华师版市级名校2024年中考考前最后一卷数学试卷含解析_第1页
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文档简介

华师版市级名校2024年中考考前最后一卷数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,在边长为3的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为()A.33 B.32 C.2.sin60°的值为()A. B. C. D.3.如图所示是小孔成像原理的示意图,根据图中所标注的尺寸,求出这支蜡烛在暗盒中所成像的长()A. B. C. D.4.据相关报道,开展精准扶贫工作五年以来,我国约有55000000人摆脱贫困,将55000000用科学记数法表示是()A.55×106 B.0.55×108 C.5.5×106 D.5.5×1075.如图,直线y=kx+b与x轴交于点(﹣4,0),则y>0时,x的取值范围是()A.x>﹣4 B.x>0 C.x<﹣4 D.x<06.在下列四个新能源汽车车标的设计图中,属于中心对称图形的是()A. B. C. D.7.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是()A.直线x=1 B.直线x=-1C.直线x=-2 D.直线x=28.如图,在正八边形ABCDEFGH中,连接AC,AE,则的值是()A.1 B. C.2 D.9.已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁,但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误,将14岁写成15岁,经重新计算后,正确的平均数为a岁,中位数为b岁,则下列结论中正确的是()A.a<13,b=13B.a<13,b<13C.a>13,b<13D.a>13,b=1310.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM的长为()A.2 B.2 C. D.4二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段的长为________.12.已知△ABC中,∠C=90°,AB=9,,把△ABC绕着点C旋转,使得点A落在点A′,点B落在点B′.若点A′在边AB上,则点B、B′的距离为_____.13.如图,在矩形ABCD中,过点A的圆O交边AB于点E,交边AD于点F,已知AD=5,AE=2,AF=1.如果以点D为圆心,r为半径的圆D与圆O有两个公共点,那么r的取值范围是______.14.百子回归图是由1,2,3,…,100无重复排列而成的正方形数表,它是一部数化的澳门简史,如:中央四位“19991220”标示澳门回归日期,最后一行中间两位“2350”标示澳门面积,…,同时它也是十阶幻方,其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等,则这个和为______.百子回归15.若关于x的不等式组恰有3个整数解,则字母a的取值范围是_____.16.因式分解a3-6a2+9a=_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin36°52′≈0.60,tan36°52′≈0.75)18.(8分)阅读(1)阅读理解:如图①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断.中线AD的取值范围是________;(2)问题解决:如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.19.(8分)综合与实践﹣﹣旋转中的数学问题背景:在一次综合实践活动课上,同学们以两个矩形为对象,研究相似矩形旋转中的问题:已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,它们各自对角线的交点重合于点O,连接AA′,CC′.请你帮他们解决下列问题:观察发现:(1)如图1,若A′B′∥AB,则AA′与CC′的数量关系是______;操作探究:(2)将图1中的矩形ABCD保持不动,矩形A′B′C′D′绕点O逆时针旋转角度α(0°<α≤90°),如图2,在矩形A′B′C′D′旋转的过程中,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;操作计算:(3)如图3,在(2)的条件下,当矩形A′B′C′D′绕点O旋转至AA′⊥A′D′时,若AB=6,BC=8,A′B′=3,求AA′的长.20.(8分)如图,AC⊥BD,DE交AC于E,AB=DE,∠A=∠D.求证:AC=AE+BC.21.(8分)一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,设慢车离乙地的距离为y1(km),快车离乙地的距离为y2(km),慢车行驶时间为x(h),两车之间的距离为S(km),y1,y2与x的函数关系图象如图①所示,S与x的函数关系图象如图②所示:(1)图中的a=______,b=______.(2)求快车在行驶的过程中S关于x的函数关系式.(3)直接写出两车出发多长时间相距200km?22.(10分)如图,益阳市梓山湖中有一孤立小岛,湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据:AB=80.0米,∠PAB=38.1°,∠PBA=26.1.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置.(以A,B为参照点,结果精确到0.1米)(参考数据:sin38.1°=0.62,cos38.1°=0.78,tan38.1°=0.80,sin26.1°=0.41,cos26.1°=0.89,tan26.1°=0.10)23.(12分)如图,B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,BE=CF,∠B=∠DEF,求证:AC=DF.24.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F;②分别以点E、F为圆心,大于EF长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边于点D.则∠ADC的度数为()A.40° B.55° C.65° D.75°

