B关于直线的对称点为点A，的长为的最小值，∴的周长最短为，故选：C．2．如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的有（

）

A．1个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，平行线的判定和性质．过点A作于点N，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确．【详解】解：过点A作于点N，如图所示：

∵，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，故③正确；∵为边上的高，∴，∴，∴，∴，故①正确；∵在和中，∴，∴，故④正确；∵，，∴，∵，∴，故②正确；综上分析可知，正确的有4个，故B正确．故选：B．3．如图，中，，D为线段上一动点（不与点重合），连接作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或；根据全等三角形的性质得到．【详解】解：①，，，，，故①正确；②为中点，，，，，，，，故②正确；③，，，为等腰三角形，，，，；或为等腰三角形，，，，，故③错误；④，，，，，，，，，，故④正确，综上所述正确的有①②④．故选：．4．如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；③；③；④．其中正确的是（

）

A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质，此外找出线段之间的和差关系是解决本题的关键．在上截取，连接，根据“平分”和“”证明出，故选项①正确；由①可知，，再根据线段间的和差关系可得：，由三角形面积公式及等量代换可得，故选项②④正确．【详解】在上截取，连接，

∵，∴，，∴，∵，，∴，∵平分，即，在和中，，∴，∴，∴，故①正确；∵，∴，∴，故②正确；根据已知条件无法证明，故③错误；∵，∴，∴，即，故④正确．其中正确的是①②④．故选：C．二、填空题5．如图，已知点O是等边内一点，，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，的度数是.

【答案】或或【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．利用全等三角形的性质、等边三角形的性质分别得到，，，再分类讨论中的底和腰，利用等边对等角得到α的度数．【详解】解：，，，是等边三角形，，即，，又，是等边三角形，，，，，若，则，即解得：；若，则，即解得：；若，则，即，解得：；综上所述，当是等腰三角形时，的度数是或或．故答案为：或或．6．如图，是等边三角形，边长为8，点D在延长线上，且，动点E从点A出发，沿着射线运动，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段DF，连接AF．当时，则线段的长为．【答案】6或2/2或6【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是数形结合，分两种情况进行讨论：当点E在线段上时，当点E在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：当点E在线段上时，过点D作交的延长线于点G，如图所示：∵是等边三角形，∴，∵，∴，，∴为等边三角形，∴，∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段DF，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；当点E在线段延长线上时，过点D作交的延长线于点H，如图所示：同理可证：，∴，∵，，∴，∴；综上分析可知，的长为6或2．故答案为：6或2．7．如图，在中，，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为度．【答案】【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题．作点B关于直线的对称点D，连接，，，当点P为与的交点时，的值最小．由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题．【详解】如图，作点B关于直线的对称点D，连接，，，当点P为与的交点时，的值最小．由轴对称可得：，，，∴，，∴，即，∵，∴是等边三角形，∴∵，∴，∴，∵∴，∴．故答案为：三、解答题8．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图2，若，其他条件不变，图中有个等腰三角形；与，间的关系是；（3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有个等腰三角形．与，间的数量关系是．【答案】（1）2，，理由见解析．（2）5，（3）2，【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题．（2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题．（3）本题解法与（1）类似．【详解】（1）解：，理由如下：，的平分线交于O点，，，

，，，，，，，和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．．故答案为：2．（2）解：，即为等腰三角形，，，的平分线交于O点，，，即为等腰三角形，，，，，，，，即为等腰三角形，，，和为等腰三角形，．综上所述，共有5个等腰三角形，故答案为：5，．（3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O，，，，，，，，，，和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．．故答案为：2，．1．（2023·山东·统考中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．【详解】解∵又∵∴，∴解得，∴，且，∴为等腰直角三角形，故选：D．【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．2．（2023·山东滨州·统考中考真题）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将绕点逆时针旋转得到，可得以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据邻补角以及旋转的性质得出，进而即可求解．【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，

∴，，，∴是等边三角形，∴，∴以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，∵，∴∴∴，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．（2023·河北·统考中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在中，，∴，即，当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；若时，为等腰三角形，故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．【详解】解：∵是等边的边上的高，∴，∵，∴，故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等