高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)函数导数及其应用

x届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）函数、导数及其应用x节函数及其表示[备考方向要明了]考什么怎么考1.考查方式多为选择题或填空题,1.了解构成函数的要素,了解映射的概念,2.函数的表示方法是高考的常考内容,特别是图象法不解析式更是高考的常客,如x年新课标全国T102.在实际情境中,会根据不同的等,需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函3.分段函数是高考的重点也是热点,常以求解函数数,值,由函数值求自变量以及不不等式相关的问题为主,如x年xT3等.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.[归纳?知识整合]1(函数与映射的概念函数映射两集合A，B是两个非空数集A，B是两个非空集合A，B对应关系按照某种确定的对应关系f，对于集合按某一个确定的对应关系f，对于集合f:A?BA中的任意一个数x，在集合B中有A中的任意一个元素x在集合B中都唯一确定的数f(x)和它对应有唯一确定的元素y与之对应f:A?B为从集合A到集合B的一个对应f:A?B为从集合A到集合B的名称函数一个映射记法y,f(x)，x?A对应f:A?B是一个映射[探究]1.函数和映射的区别与联系是什么,提示:二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合～可以不是数集～而函数中的两个集合必须是非空数集～二者的联系是函数是特殊的映射(2(函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y,f(x)，x?A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫做函数的值域(显然，值域是集合B的子集((2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系(3(相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数([探究]2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数,提示:不一定(如函数y,x与y,x，1～其定义域与值域完全相同～但不是同一个函数,再如y,sinx与y,cosx～其定义域都为R～值域都为[,1,1]～显然不是同一个函数(因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同～所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数(4(函数的表示方法表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图象法(5(分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数([自测?牛刀小试]1((教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有()?函数是定义域到值域的对应关系;?函数f(x),x,4，1,x;2?f(x),5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t，1)也等于5;?y,2x(x?N)的图象是一条直线;0?f(x),1与g(x),x表示同一个函数(A(1个B(2个C(3个D(4个,x,4?0～,,解析:选B由函数的定义知?正确,?错误,由得定义域为?～所以不1,x?0～,,2是函数,因为函数f(x),5为常数函数～所以f(t，1),5～故?正确,因为x?N～所以函数y,2x(x?N)的图象是一些离散的点～故?错误,由于函数f(x),1的定义域为R～函数0g(x),x的定义域为{x|x?0}～故?错误(综上分析～可知正确的个数是2.2((教材习题改编)以下给出的对应是从集合A到B的映射的有()?集合A,{P|P是数轴上的点}，集合B,R，对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应(?集合A,{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B,{(x，y)|x?R，y?R}，对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;?集合A,{x|x是三角形}，集合B,{x|x是圆}，对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;?集合A,{x|x是新华中学的班级}，集合B,{x|x是新华中学的学生}，对应关系f:每一个班级都对应班里的学生(A(1个B(2个C(3个D(4个解析:选C由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个～即一个班级对应的学生不止一个～所以?不是从集合A到集合B的映射(2,x，1，x?1，,,((x?x高考)若函数f(x),3则f(f(10)),(),lgx，x>1，,A(lg101B(2C(1D(0解析:选Bf(10),lg10,1～故f(f(10)),f(1),x，1,2.x，24((教材习题改编)已知函数f(x),，则f(f(4)),________;若f(a),2，则a,x,6________.x，24，2解析:?f(x),～?f(4),,,3.x,64,6,3，21?f(f(4)),f(,3),,.,3,69a，2?f(a),2～即,2～a,6解得a,14.1答案:1495((教材习题改编)A,{x|x是锐角}，B,(0,1)，从A到B的映射是“求余弦”，与A3中元素60?相对应的B中的元素是________;与B中元素相对应的A中的元素是2________(11解析:?cos60?,～?与A中元素60?相对应的B中的元素是.2233又?cos30?,～?与B中元素相对应的A中的元素是30?.221答案:30?2函数与映射的概念[例1]有以下判断:,1，，x?0，,|x|,(1)f(x),与g(x),表示同一个函数(x,1，，x<0，,,(2)函数y,f(x)的图象与直线x,1的交点最多有1个(22(3)f(x),x,2x，1与g(t),t,2t，1是同一函数(1,,,,(4)若f(x),|x,1|,|x|，则ff,0.,,,,2其中正确判断的序号是________(|x|[自主解答]对于(1)～函数f(x),的定义域为{x|x?R且x?0}～而函数g(x),x,1，x?0，～,,的定义域是R～所以二者不是同一函数,对于(2)～若x,1不是y,f(x)定义域,1，x<0，,,内的值～则直线x,1与y,f(x)的图象没有交点～若x,1是y,f(x)定义域内的值～由函数的定义可知～直线x,1与y,f(x)的图象只有一个交点～即y,f(x)的图象与直线x,1最多有一个交点,对于(3)～f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同～所以f(x)与g(t)表示111,,,,,,同一函数,对于(4)～由于f,,1,,0～,,,,,,2221,,,,所以f,f(0),1.f,,,,2综上可知～正确的判断是(2)(3)([答案](2)(3)———————————————————1(判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验:(1)定义域和对应关系是否给出;(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y与之对应(2(判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断(1((1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数,为什么,1，x?1，,,x2，1<x<2，?f:y,;f:y,1.?f:y,,121x,3，x?2;,f:2x?11,x,2x?2xy123?f:y,2x;f:如图所示(12解:?