参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、D【解析】试题分析:∵△ABC为等边三角形,BP平分∠ABC,∴∠PBC=12∠ABC=30°,∵PC⊥BC,∴∠PCB=90°,在Rt△PCB中,PC=BC•tan∠PBC=3考点:1.角平分线的性质;2.等边三角形的性质;3.含30度角的直角三角形;4.勾股定理.2、B【解析】解:sin60°=.故选B.3、D【解析】

过O作直线OE⊥AB,交CD于F,由CD//AB可得△OAB∽△OCD,根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.【详解】过O作直线OE⊥AB,交CD于F,∵AB//CD,∴OF⊥CD,OE=12,OF=2,∴△OAB∽△OCD,∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高,∴,即,解得:CD=1.故选D.【点睛】本题考查相似三角形的应用,解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件,熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.4、D【解析】试题解析:55000000=5.5×107,故选D.考点:科学记数法—表示较大的数5、A【解析】试题分析:充分利用图形,直接从图上得出x的取值范围.由图可知,当y<1时,x<-4,故选C.考点:本题考查的是一次函数的图象点评:解答本题的关键是掌握在x轴下方的部分y<1,在x轴上方的部分y>1.6、D【解析】

根据中心对称图形的概念求解.【详解】解:A.不是中心对称图形,本选项错误;B.不是中心对称图形,本选项错误;C.不是中心对称图形,本选项错误;D.是中心对称图形,本选项正确.故选D.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.7、B【解析】

根据抛物线的对称轴公式:计算即可.【详解】解:抛物线y=x2+2x+3的对称轴是直线故选B.【点睛】此题考查的是求抛物线的对称轴,掌握抛物线的对称轴公式是解决此题的关键.8、B【解析】

连接AG、GE、EC,易知四边形ACEG为正方形,根据正方形的性质即可求解.【详解】解:连接AG、GE、EC,则四边形ACEG为正方形,故=.故选:B.【点睛】本题考查了正多边形的性质,正确作出辅助线是关键.9、A【解析】试题解析:∵原来的平均数是13岁,∴13×23=299(岁),∴正确的平均数a=299-12∵原来的中位数13岁,将14岁写成15岁,最中间的数还是13岁,∴b=13;故选A.考点:1.平均数;2.中位数.10、B【解析】分析:连接OC、OB,证出△BOC是等边三角形,根据锐角三角函数的定义求解即可.详解:如图所示,连接OC、OB

∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOC=60°,∵OC=OB,∴△BOC是等边三角形,∴∠OBM=60°,∴OM=OBsin∠OBM=4×=2.故选B.点睛:考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数;熟练掌握正六边形的性质,由三角函数求出OM是解决问题的关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、【解析】已知BC=8,AD是中线,可得CD=4,在△CBA和△CAD中,由∠B=∠DAC,∠C=∠C,可判定△CBA∽△CAD,根据相似三角形的性质可得,即可得AC2=CD•BC=4×8=32,解得AC=4.12、4【解析】

过点C作CH⊥AB于H,利用解直角三角形的知识,分别求出AH、AC、BC的值,进而利用三线合一的性质得出AA'的值,然后利用旋转的性质可判定△ACA'∽△BCB',继而利用相似三角形的对应边成比例的性质可得出BB'的值.【详解】解:过点C作CH⊥AB于H,

