常用逻辑用语2024年高考数专项复习

常用逻辑用语2024年高考数专项复习知识点一：命题的概念回顾1：什么是命题？例1．判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假.（1）空集是任何集合的子集；（2）若，，则；（3）若，则；（4）；（5）难道正弦函数不是周期函数吗？知识点二：命题的结构回顾2：一种特殊形式的命题例2.（1）若，，则；（2）若，则.例3.将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断其真假.（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（2）对角线相等的平面四边形是矩形.解析：有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但适当的改写后可以写成“若p，则q”的形式，那么就能很清楚地看出其条件和结论.解：（1）“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”，真命题.（2）“若一个平面四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形”，假命题.知识点三：四种命题四种命题例4.给出如下四个命题：（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若p，则q.（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；若q，则p.（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；若¬p，则¬q.（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.若¬q，则¬p.分析：（1）与（2）、（3）、（4）的关系.（2）的条件是（1）的结论，结论是（1）的条件；（3）的条件是（1）的条件的否定，结论是（1）的结论的否定；（4）的条件是（1）的结论的否定，结论是（1）的条件的否定.四种命题原命题“若p，则q.”逆命题“若q，则p.”否命题“若¬p，则¬q.”逆否命题“若¬q，则¬p.”例5写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假.（1）若，则；（2）若，则；（3）若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等.解析：（1）原命题：若，则；假命题逆命题：若，则；真命题否命题：若，则；真命题逆否命题：若，则.假命题（2）原命题：若，则；真命题逆命题：若，则；假命题否命题：若，则；假命题逆否命题：若，则.真命题（3）原命题：若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等；真命题逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等；真命题否命题：若一个三角形没有两条边相等，则这个三角形没有两个角相等；真命题逆否命题：若一个三角形没有两个角相等，则这个三角形没有两条边相等.真命题例5答案汇总原命题逆命题否命题逆否命题（1）假真真假（2）真假假真（3）真真真真原命题“若p，则q.”逆命题“若q，则p.”否命题“若¬p，则¬q.”逆否命题“若¬q，则¬p.”如果两个命题互为逆否命题，则它们具有相同的真假性.例6.设原命题：若，则中至少有一个不小于1.写出其逆命题，并判断原命题及其逆命题的真假.解析：逆命题：若中至少有一个不小于1，则.很容易判断逆命题为假命题，如，，.对于原命题，很容易判断其是真命题，但从正面似乎不大容易说清楚理由.考虑利用逆命题与其同真假来说明.答案：逆命题（从略）是假命题.考虑逆否命题：若都小于1（且），则.显然是真命题，所以原命题是真命题.反思：如果从正面不容易说明命题“若p，则q”的真假，那么可以考虑先说明其逆否命题的真假.这是有效的“以退为进”的间接做法.练习：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.（1）若都是偶数，则是偶数；（2）若，则关于的方程有实根.参考答案：（1）逆命题：若是偶数，则都是偶数；假命题否命题：若不都是偶数，则是奇数；假命题逆否命题：若是奇数，则不都是偶数.真命题（2）逆命题：若关于的方程有实根，则；假命题否命题：若，则关于的方程没有实根；假命题逆否命题：若关于的方程没有实根，则.真命题总结：1、可以判断真假的陈述句是命题.2、原命题“若p，则q.”逆命题“若q，则p.”否命题“若¬p，则¬q.”逆否命题“若¬q，则¬p.”如果两个命题互为逆否命题，则它们具有相同的真假性.充分条件与必要条件一、回顾并引入新的概念回顾：判断下列命题的真假：（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；（3）若，则.说明：如果命题“若p，则q”是真命题，那么称p可以推出q，并记作pq.如果命题“若p，则q”是假命题，那么p不能推出q，记作pq.进一步，以（3）为例：（3）若，则.解析：这里p是，q是，并且有pq.一方面，条件p足以保证结论q成立，或者说能够“充分”保证结论q成立.另一方面，由于“原命题与其逆否命题等价”，所以“若x不小于1，则x不小于2”，也就是说，成立是成立的“必须要有”前提条件.充分条件与必要条件定义：如果命题“若p，则q”是真命题，那么记作pq.称p是q的充分条件，称q是p的必要条件.（1）“若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数”是真命题，则“f(x)是正弦函数”“f(x)是周期函数”，“f(x)是正弦函数”是“f(x)是周期函数”的充分条件，“f(x)是周期函数”是“f(x)是正弦函数”的必要条件.（3）命题“若，则”是真命题，则“”“”“”是“”的充分条件；“”是“”的必要条件.（2）“若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数”是假命题，则“f(x)是周期函数”“f(x)是正弦函数”，“f(x)是周期函数”不是“f(x)是正弦函数”的充分条件.“f(x)是正弦函数”不是“f(x)是周期函数”的必要条件二、例题例1．完成下表pqp是q的什么条件q是p的什么条件x=1在上是增函数x是无理数x2是无理数a>ba+c>b+ca>bac>bc解析：如何判定？——回归定义！判断“若p，则q”与“若q，则p”是否为真命题.问题：为什么还要判断“若q，则p”是否为真命题呢？总结：在判断p是q的什么条件时，既要判断“若p，则q”的真假，也要判断“若q，则p”的真假，从而根据定义得出正确的答案.例2．