不同函数(f(x)的定义域为{x?R|x?0}～f(x)的定义域为R.12?同一函数(x与y的对应关系完全相同且定义域相同～它们是同一函数的不同表示方式(?同一函数(理由同?.2(2)已知映射f:A?B.其中A,B,R，对应关系f:x?y,,x，2x，对于实数k?B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是()A(k>1B(k?1C(k<1D(k?122解析:选A由题意知～方程,x，2x,k无实数根～即x,2x，k,0无实数根(所以Δ,4(1,k)<0～解得k>1时满足题意.求函数的解析式2[例2](1)已知f(x，1),x，4x，1，求f(x)的解析式((2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x，1),f(x),2x，9.求f(x)([自主解答](1)法一:(换元法)设x，1,t～则x,t,1～2?f(t),(t,1)，4(t,1)，1～2即f(t),t，2t,2.2?所求函数为f(x),x，2x,2.22法二:(配凑法)?f(x，1),x，4x，1,(x，1)，2(x，1),2～2?所求函数为f(x),x，2x,2.(2)(待定系数法)由题意～设函数为f(x),ax，b(a?0)～?3f(x，1),f(x),2x，9～?3a(x，1)，3b,ax,b,2x，9～即2ax，3a，2b,2x，9.,2a,2～,,由恒等式性质～得3a，2b,9～,,解得a,1～b,3.?所求函数解析式为f(x),x，3.22,,若将本例(1)中“f(x，1),x，4x，1”改为“f，1,lgx”，如何求解,,,x2解:令，1,t～?x>0～x2?t>1且x,.t,122?f(t),lg～即f(x),lg(x>1)(t,1x,1———————————————————求函数解析式的常用方法(1)配凑法:由已知条件f(g(x)),F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式;(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围;1,,(4)解方程组法:已知关于f(x)与f或f(,x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外,,x一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)(2(给出下列两个条件:(1)f(x，1),x，2x;(2)f(x)为二次函数且f(0),3，f(x，2),f(x),4x，2.试分别求出f(x)的解析式(解:(1)令t,x，1～2?t?1～x,(t,1).22则f(t),(t,1)，2(t,1),t,1～2?f(x),x,1(x?1)(2(2)设f(x),ax，bx，c～又?f(0),c,3.2?f(x),ax，bx，3～22?f(x，2),f(x),a(x，2)，b(x，2)，3,(ax，bx，3),4ax，4a，2b,4x，2.,,4a,4～a,1～,,2,,?解得?f(x),x,x，3.4a，2b,2～b,,1.,,,,分段函数求值1x,,,，x?4，,,,2[例3]已知函数f(x),,则f(2，log3)的值为()2,,f，x，1，，x<4，11A.B.241211C.D.63[解析]?2，log3<4～?f(2，log3),f(3，log3)(2221111113，log3log3,,,,?3，log3>4～?f(2，log3),f(3，log3),,×,×,.22222,,,,2828324[答案]A———————————————————解决分段函数求值问题的方法(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值((2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决(x,2，1，x<1，,,3(已知函数f(x),若f(f(0)),4a，则实数a等于()2x，ax，x?1，,,14A.B.25C(2D(9x解析:选C?x<1～f(x),2，1～?f(0),2.2由f(f(0)),4a～得f(2),4a～?x?1～f(x),x，ax～?4a,4，2a～解得a,2.4种方法——函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有:(1)待定系数法;(2)换元法;(3)配凑法;(4)解方程组法(具体内容见例2[方法?规律](2两个易误点——映射的概念及分段函数求值问题中的易误点(1)判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”(但要注意:?A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多;?B中元素可无原象，即B中元素可有剩余((2)求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f(x)时，一定要首先判断x属于定义域的哪个子集，然后再代入相00应的关系式;分段函数的值域是其定义域内不同子集上对应的各关系式的值域的并集.数学思想——分类讨论思想在分段函数中的应用当数学问题不宜用统一的方法处理时，我们常常根据研究对象的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为“全而不重，广而不漏”的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题答案的思想，这就是主要考查了分类讨论的数学思想，由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现(,2x，a，x,1，,,[典例](x?x高考)已知实数a?0，函数f(x),若f(1,a),f(1，a)，,,x,2a，x?1，,则a的值为________([解析]?当1,a,1～即a,0时～此时a，1,1～由f(1,a),f(1，a)～得2(1,a)，3a,,(1，a),2a～计算得a,,(舍去),?当1,a,1～即a,0时～此时a，1,1～由f(123,a),f(1，a)～得2(1，a)，a,,(1,a),2a～计算得a,,～符合题意～所以综上所述～43a,,.43[答案],4[题后悟道]1(在解决本题时，由于a的取值不同限制了1,a及1，a的取值，从而应对a进行分类讨论(2(运用分类讨论的思想解题的基本步骤(1)确定讨论对象和确定研究的区域;(2)对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级);(3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论，逐步解决;(4)归纳总结，整合得出结论([变式训练]logx，x>0，2,,1(设函数f(x),若f(a)>f(,a)，则实数a的取值范围是(),log，,x，，x<0，1,,2A((,1,0)?(0,1)B((,?，,1)?(1，，?)C((,1,0)?(1，，?)D((,?，,1)?(0,1)解析:选C?当a>0时～?f(a)>f(,a)～1?loga>loga,log.221a21?a>～得a>1.a?当a<0时～?f(a)>f(,a)～1?log(,a)>log(,a),log.211,a221?,a<得,1<a<0～故C项为正确选项(,a,x,2，x?，,?，1，，,,2(设函数f(x),若f(x)>4，则x的取值范围是2x，x?[1，，?，，,,________________(,x解析:当x<1时～由f(x)>4得2>4～即x<,2,2当x?1时～由f(x)>4得x>4～所以x>2或x<,2～但由于x?1～所以x>2.综上～x的取值范围是x<,2或x>2.答案:(,?，,2)?(2，，?)