∵在Rt△ABC中,∠C=90,cosA=,

∴AC=AB•cosA=6,BC=3,

在Rt△ACH中,AC=6,cosA=,

∴AH=AC•cosA=4,

由旋转的性质得,AC=A'C,BC=B'C,

∴△ACA'是等腰三角形,因此H也是AA'中点,

∴AA'=2AH=8,

又∵△BCB'和△ACA'都为等腰三角形,且顶角∠ACA'和∠BCB'都是旋转角,

∴∠ACA'=∠BCB',

∴△ACA'∽△BCB',∴即,解得:BB'=4.故答案为:4.【点睛】此题考查了解直角三角形、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是得出△ACA'∽△BCB'.13、【解析】

因为以点D为圆心,r为半径的圆D与圆O有两个公共点,则圆D与圆O相交,圆心距满足关系式:|R-r|<d<R+r,求得圆D与圆O的半径代入计算即可.【详解】连接OA、OD,过O点作ON⊥AE,OM⊥AF.AN=AE=1,AM=AF=2,MD=AD-AM=3∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°,∴四边形OMAN是矩形∴OM=AN=1∴OA=,OD=∵以点D为圆心,r为半径的圆D与圆O有两个公共点,则圆D与圆O相交∴【点睛】本题考查了圆与圆相交的条件,熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键.14、505【解析】

根据已知得:百子回归图是由1,2,3…,100无重复排列而成,先计算总和;又因为一共有10行,且每行10个数之和均相等,所以每行10个数之和=总和÷10,代入求解即可.【详解】1~100的总和为:=5050,

一共有10行,且每行10个数之和均相等,所以每行10个数之和为:n=5050÷10=505,故答案为505.【点睛】本题是数字变化类的规律题,是常考题型;一般思路为:按所描述的规律从1开始计算,从计算的过程中慢慢发现规律,总结出与每一次计算都符合的规律,就是最后的答案15、﹣2≤a<﹣1.【解析】

先确定不等式组的整数解,再求出a的范围即可.【详解】∵关于x的不等式组恰有3个整数解,∴整数解为1,0,﹣1,∴﹣2≤a<﹣1,故答案为:﹣2≤a<﹣1.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用,能根据已知不等式组的解集和整数解确定a的取值范围是解此题的关键.16、a(a-3)2【解析】

根据因式分解的方法与步骤,先提取公因式,再根据完全平方公式分解即可.【详解】解:故答案为:.【点睛】本题考查因式分解的方法与步骤,熟练掌握方法与步骤是解答关键.三、解答题(共8题,共72分)17、52【解析】

根据楼高和山高可求出EF,继而得出AF,在Rt△AFC中表示出CF,在Rt△ABD中表示出BD,根据CF=BD可建立方程,解出即可.【详解】如图,过点C作CF⊥AB于点F.设塔高AE=x,由题意得,EF=BE−CD=56−27=29m,AF=AE+EF=(x+29)m,在Rt△AFC中,∠ACF=36°52′,AF=(x+29)m,则,在Rt△ABD中,∠ADB=45°,AB=x+56,则BD=AB=x+56,∵CF=BD,∴,解得:x=52,答:该铁塔的高AE为52米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是构造直角三角形,注意利用方程思想求解,难度一般.18、(1)2<AD<8;(2)证明见解析;(3)BE+DF=EF;理由见解析.【解析】试题分析:(1)延长AD至E,使DE=AD,由SAS证明△ACD≌△EBD,得出BE=AC=6,在△ABE中,由三角形的三边关系求出AE的取值范围,即可得出AD的取值范围;(2)延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM,同(1)得△BMD≌△CFD,得出BM=CF,由线段垂直平分线的性质得出EM=EF,在△BME中,由三角形的三边关系得出BE+BM>EM即可得出结论;(3)延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,证出∠NBC=∠D,由SAS证明△NBC≌△FDC,得出CN=CF,∠NCB=∠FCD,证出∠ECN=70°=∠ECF,再由SAS证明△NCE≌△FCE,得出EN=EF,即可得出结论.试题解析:(1)解:延长AD至E,使DE=AD,连接BE,如图①所示:∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,在△BDE和△CDA中,BD=CD,∠BDE=∠CDA,DE=AD,∴△BDE≌△CDA(SAS),∴BE=AC=6,在△ABE中,由三角形的三边关系得:AB﹣BE<AE<AB+BE,∴10﹣6<AE<10+6,即4<AE<16,∴2<AD<8;故答案为2<AD<8;(2)证明:延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM,如图②所示:同(1)得:△BMD≌△CFD(SAS),∴BM=CF,∵DE⊥DF,DM=DF,∴EM=EF,在△BME中,由三角形的三边关系得:BE+BM>EM,∴BE+CF>EF;(3)解:BE+DF=EF;理由如下:延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图3所示:∵∠ABC+∠D=180°,∠NBC+∠ABC=180°,∴∠NBC=∠D,在△NBC和△FDC中,BN=DF,∠NBC=∠D,BC=DC,∴△NBC≌△FDC(SAS),∴CN=CF,∠NCB=∠FCD,∵∠BCD=140°,∠ECF=70°,∴∠BCE+∠FCD=70°,∴∠ECN=70°=∠ECF,在△NCE和△FCE中,CN=CF,∠ECN=∠ECF,CE=CE,∴△NCE≌△FCE(SAS),∴EN=EF,∵BE+BN=EN,∴BE+DF=EF.考点:全等三角形的判定和性质;三角形的三边关系定理.19、(1)AA′=CC′;(2)成立,证明见解析;(3)AA′=【解析】