已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，则p是q的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析：q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3.xOxO3-112PQ从图中看PQ，pq，但qp，所以选择（A）.反思：充分条件和必要条件与集合之间的关系.PQ已知PQ，记p：xP，q：xQ.PQ用图形表示PQ，于是“若xP，则xQ”是真命题，即有pq，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.问题：（1）若p是q的充分不必要条件，那么集合P，Q是什么关系？（2）若p是q的充要条件，那么集合P，Q是什么关系？例3设，则的一个必要不充分条件是（）.（A）（B）（C）（D）解析：审清题目是关键！利用定义确定x>2的必要不充分条件，那么x>2是“pq”中x0x0123根据题意可知，需要判断“x>2”?由图可知，选择（A）.反思：要先确定x>2是p还是q，才能根据定义选择正确答案.三、总结：（1）定义：若pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.若pq，称p是q的充分必要条件.（2）判断“若p则q”与“若q则p”的真假，根据定义确定p是q的什么条件.（3）用集合观点理解充分条件与必要条件.简单的逻辑联结词一、逻辑联结词：且，或，非例：给出如下命题：（1）12是3的倍数；（2）12是4的倍数；（3）12是3的倍数，且12是4的倍数；（4）12是3的倍数，或12是4的倍数；（5）12不是3的倍数在逻辑、数学中使用“且”、“或”、“非”三种逻辑联结词，用它们和比较简单的命题能够构成相对复杂的命题.例：给出如下命题：（1）p；（2）q；（3）p且q；（记作p∧q）（4）p或q；（记作p∨q）（5）非p.（记作¬p）命题的否定二、例题例1将下列各组命题用“且”联结组成新命题：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p：集合A是AB的子集，q：集合A是AB的子集；（3）p：，q：3>4.解析：（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等；（2）p∧q：集合A是AB的子集，且是AB的子集；pqp∧q真真真真假假假真假假假假（3）p∧q：，且3>4.（1）p真，q真，p∧q真；（2）p假，q真，p∧q假；（2）p真，q假，p∧q假.例2将下列各组命题用“或”联结组成新命题：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p：集合A是AB的子集，q：集合A是AB的子集；（3）p：，q：3>4.解析：（1）p∨q：平行四边形的对角线互相平分或相等；（2）p∨q：集合A是AB的子集，或是AB的子集；pqp∨q真真真真假真假真真假假假（3）p∨q：，或3>4.（1）p真，q真，p∨q真；（2）p假，q真，p∨q真；（2）p真，q假，p∨q真.例3写出下列命题的否定：（1）p：平行四边形的对角线相等；（2）p：集合A是AB的子集；（3）p：3>4.解析：（1）¬p：平行四边形的对角线不相等；（2）¬p：集合A不是AB的子集；p¬p真假假真（3）¬p：3≤4.（1）p真，¬p假；（2）p真，¬p假；（3）p假，¬p真.问题：如何判断命题p∧q，p∨q，¬p的真假？工具：真值表pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真例4判断下列命题的真假：（1）1是奇数，且1是素数；（2）2是素数，且3是素数；（3）2≤2；（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；（5）y=sinx不是周期函数.例5已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（）（A）(¬p)∨q（B）p∧q（C）(¬p)∨(¬q)（D）(¬p)∧(¬q)例6若命题p∧q的否定是假命题，则（）（A）p和q都是真命题（B）p和q都是假命题（C）p是真命题，q是假命题（D）p是假命题，q是真命题练习：1、将下列各组命题用“且”与“或”联结组成新命题，并判断它们的真假.（1）p：4∈{2，3}，q：2∈{2，3}.（2）p：奇函数的图象关于原点对称；q：7≥8.2、写出下列命题的否定，并判断它们的真假.（1）；（2）3是的根.三、总结（1）逻辑联结词：且(∧)，或(∨)，非(¬).（2）用真值表判断命题p∧q，p∨q，¬p的真假工具：真值表pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真全称量词与存在量词一、回顾：下列语句是命题吗？（1）x>3；（2）2x+1是整数.解析：命题是可以判断真假的陈述句.问题：如何修改上述语句能使之成为命题？解析：给变量x赋值或给出变量x的取值范围.第一种修改：（1）任意x(4,5)，都有x>3；（2）对于所有实数x，都有2x+1是整数.解析：“所有”、“任意”等通常称为全称量词，并用符号表示.含有全称量词的命题称为全称命题.（1）x(4,5)，x>3；（2）xR，2x+1Z.全称命题的一般形式：xM，p(x)."xÎM，p(x).第二种修改：（1）存在(4,5)，使得>3；（2）至少有一个实数，使得2+1是整数.解析：“存在”、“至少有一个”等通常称为存在量词，并用符号表示.含有存在量词的命题称为特称命题.（1）(4,5)，>3；（2）R，2+1Z.特称命题的一般形式：M，p().二、例题例1判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）xR，x2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.解析：通过量词来确定命题是全称命题还是特称命题.例2判断下列命题的真假.（1）p：xR，；（2）p：xN，.例3判断下列命题的真假.（1）p：Z，<1；（2）p：Q，=3.例4写出下列命题的否定，并判断真假：（1）p：xR，；（2）p：所有能被3整除的数都是奇数；（3）p：R，；（4）p：有的三角形是等边三角形.例5“a和b都不是偶数”的否定形式是（）（A）a和b至少有一个是偶数（B）a和b至多有一个是偶数（C）a是偶数，b不是偶数（D）a和b都是偶数三、练习：判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：（1）每条直线在y轴上都有截距；（2）每个二次函数的图象都与x轴相交；（3）存在一个三角形，它的内角和小于180°；（4）存在一个四边形没有外接圆.答案：（1）假；否定：存在一条直线在y轴上没有截距；（2）假；否定：存在一个二次函数的图象与x轴不相交；（3）假；否定：