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(下列各组函数中，表示相等函数的是()525A(y,x与y,xxlnxB(y,lne与y,e，x,1，，x，3，C(y,与y,x，3x,110D(y,x与y,0x555252解析:选Dy,x,x～y,x,|x|～故y,x与y,x不表示相等函数,B、C选项中的两函数定义域不同,D选项中的两函数是同一个函数(1,,,,2(设A,{0,1,2,4}，B,，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A到B的映射,,2的是()32A(f:x?x,1B(f:x?(x,1)x,1f:x?2D(f:x?2xC(3解析:选C对于A～由于集合A中x,0时～x,1,,1?B～即A中元素0在集合B中没有元素与之对应～所以选项A不符合,同理可知B、D两选项均不能构成A到B的映射～C符合(x,2,2，x?0，,,3(已知函数f(x),则f(f(,10)),(),lg，,x，，x<0，,11A.B.241C(1D(,4解析:选A依题意可知f(,10),lg10,1～11,2f(1),2,.2x，x?0，,4((x?杭州模拟)设函数f(x),若f(a)，f(,1),2，则a,(),,,x，x<0，A(,3B(?3C(,1D(?1解析:选D?f(a)，f(,1),2～且f(,1),1,1～?f(a),1～当a?0时～f(a),a,1～?a,1,当a<0时～f(a),,a,1～?a,,1.25(已知函数f(x)满足f(x)，2f(3,x),x，则f(x)的解析式为()122A(f(x),x,xx，18B(f(x),x,4x，63C(f(x),6x，9D(f(x),2x，322解析:选B由f(x)，2f(3,x),x可得f(3,x)，2f(x),(3,x)～由以上两式解得f(x),12x,4x，6.31,,6((x?泰安模拟)具有性质:f,,f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，,,x下列函数:x，0<x<1，,,110，x,1，?f(x),x,;?f(x),x，;?f(x),满足“倒负”变换的函数是,xx1,，x>1.,,x()A(??B(??C(??D(只有?11,,解析:选B?f,,x,,f(x)满足(,,xx11,,?f,，x,f(x)不满足(,,xx1,,?0<x<1时～f,,x,,f(x)～,,x1,,x,1时～f,0,,f(x)～,,x11,,x>1时～f,,,f(x)满足(,,xx二、填空题112,,7(已知fx,,x，，则函数f(3),________.2,,xx11122,,,,解析:?fx,,x，,x,，2～2,,,,xxx22?f(x),x，2.?f(3),3，2,x.答案:xf，2，f，3，f，2012，8(若f(a，b),f(a)?f(b)且f(1),1，则，，„，,________.f，1，f，2，f，2011，f，a，1，解析:令b,1～?,f(1),1～f，a，f，2，f，3，f，2012，?，，„，,20x.f，1，f，2，f，2011，答案:20x2,x，1，x?0，,2,9(已知函数f(x),则满足不等式f(1,x)>f(2x)的x的取值范围是,1，x<0，,________(2,x，1～x?0～,,解析:画出f(x),的图象～1,～x<0,如图(2由图象可知～若f(1,x)>f(2x)～2,1,x>0～,,则21,x>2x～,,,1<x<1～,即,,,1,2<x<,1，2.得x?(,1～2,1)(答案:(,1，2,1)三、解答题(本大题共3小题，每小题x分，共36分),x,1，x>0，,2,10(已知f(x),x,1，g(x),2,x，x<0.,,(1)求f(g(2))和g(f(2))的值;(2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式(解:(1)由已知～g(2),1～f(2),3～因此f(g(2)),f(1),0～g(f(2)),g(3),2.(2)当x>0时～g(x),x,1～22故f(g(x)),(x,1),1,x,2x,当x<0时～g(x),2,x～22故f(g(x)),(2,x),1,x,4x，3.2,x,2x～x>0～,,所以f(g(x)),2x,4x，3～x<0.,,当x>1或x<,1时～f(x)>0～2故g(f(x)),f(x),1,x,2,当,1<x<1时～f(x)<0～2故g(f(x)),2,f(x),3,x.2,x,2～x>1或x<,1～,,所以g(f(x)),23,x～,1<x<1.,,x(二次函数f(x)满足f(x，1),f(x),2x，且f(0),1.(1)求f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)>2x，5.2解:(1)设二次函数f(x),ax，bx，c(a?0)(?f(0),1～?c,1.把f(x)的表达式代入f(x，1),f(x),2x～有22a(x，1)，b(x，1)，1,(ax，bx，1),2x.?2ax，a，b,2x.?a,1～b,,1.2?f(x),x,x，1.22(2)由x,x，1>2x，5～即x,3x,4>0～解得x>4或x<,1.故原不等式解集为{x|x>4或x<,1}(x(规定[t]为不超过t的最大整数，例如[x.6],x，[,3.5],,4，对任意实数x，令f(x)1,[4x]，g(x),4x,[4x]，进一步令f(x),f[g(x)](217(1)若x,，分别求f(x)和f(x);1216(2)若f(x),1，f(x),3同时满足，求x的取值范围(1277解:(1)?x,时～4x,～1647，，?f(x),,1.1，，4773，，?g(x),,,.，，4443,,?f(x),f[g(x)],f,[3],3.211,,4(2)?f(x),[4x],1～g(x),4x,1～1?f(x),f(4x,1),[16x,4],3.21,1?4x<2～,71,???x<.162,3?16x,4<4～,1(“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点„，用s，s分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相12吻合的是()解析:选B根据故事的描述～乌龟是先于兔子到达终点～到达终点的最后时刻乌龟的路程大于兔子的路程～并且兔子中间有一段路程为零～分析知B图象与事实相吻合(2(下列对应关系是集合P上的函数的是________(*(1)P,Z，Q,N，对应关系f:对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应;2(2)P,{,1,1，,2,2}，Q,{1,4}，对应关系:f:x?y,x，x?P，y?Q;(3)P,{三角形}，Q,{x|x>0}，对应关系f:对P中三角形求面积与集合Q中元素对应(解析:对于(1)～集合P中元素0在集合Q中没有对应元素～故(1)不是函数,对于(3)集合P不是数集～故(3)不是函数,(2)正确(答案:(2)(试判断以下各组函数是否表示同一函数:32(1)y,x,2?x，2，y,x,4;33(2)y,x，y,t;2(3)y,|x|，y,(x).解:?y,x,2?x，2的定义域为{x|x?2}～2y,x,4的定义域为{x|x?2或x?,2}～?它们不是同一函数(33(2)?它们的定义域相同～且y,t,t～33?y,x与y,t是同一函数(2(3)?y,|x|的定义域为R～y,(x)的定义域为{x|x?0}～?它们不是同一函数(x，2，x?,1，,,2x，,1<x<2，4(已知f(x),且f(a),3，求a的值(,2x，x?2，,,2解:?当a?,1时～f(a),a，2～由a，2,3～得a,1～与a?,1相矛盾～应舍去(?当,1<a<2时～f(a),2a～3由2a,3～得a,～满足,1<a<2.22a?当a?2时～f(a),～22a由,3～得a,?6～2又a?2～故a,6.3综上可知～a的值为或6.2第九节函数与方程[备考方向要明了]考什么怎么考1.结合二次函数的图象,高考对本节内容的考查主要体现在以下几个方面:了解函数的零点不方程根(1)结合函数与方程的关系，求函数的零点;的联系,判断一元二次方(2)结合根的存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零程根的存在性及根的个点及零点个数(方程是否存在实数根及方程根的个数)进行数,判断,如x年xT5,湖北T3,xT9等,2.