专题19 二次函数中定值、定点问题（解析版）

二次函数中定值、定点问题解题思路：二次函数中的定值定点问题通常涉及到二次函数在特定点或特定条件下的性质。这类问题一般会要求找出某个特定的值（定值）或某个特定的点（定点），使得二次函数满足某种条件。解决这类问题的一般步骤是：1.根据题目条件，设出二次函数的一般形式。2.利用题目给出的条件（如定点、定值等），建立方程或不等式。3.解方程或不等式，找出满足条件的值或点。1．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数的图象和性质，探究过程如下：

(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下其中，________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；(3)在图2中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点．当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把代入解析式，求出的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图形写出一条性质即可；（3）根据题意，求出抛物线的顶点坐标，点的坐标，进而求出直线的解析式，设直线的解析式为，联立抛物线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到，得到，分别联立直线和直线的解析式，求出的坐标，利用锐角三角形函数求出的长，再进行求解即可得出结论．【详解】（1）解：当时，，∴，根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下：由图象可知：图象关于轴对称；故答案为：．（3）是定值；∵，当时，，解得：，∴对称轴为直线，顶点坐标为，，∵点是点关于抛物线顶点的对称点，∴，设直线的解析式为，把代入，得：，∴，设直线的解析式为，则：，解得：，∴，设直线：，联立和，得：，∵直线与抛物线只有一个交点，∴，∴，联立，，得：，联立，，得：，如图：∵关于对称，∴，∵，，∴，∴，∴，过点作，过点作，则：，∴，∴；∴与的和为定值：．2．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点、，其中点的横坐标为，点的横坐标为1，抛物线过点、．过作轴交抛物线另一点为点．以、长为边向上构造矩形．

(1)求抛物线的解析式；(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；③抛物线与边、分别相交于点、，点、在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．【答案】(1)(2)①；②；③或【分析】（1）根据题意得出点，，利用待定系数法求解析式即可求解．（2）①根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，即可求解．②根据题意得出，，求得中点坐标，根据题意即可求解．③作辅助线，利用勾股定理求得，设出点，点坐标，将点代入，求得点坐标，进而根据点的对应点落在抛物线上，即可求解．【详解】（1）根据题意，点的横坐标为，点的横坐标为1，代入抛物线，当时，，则，当时，，则，将点，代入抛物线，，解得，抛物线的解析式为．（2）①轴交抛物线另一点为，当时，，，矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．，，整理得，，，，；②如图，

，，，，，由①可得，，，的横坐标为，分别代入，，，，，的中点坐标为，点为线段的中点，，解得或（大于4，舍去）．③如图，连接，过点作于点，

则，，，设，则，，将点代入，得，解得，当，，，将代入，解得，或．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握二次函数的性质以及掌握复杂运算属于中考压轴题．3．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．

(1)求抛物线的解析式；(2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标；(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）根据直角三角形三角函数值可得，，进而可得的周长，结合已知条件可得，设，则，，从而可得方程，解方程即可；（3）先求出，，设，过点M作轴于点N，通过证明，求出，再求出直线的解析式为，将点代入解析式求出n的值即可．【详解】（1）解：将，代入，可得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：，，，，，，，的周长，的周长是线段长度的2倍，，设直线的解析式为，将，代入可得，解得，直线的解析式为，设，则，，，，，解得，（舍），，；（3）解：，当时，y取最大值，，直线的解析式为，当时，，，设，过点M作轴于点N，

由题意知，，，，又，，，，，，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，将点代入，得，解得或，或．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键．4．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(3)如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标．【详解】（1）设抛物线的解析式为，，，，把，代入，得：，解得：，抛物线的解析式为（3）在抛物线上，设坐标为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，（舍去），，代入，点的坐标为5．（2023·湖南·中考真题）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；(2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．①求函数的图像的对称轴；②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；【分析】（1）根据题意得到即可解答；（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；（3）由题意可知，得到A、B的坐标，表示出，根据且，得到，分和两种情况求解即可．【详解】（1）解：由题意可知：，∴．答：k的值为，m的值为3，n的值为2．（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，∴对称轴为，∴，∴，∴对称轴为．答：函数的图像的对称轴为．②，令，解得，∴过定点，．答：函数y2的图像过定点，．6．（2023·湖北·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．