(1)连接AC、A′C′,根据题意得到点A、A′、C′、C在同一条直线上,根据矩形的性质得到OA=OC,OA′=OC′,得到答案;(2)连接AC、A′C′,证明△A′OA≌△C′OC,根据全等三角形的性质证明;(3)连接AC,过C作CE⊥AB′,交AB′的延长线于E,根据相似多边形的性质求出B′C′,根据勾股定理计算即可.【详解】(1)AA′=CC′,理由如下:连接AC、A′C′,∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,∠CAB=∠C′A′B′,∵A′B′∥AB,∴点A、A′、C′、C在同一条直线上,由矩形的性质可知,OA=OC,OA′=OC′,∴AA′=CC′,故答案为AA′=CC′;(2)(1)中的结论还成立,AA′=CC′,理由如下:连接AC、A′C′,则AC、A′C′都经过点O,由旋转的性质可知,∠A′OA=∠C′OC,∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是矩形,∴OA=OC,OA′=OC′,在△A′OA和△C′OC中,,∴△A′OA≌△C′OC,∴AA′=CC′;(3)连接AC,过C作CE⊥AB′,交AB′的延长线于E,∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,∴,即,解得,B′C′=4,∵∠EB′C=∠B′C′C=∠E=90°,∴四边形B′ECC′为矩形,∴EC=B′C′=4,在Rt△ABC中,AC==10,在Rt△AEC中,AE==2,∴AA′+B′E=2﹣3,又AA′=CC′=B′E,∴AA′=.【点睛】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质,掌握旋转变换的性质、矩形的性质是解题的关键.20、见解析.【解析】

由“SAS”可证△ABC≌△DEC,可得BC=CE,即可得结论.【详解】证明:∵AB=DE,∠A=∠D,∠ACB=∠DCE=90°∴△ABC≌△DEC(SAS)∴BC=CE,∵AC=AE+CE∴AC=AE+BC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,熟练运用全等三角形的性质是本题的关键.21、(1)a=6,b=;(2);(3)或5h【解析】

(1)根据S与x之间的函数关系式可以得到当位于C点时,两人之间的距离增加变缓,此时快车到站,指出此时a的值即可,求得a的值后求出两车相遇时的时间即为b的值;(2)根据函数的图像可以得到A、B、C、D的点的坐标,利用待定系数法求得函数的解析式即可.(3)分两车相遇前和两车相遇后两种情况讨论,当相遇前令s=200即可求得x的值.【详解】解:(1)由

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