根据具体函数的图象，能(3)利用零点(方程实根)的存在性求相关参数的值或范围.够用二分法求相应方程的近似解.[归纳?知识整合]1(函数的零点(1)定义:对于函数y,f(x)(x?D)，把使f(x),0成立的实数x叫做函数y,f(x)(x?D)的零点((2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系:方程f(x),0有实数根?函数y,f(x)的图象与x轴有交点?函数y,f(x)有零点((3)函数零点的判定(零点存在性定理):如果函数y,f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)<0，那么函数y,f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c?(a，b)，使得f(c),0，这个c也就是方程f(x),0的根([探究]1.函数的零点是函数y,f(x)与x轴的交点吗,是否任意函数都有零点,提示:函数的零点不是函数y,f(x)与x轴的交点～而是y,f(x)与x轴交点的横坐标～也就是说函数的零点不是一个点～而是一个实数,并非任意函数都有零点～只有f(x),0有根的函数y,f(x)才有零点(2(若函数y,f(x)在区间(a，b)内有零点，则y,f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)?f(b)<0呢,提示:不一定(由图(1)(2)可知(3(函数零点具有哪些性质,提示:对于任意函数～只要它的图象是连续不间断的～其函数零点具有以下性质:(1)当它通过零点且穿过x轴时～函数值变号,(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(22(二次函数y,ax，bx，c(a>0)的图象与零点的关系Δ,0Δ,0Δ,02二次函数y,ax，bx，c(a,0)的图象与x轴的交点(x0)，(x0)无交点(x0)1,2,1,零点个数两个一个零个3(二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)?f(b)<0的函数y,f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法([自测?牛刀小试]1((教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析:选C由图象可知～选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的～不能用二分法求解(2((教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题中正确的是()A(函数f(x)在区间(0,1)内有零点B(函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C(函数f(x)在区间[2,16)上无零点D(函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析:选C由题意可知～函数f(x)的唯一零点一定在区间(0,2)内～故一定不在[2,16)内(x3(根据表格中的数据，可以判定方程e,x,2,0的一个根所在的区间为()x,10123xe0.3712.727.3920.09x，212345A.(,1,0)B((0,1)C((1,2)D((2,3)x解析:选C令f(x),e,x,2～则f(,1),0.37,1<0～f(0),1,2<0～f(1),2.72,3<0～f(2),7.39,4>0～f(3),20.09,5>0～x所以方程e,x,2,0的一个根所在的区间为(1,2)(224(若函数f(x),x,ax,b的两个零点是2和3，则函数g(x),bx,ax,1的零点是________(2解析:?函数f(x),x,ax,b的两个零点为2和3～,2，3,a～,,?即a,5～b,,6.,2×3,,b～,22?g(x),bx,ax,1,,6x,5x,1～11令g(x),0～得x,,或,.2311答案:,，,235(函数f(x),3ax，1,2a在区间(,1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是________(解析:?f(x),3ax，1,2a在区间(,1,1)上有零点～且f(x)为一次函数～?f(,1)?f(1)<0～即(1,5a)(1，a)<0.1?a>或a<,1.51答案:a>或a<,15确定函数零点所在的区间x[例1](1)(x?唐山模拟)设f(x),e，x,4，则函数f(x)的零点位于区间()A((,1,0)B((0,1)C((1,2)D((2,3)2x(2)(x?朝阳模拟)函数f(x),2,,a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是x()A((1,3)B((1,2)C((0,3)D((0,2)xx[自主解答](1)?f(x),e，x,4～?f′(x),e，1>0～?函数f(x)在R上单调递增(对,1,1于A项～f(,1),e，(,1),4,,5，e<0～f(0),,3<0～f(,1)f(0)>0～A不正确～同理22可验证B、D不正确(对于C项～?f(1),e，1,4,e,3<0～f(2),e，2,4,e,2>0～f(1)f(2)<0.(2)由条件可知f(1)f(2)<0～即(2,2,a)(4,1,a)<0～即a(a,3)<0～解得0<a<3.[答案](1)C(2)C若方程xlg(x，2),1的实根在区间(k，k，1)(k?Z)内，则k为何值,1解:由题意知～x?0～则原方程即为lg(x，2),～在同一直角坐标系中x1作出函数y,lg(x，2)与y,的图象～如图所示～由图象可知～原方程有两个x根～一个在区间(,2～,1)上～一个在区间(1,2)上～所以k,,2或k,1.———————————————————判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理(当能直接求出零点时，就直接求出进行判断;当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断(,x1((x?武汉模拟)在下列区间中，函数f(x),e,4x,3的零点所在的区间为()3111,,,,A.,，,B.,，,,,,,422411,,,,C.,，0D.0，,,,,4433,,4解析:选B易知函数f(x)在R上是单调减函数(对于A～注意到f,,e,,,4311311,x,,,,,,4224×,,3,e>0～f,,e,4×,,3,e,1>0～因此函数f(x),e,4x,3的,,,,,,4221131111,,,,,,,,44零点不在区间,～,上,对于B～注意到f,>0～f,,e,4×,,3,e,,,,,,,,,42244111,x,,42<4,2<0～因此在区间,～,上函数f(x),e,4x,3一定存在零点,对于C～注意,,2411,x,,,,到f,<0～f(0),,2<0～因此函数f(x),e,4x,3的零点不在区间,～0上,对于D～,,,,4411,,11,x,,44注意到f(0),,2<0～f,e,4×,3,e,4<0～因此函数f(x),e,4x,3的零点,,441,,不在区间0～上(,,42(已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x),[x]为取整函数，x是函数f(x),lnx,02的零点，则g(x)等于________(0x12解析:?函数f(x)的定义域为(0～，?)～?函数f′(x),，>0～即函数f(x)在(0～，2xx2?)上单调递增(由f(2),ln2,1<0～f(e),lne,>0～知x?(2～e)～0e?g(x),[x],2.00答案:2判断函数零点个数11x,,[例2](1)(x?x高考)函数f(x),x,的零点个数为(),,22A(0B(1C(2D(32,lnx,x，2x，x>0，，,,(2)函数f(x),的零点个数为()4x，1，x?0，,,A(0B(1C(2D(311x,,2[自主解答](1)因为y,x在x?[0～，?)上单调递增～y,在x?R上单调递减～,,2111x,,2所以f(x),x,在x?[0～，?)