(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(3)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（3）设点的坐标为，点的坐标为．由点，点，可得到直线的解析式为：．得出点的坐标可以表示为．由点，点，得直线的解析式为：．同理可得可得到直线的解析式为：．联立可得，则点的横坐标为定值3．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（3）设点的坐标为，点的坐标为．∵直线与不重合，∴且且．如图3，由点，点，

可得到直线的解析式为：．∵，∴可设直线的解析式为：．将代入，得．∴．∴点的坐标可以表示为．设直线的解析式为：，由点，点，得，解得．∴直线的解析式为：．同上，由点，点，可得到直线的解析式为：．∴．∴．∴．∴点的横坐标为定值3．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2023·福建·中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若，且，求证：三点共线；(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)的面积为定值，其面积为2【分析】（1）将代入，即可解得；（2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线；（3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2．【详解】（1）解：因为抛物线经过点，所以解得所以抛物线的函数表达式为；（2）解：

设直线对应的函数表达式为，因为为中点，所以．又因为，所以，解得，所以直线对应的函数表达式为．因为点在抛物线上，所以．解得，或．又因为，所以．所以．因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线；（3）解：的面积为定值，其面积为2．理由如下：（考生不必写出下列理由）如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．

如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．8．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．

(1)直接写出三点的坐标；(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案；（3）根据平移的性质可得解析式，联立直线与解析式可得点坐标，即可得出中点的坐标，设，利用待定系数法可得直线的解析式为，同理得出直线的解析式为，联立两直线解析式可得，设点在直线上，把点代入，整理比较系数即可得出、的值即可得答案，也可根据点的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案．【详解】（1）∵抛物线解析式为，∴当时，，解得：，，当时，，∴，，．（3）解：∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，∴，∵直线的解析式为，∴联立直线与解析式得：，解得：（舍去），，∴，∵是的中点，∴，∴，设，直线的解析式为，则，解得，，∴直线的解析式为，∵直线经过点，∴同理，直线的解析式为；直线的解析式为．联立，得，解得：．∵直线与相交于点，．设点在直线上，则，①整理得，，比较系数得：，解得：，∴当时，无论为何值时，等式①恒成立．∴点在定直线上．【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．9．（2023·湖南·中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．

(1)求a的值．(2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果；（2）设与轴交于点，设，过点作轴交于点，作于点，先证明是等腰直角三角形，再表示出的长度，根据二次函数的性质即可得出结果；【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，得，解得：；（2）解：存在，理由如下：设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为，当时，，即，，，即是等腰直角三角形，，，，设，过点作轴交于点，作于点，

，即是等腰直角三角形，设直线的解析式为，代入，得，解得，故直线的解析式为，将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为，，，当时，有最大值，此时也有最大值，；【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．

(1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上．①________；②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．【答案】(1)①1；②；③是，值为1(2)或【分析】（1）①当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1；（2）由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在轴左侧时，求解过程同（2）①；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，．【详解】（1）①解：当，，∴不在二次函数图象上，将代入，解得，故答案为：1；②解：由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，∴轴，∴，∵，∴，解得（舍去），（舍去），，∴菱形的边长为；③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，

由正方形的性质可知，为、的中点，，，∴，∴，∵，，，∴，∴，，由题意知，，，，则，，设，则，，∴，，，，∴，，∴，∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，∴，∴，∴是定值，值为1；（2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，∵，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，∴，，，，∴，，∴，化简得，∵∴；②当在轴左侧时，同理可求；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，；综上所述，或．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．11．（2023·四川