上单调递增～又f(0),,1<0～f(1),>0～所以f(x),x,,2211x,,2,在定义域内有唯一零点(,,21(2)当x?0时～函数有零点x,,,当x>0时～作出函数42y,lnx～y,x,2x的图象～观察图象可知两个函数的图象(如图)有2个交点～即当x>0时函数f(x)有2个零点(故函数f(x)的零点的个数为3.[答案](1)B(2)D———————————————————判断函数零点个数的方法(1)解方程法:令f(x),0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)?f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质;(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题(先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点(1，x>0，,,0，x,0，3((x?x模拟)已知符号函数sgn(x),则函数f(x),sgn(x,1),lnx的零点,,,1，x<0，,个数为()A(1B(2C(3D(4解析:选C依题意得～当x,1>0～即x>1时～f(x),1,lnx～令f(x),0得x,e>1,当x,1,0～即x,1时～f(x),0,ln1,0,当x,1<0～即x<1时～f(x),,1,lnx～令f(x)1,0得x,<1.因此～函数f(x)的零点个数为3.e根据函数零点的存在情况求参数[例3]定义域为R的偶函数f(x)满足对?x?R，有f(x，2),f(x),f(1)，且当x?[2,3]2时，f(x),,2x，xx,18，若函数y,f(x),log(x，1)在(0，，?)上至少有三个零点，则aa的取值范围是(),3,,2,A.B.0，0，,,,,32,5,,6,C.D.0，0，,,,,56[自主解答]在方程f(x，2),f(x),f(1)中～令x,,1得f(1),f(,1),f(1)～再根据函数f(x)是偶函数可得f(1),0～由此得f(x，2),f(x),f(,x)～由此可得函数f(x)是周期为2的周期函数～且其图象关于直线x,1对称～又当x?[0,1]时～x，2?[2,3]～所以当x?[0,1]时～222f(x),f(x，2),,2(x，2)，x(x，2),18,,2x，4x,2,,2(x,1)～根据对称性可知函数2f(x)在[1,2]上的解析式也是f(x),,2(x,1)～故函数f(x)在[0,2]上的解析式是f(x),,2(x,21)～根据其周期性画出函数f(x)在[0～，?)上的部分图象(如图)～结合函数图象～只要实13数a满足0<a<1且,2<log(2，1)<0即可满足题意～故0<a<1且loga<,,log～即a332330<a<.3[答案]A———————————————————已知函数有零点，方程有根，求参数值常用的方法和思路，1，直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;，2，分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;，3，数形结合:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.2e24(已知函数f(x),,x，2ex，m,1，g(x),x，(x>0)(x(1)若y,g(x),m有零点，求m的取值范围;(2)确定m的取值范围，使得g(x),f(x),0有两个相异实根(2e2解:(1)法一:?g(x),x，,2e～?2ex等号成立的条件是x,e～?g(x)的值域是[2e～，?)(因而只需m?2e～则y,g(x),m就有零点(2e法二:作出g(x),x，(x>0)的大致图象如图:x可知若使y,g(x),m有零点～则只需m?2e.(2)若g(x),f(x),0有两个相异的实根～即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点～2e作出g(x),x，(x>0)的大致图象(x2?f(x),,x，2ex，m,122,,(x,e)，m,1，e.2?其图象的对称轴为x,e～开口向下～最大值为m,1，e.22故当m,1，e>2e～即m>,e，2e，1时～g(x)与f(x)有两个交点～即g(x),f(x),0有两个相异实根(2?m的取值范围是(,e，2e，1～，?)(1个口诀——用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为:定区间，找中点，中值计算两边看(同号去，异号算，零点落在异号间(周而复始怎么办,精确度上来判断(3种方法——判断函数零点所在区间的方法判断函数y,f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上;(2)利用函数零点的存在性定理进行判断;(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断(4个结论——有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点((2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号((3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号((4)函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.数学思想——利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决([典例](x?x高考)对于实数a和b，定义运算“*”:2,a,ab，a?b，,,a*b,设f(x),(2x,1)*(x,1)，且关于x的方程f(x),m(m?R)恰有2b,ab，a>b.,,三个互不相等的实数根x，x，x，则xxx的取值范围是________(1231232,，2x,1，,，2x,1，，x,1，～x?0～,,[解析]由定义可知～f(x),(2x,1)*(x,1),2,，x,1，,，2x,1，，x,1，～x>0～,2,2x,x～x?0～,,即f(x),作出函数f(x)的图象～如图所示～2,x，x～x>0.,,关于x的方程f(x),m恰有三个互不相等的实根x～x～x～即1231函数f(x)的图象与直线y,m有三个不同的交点～则0<m<.不妨设从4左到右交点的横坐标分别为x～x～x.12322当x>0时～,x，x,m～即x,x，m,0～?x，x,1～23x，x123,,2?0<xx<～即0<xx<,2323,,2412,2x,x,～,1,34当x<0时～由得x,～,4,,x<0～1,3?<x<0.143,1?0<,x<.143,1?0<,xxx<.123161,3?<xxx<0.123161,,3,[答案]，0,,16[题后悟道]1(解决本题的关键有以下三点(1)根据新定义正确求出函数f(x)的解析式，并准确画出其图象((2)利用一元二次方程根与系数的关系及基本不等式确定xx的范围(23(3)正确确定x的取值范围(12(函数y,f(x)有零点?方程f(x),0有实根?函数y,f(x)的图象与x轴有交点(在解决函数与方程的问题时，要注意这三者之间的关系，在解题中充分利用这个关系与实际问题的转化([变式训练]21(若定义在R上的函数f(x)满足f(x，2),f(x)，且x?[,1,1]时，f(x),1,x，函数lgx，x>0，,,0，x,0，g(x),则方程f(x),g(x),0在区间[,5,5]上的解的个数为(),1,，x<0，,,xA(5B(7C(8D(10解析:选C依题意得～函数f(x)是以2为周期的函数～在同一坐标系下画出函数y,f(x)与函数y,g(x)的图象～结合图象得～当x?[,5,5]时～它们的图象的公共点共有8个～即方程f(x),g(x),0在区间[,5,5]内的解的个数是8.2,,，x?2，x2(已知函数f(x),,若关于x的方程f(x),k有两个不同的实根，则实3,,，x,1，，x<2.数k的取值范围是________(解析:画出函数f(x)的图象如图所示～根据图象可知当k?(0,1)时～方程f(x),k有两个不同的实根(答案:(0,1)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)x,2,1，x?1，,,1(已知函数f(x),则函数f(x)的零点为()1，logx，x>1，,,21A.，0B(,2,021C.D(02x1时～由f(x),2,1,0～解得x,0,当x>1时～由f(x),1，logx解析:选D当x?21,0～解得x,～又因为x>1～所以此时方程无解(综上函数f(x)的零点只有0.222((x?湖北高考)函数f(x),xcosx在区间[0,4]上的零点个数为()A(4B(5C(6D(7π3π5π7π9π22解析:选C?x?[0,4]～?x?[0,16](?x,0～～～～～～都是f(x)的零22222点～此时x有6个值(?f(x)的零点个数为6.x3(函数f(x),e，x,2的零点所在的一个区间是()A((,2，,1)B((,1,0)C((0,1)D((1,2),2解析:选C因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线～又f(,2),e,4<0～f(,1),12,e,3<0～f(0),,1<0～f(1),e,1>0～f(2),e>0～所以f(0)?f(1)<0～故函数的零点所在的一个区间是(0,1)(π14((x?济宁模拟)函数f(x),3sinx,logx的零点的个数是()22A(2B(3C(4D(5π2π解析:选D函数y,3sinx的周期T,,4～由logx,3～12π221可得x,～由logx,,3～可得x,8.在同一平面直角坐标系中～182π作出函数y,3sinx和y,logx的图象(如图所示)～易知f(x)有5个零点(1221x,,5(已知函数f(x),,logx，若x是函数y,f(x)的零点，且0<x<x，则f(x)的值30101,,5()A(恒为正值B(等于0C(恒为负值D(不大于01x,,解析:选A注意到函数f(x),,logx在(0～，?)上是减函数～因此当0<x<x时～310,,5有f(x)>f(x)～又x是函数f(x)的零点～因此f(x),0～所以f(x)>0～即此时f(x)的值恒为正100011值～选A.6((x?洛阳模拟)若函数y,f(x)(x?R)满足f(x，2),f(x)，且x?[,1,1]时，f(x),|x|，函sinπx，x>0，,,数g(x),,则函数h(x),f(x),g(x)在区间[,5,5]上的零点的个数为()1,，x<0，,,x10B(9A(C(8D(7解析:选B由f(x，2),f(x)可知～函数f(x)是周期为2的周期函数(在同一直角坐标系中画出函数f(x)与函数g(x)的图象～如图所示(结合图象可知～函数h(x)在[,5,5]上有9个零点((注意函数g(x)在x,0处无定义)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)x7(定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时，f(x),20x，logx，则在R上，函数20xf(x)零点的个数为________(x解析:函数f(x)为R上的奇函数～因此f(0),0～当x>0时～f(x),20x，logx在区间20x1,,0～内存在一个零点～又f(x)为增函数～因此在(0～，?)内有且仅有一个零点(根据,,2012对称性可知函数在(,?～0)内有且仅有一解～从而函数在R上的零点的个数为3.答案:3x8(已知函数f(x),x，2，g(x),x，lnx，h(x),x,x,1的零点分别为x，x，x，则123x，x，x的大小关系是________(123xx解析:令x，2,0～得2,,x～令x，lnx,0～得lnx,,x.x在同一坐标系内画出y,2～y,lnx～y,,x～如图:x<0<x<1～12令x,x,1,0～2则(x),x,1,0～1，53，5?x,～即x,>1.所以x<x<x.312322答案:x<x<x12329(已知函数f(x)满足f(x，1),,f(x)，且f(x)是偶函数，当x?[0,1]时，f(x),x.若在区间[,1,3]内，函数g(x),f(x),kx,k有4个零点，则实数k的取值范围为________(解析:依题意得f(x，2),,f(x，1),f(x)～即函数f(x)是以2为周期的函数(g(x),f(x),kx,k在区间[,1,3]内有4个零点～即函数y,f(x)与y,k(x，1)的图象在区间[,1,3]内有4个不同的交点(在坐标平面内画出函数y,f(x)的图象(如图所示)～注意到直线y,k(x，1)恒过点(,1,0)～1,，由图象可知～当k?0～时～直线与曲线y,f(x)在区间[,1,3]内有4个不同的交点～故实,，41,，数k的取值范围是0～.,，41,，答案:0，,，4三、解答题(本大题共3小题，每小题x分，共36分)210(是否存在这样的实数a，使函数f(x),x，(3a,2)x，a,1在区间[,1,3]上与x轴有且只有一个交点(若存在，求出a的范围;若不存在，说明理由(8822,,解:因为Δ,(3a,2),4(a,1),9a,，>0～,,99所以若存在实数a满足条件～则只需f(,1)?f(3)?0即可～即f(,1)?f(3),(1,3a，2，a,1)?(9，9a,6，a,1),4(1,a)(5a，1)?0.1所以a?,或a?1.5检验:?当f(,1),0时～a,1.22所以f(x),x，x.令f(x),0～即x，x,0.得x,0或x,,1.方程在[,1,3]上有两根～不合题意～故a?1.1?当f(3),0时～a,,～51362此时f(x),x,x,～551362令f(x),0～即x,x,,0～552解得x,,或x,3.51方程在[,1,3]上有两根～不合题意～故a?,.51,,综上所述～a的取值范围为,?～,?(1～，?)(,,52x(若函数F(x),|4x,x|，a有4个零点，求实数a的取值范围(2解:若F(x),|4x,x|，a有4个零点～2即|4x,x|，a,0有四个根～2即|4x,x|,,a有四个根(2令g(x),|4x,x|～h(x),,a.则作出g(x)的图象～2由图象可知要使|4x,x|,,a有四个根～则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点～?0<,a<4～即,4<a<0～a的取值范围为(,4,0)(2x(已知关于x的二次方程x，2mx，2m，1,0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(,1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围(2解:(1)由条件～抛物线f(x),x，2mx，2m，1与x轴的交点分别在区间(,1,0)和(1,2)内～f，0，,2m，1<0～,,f，,1，,2>0～如图(1)所示～得,f，1，,4m，2<0～,,f，2，,6m，5>051,<m<,～6251,,m的取值范围是,～,.,,62(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内～如图(2)所示f，0，>0～,,f，1，>0～得不等式组,Δ?0～,,0<,m<11m>,～2,,1m>,.?2,m?1，2或m?1,2～,,,1<m<0～11,，即,<m?1,2～m的取值范围是,～1,2.,，221(若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x，2),f(x)，且当x?[0,1]时，f(x),x，则函数y,f(x),log|x|的零点个数是()3A(多于4B(4C(3D(2解析:选B由题意可知～函数y,f(x)是周期为2的偶函数～在同一直角坐标中作出函数y,f(x)和y,log|x|的图象～如图所示～3结合图象可以知函数的零点有4个(2(判断下列函数在给定区间上是否存在零点(1(1)f(x),,x，x?(0,1)(x(2)f(x),log(x，2),x，x?[1,3](21解:(1)法一:令f(x),,x,0～解得x,?1～x又??1?(0,1)～1?f(x),,x～x?(0,1)不存在零点(x1法二:画出函数f,与y,x的图象～如右图所示～x由图象观察可知此函数在(0,1)不存在零点((2)函数f(x),log(x，2),x的图象在[1,3]上连续(2又f(1),log3,1>log2,1,0.22f(3),log5,3<log8,3,0.22?f(1)?f(3)<0.故函数f(x),log(x，2),x～x?[1,3]存在零点(2xx3(设函数f(x),log(2，1)，g(x),log(2,1)，若关于x的函数F(x),g(x),f(x),m22在[1,2]上有零点，求m的取值范围(解:法一:令F(x),0～即g(x),f(x),m,0.xx所以有m,g(x),f(x),log(2,1),log(2，1)22x2,12,,1,,log,log.x2x2,,2，12，1x?1?x?2～?3?2，1?5.222123???～?1,?.xx2，2，513315213,,1,?log?log～?logx222,,2，13513即log?m?log.223513，，m的取值范围是log～log.22，，35xx法二:log(2,1),m，log(2，1)(22xmx?log(2,1),log[2?(2，1)](22xmx?2,1,2?(2，1)(m2，1xmmx?2(1,2),2，1,2,～m1,2m2，1,,即x,log.2m,1,2,m2，1,,?1?x?2～?1?log?2.2m,1,2,m2，113m?2??4～解得?2?～m1,23513即log?m?log.223513，，m的取值范围是log～log.22，，35第十节函数模型及其应用[备考方向要明了]考什么怎么考1.函数模型考查的重点是函数模型的建立1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的以及函数模型中的最值问题,命题的热点增长特征,知道直线上升、指数增长、对是二次函数的最值或利用基本不等式求解数增长等不同函数类型增长的含义,最值,如x年xT17等,2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂2.考查题型以解答题为主.函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.[归纳?知识整合]1(几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x),ax，b(a，b为常数，a?0)2二次函数模型f(x),ax，bx，c(a，b，c为常数，a?0)xf(x),ba，c(a，b，c为常数，a>0且a?1，指数函数模型b?0)f(x),blogx，c(a，b，c为常数，a>0且a?1，a对数函数模型b?0)n幂函数模型f(x),ax，b(a，b，n为常数，a?0，n?0)2.三种函数模型性质比较xny,a(a>1)y,logx(a>1)y,x(n>0)a在(0，，?)上的单调递增函数单调递增函数单调递增函数单调性增长速度越来越快越来越慢相对平稳随x值增大，图象与y随x值增大，图象与x图象的变化随n值变化而不同轴接近平行轴接近平行[探究]1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么,提示:直线上升:匀速增长～其增长量固定不变,指数增长:先慢后快～其增长量成倍增加～常用“指数爆炸”来形容,对数增长:先快后慢～其增长速度缓慢(2(你认为解答数学应用题的关键是什么,提示:解答数学应用题的关键有两点:一是认真读题～缜密审题～将实际问题中的自然语言转化为相应的数学语言,二是要合理选取变量～设定变量后～就要寻找它们之间的内在联系～选用恰当的代数式表示问题中的关系～建立相应的函数、方程、不等式等数学模型([自测?牛刀小试]1((教材习题改编)在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加(假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍;细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍(现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为()A(5hB(10hC(15hD(30h解析:选B假设一开始两种细菌数量均为m～则依题意经过x小时后～细菌A的数xxxx量是f(x),m?2～细菌B的数量是g(x),m?4～令m?2,2?m?4～解得x,10.25252((教材习题改编)在某种新型材料的研制中，x人员获得了下列一组x数据(现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.xy0.971.591.982.352.61xA.y,2B(y,logx212C(y,(x,1)D(y,2.61cosx2解析:选B通过检验可知～y,logx较为接近(23(据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是()A(y,0.1x，800(0?x?4000)B(y,0.1x，1200(0?x?4000)C(y,,0.1x，800(0?x?4000)D(y,,0.1x，1200(0?x?4000)解析:选Dy,0.2x，(4000,x)×0.3,,0.1x，1200.4((教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________(x解析:因为储蓄按复利计算～所以本利和y随存期x变化的函数关系式是y,a(1，r)～*x?N.x*答案:y,a(1，r)，x?N5(某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________元(解析:九折出售时价格为100×(1，25%)×90%,x2.5元～此时每件还获利x2.5,100,x.5元(答案:x.5利用函数刻画实际问题[例1]如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止(用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()(A(1个B(2个C(3个D(4个[自主解答]将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中～容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来～图?应该是匀速的～故下面的图象不正确～?中的变化率应该是越来越慢的～正确,?中的变化规律是先快后慢再快～正确,?中的变化规律是先慢后快再慢～也正确～故只有?是错误的([答案]A———————————————————用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可(1(一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示(某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(给出以下3个论断:?0点到3点只进水不出水;?3点到4点不进水只出水;?4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A(?B(????D(???C(1解析:选A由甲、乙两图知～进水速度是出水速度的～所以0点到3点不出水～32点到4点也可能一个进水口进水～一个出水口出水～但总蓄水量降低～4点到6点也可能两个进水口进水～一个出水口出水～一定正确的是?.利用已知函数模型解决实际问题[例2](x?x高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平1面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点(已知炮弹发射后的轨迹在方程y,kx,(1，2022k)x(k,0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关(炮的射程是指炮弹落地点的横坐标((1)求炮的最大射程;(2)设在x象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它,请说明理由(122[自主解答](1)令y,0～得kx,(1，k)x,0～由实际意义和题设条件知x,0～k,0～2020k2020故x,,?,10～当且仅当k,1时取等号(21，k12k，k所以炮的最大射程为10千米(122(2)因为a,0～所以炮弹可击中目标?存在k,0～使3.2,ka,(1，k)a成立20222?关于k的方程ak,20ak，a，64,0有正根222?判别式Δ,(,20a),4a(a，64)?0?a?6.所以当a不超过6千米时～可击中目标(———————————————————利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题(2(某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系式是p,,t，20，0<t<25，t?N，,,且该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式是Q*,,,t，100，25?t?30，t?N，,,t，40(0<t?30，t?N)(求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天,解:设日销售金额为y(元)～则y,p?Q～2,,t，20t，800～0<t<25～t?N～,,即y,2,,t,140t，4000～25?t?30～t?N～2,,，t,10，，900～0<t<25～t?N～?,,,2,,，t,70，,900～25?t?30～t?N.?由?知～当t,10时～y,900,max由?知～当t,25时～y,1x5.max由1x5>900～知y,1x5～max即在第25天日销售额最大～为1x5元.构建函数模型解决实际问题[例3]某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少1元则增加销售400枚，而每增加1元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x(元)((1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域);(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值([自主解答](1)依题意,[2000，400，20,x，]，x,7，～0,x?20～,,y,[2000,100，x,20，]，x,7，～20<x<40～,,,400，25,x，，x,7，～0,x?20～,,?y,,100，40,x，，x,7，～20<x<40.,此函数的定义域为(0,40)(2，81]～0,x?20～400[,，x,16，,,(2)y,,4710892，，,,100,x,，～20<x<40.,，,,，,24若0,x?20～则当x,16时～y,32400(元)(max47若20<x<40～则当x,时～2y,27225(元)(max综上可得当x,16时～该特许专营店获得的利润最大为32400元(———————————————————把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关(1)事理关:通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口((2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系((3)数理关:在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型(3(某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元(某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)((1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费(解:(1)当甲的用水量不超过4吨时～即5x?4～乙的用水量也不超过4吨～y,1.8(5x，3x),14.4x,当甲的用水量超过4吨～乙的用水量不超过4吨～即3x?4～且5x>4时～y,4×1.8，3x×1.8，3(5x,4),20.4x,4.8.当乙的用水量超过4吨～即3x>4时～y,2×4×1.8，3×[(3x,4)，(5x,4)],24x,9.6.414.4x～0?x?～5,,44所以y,20.4x,4.8～<x?～,534,24x,9.6～x>.,3(2)由于y,f(x)在各段区间上均单调递增～44，，,,当x?0～时～y?f<26.4,，，,,55444,，,,当x?～时～y?f<26.4,,，,,5334,,当x?～，?时～令24x,9.6,26.4～解得x,1.5.,,3所以甲户用水量为5x,5×1.5,7.5吨～付费S,4×1.8，3.5×3,17.70(元),1乙户用水量为3x,4.5吨～付费S,4×1.8，0.5×3,8.70(元)(21个防范——实际问题的定义域要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域(1个步骤——解决实际应用问题的一般步骤(1)审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型，得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义(以上过程用框图表示如下:答题模板——函数实际应用问题[典例](x?x高考)(本小题满分x分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位:米)，其中容器的中间为圆柱形，80π左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，3且l?2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关(已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元(设该容器的建造费用为y千元((1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.[快速规范审题]第(1)问1(审条件，挖解题信息观察条件:中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为r，圆柱的母线3可根据体积公式建立关系式4πr80π2为l，以及容器的体积―――――――――――――?l,，πr33利用表面积公式，可求球及圆柱的表面积2―――――――――――――――――――?S,4πr，球S,2πrl.圆柱2(审结论，明确解题方向观察所求结论:求y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域求总造价y，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价――――――――――――――――――――――――?2球形部分的造价为4πrc，圆柱型部分的造价为2πrl×3.3(建联系，找解题突破口总造价y,球形部分的造价，圆柱型部分的造价，即3应消掉l，只保留r4πr80π804r22y,4πrc，2πrl×3――――――――?由，πrl,解得l,,，故可得建造费2333r3160π由l?2r可求r的范围，即定义域22用y,,8πr，4πcr――――――――――――――――?0<r?2，问题得以解决(r第(2)问1(审条件，挖解题信息160π22观察条件:建造费用y,,8πr，4πcr，定义域为(0,2](r2(审结论，明确解题方向建造费用最小，即y最小观察所求结论:求该容器的建造费用最小时的r―――――――――――――?问题转化为:当r为何值时，y取得最小值(3(建联系，找解题突破口分析函数特点:含分式函数8π，c,2，20可利用导数研究函数的最值160π3,,r,――――――――――――――――?y′,,,16πr，8πcr,，22,,c,2rr3求导数为零的点200<r?2――――――――――?当r,时，y′,0c,2203讨论与区间，的关系，求极值02，,c,2,,,,,,,,,,,332020分?2和0<<2两种情况讨论，并求得结论(c,2c,2[准确规范答题](1)设容器的容积为V～由题意知34π