人教版高中数学选修（1-2）2.2.2反证法

选修1-2

2.2.2反证法（陈昌杰）

一、教学目标

1.核心素养

培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问

题的能力

2.学习目标

（1）理解反证法的概念

（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤

（3）会用反证法证明简单的命题

3.学习重点

对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握.

4.学习难点

理解“反证法”证明得出“矛盾的所在“即矛盾依据.

二、教学设计

（-）课前设计

【学习过程】

1.预习任务

任务1

预习教材尸42—P43,思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？

任务2

反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？

2.预习自测

1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）

①结论相反的判断，即假设

②原命题的条件

③公理、定理、定义等

④原结论

A.①②

B.①②④

C.①②③

D.②③

答案：C

【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】

由反证法的定义可知应选C.

2.如果两个实数之和为正数，则这两个数（）

A.一个是正数，一个是负数

B.两个都是正数

C.两个都是非负数

D.至少有一个是正数

答案：D

3.已知a+b+c>0,出?+Z?c+ca>0,abc>0,用反证法求证a>0,b>0,c>0时的假设为（）

A.。<0,人<0,c>0

B,彷0,b>0,c>0

C.a,b,c不全是正数

D.abc<0

答案：C

4.否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）

A.有一个解

B.有两个解

C.至少有两个解

D.至少有三个解

答案：D

（-）课堂设计

1.知识回顾

著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边

的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友摘了李子

一尝，原来是苦的.他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的

话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”

王戎的论述运用了什么推理思想？

王戎的推理方法是:假设李子不苦，则因树在“道”边，李子早就被别人采摘而没有了，这与

“多李,，产生矛盾.所以假设不成立，李为苦李.

2.问题探究

问题探究一反证法的概念

•活动一1.什么是反证法？

弓I例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60。.

已知：NA,ZB,Z。是△ABC的内角.

求证：ZA,ZB,ZC中至少有一个不小于60。.

证明：假设A4BC的三个内角NA,/B,4C都小于60。，

则有/A<60。，ZB<60°,ZC<60°,ZA+ZB+ZC<180°

这与三角形内角和等于180。相矛盾.

所以假设不成立，所求证的结论成立.

先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已

知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确.

这种证明方法就是——反证法

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，

最后得出矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

反证法也称归谬法

•活动二1.常用词语的反义词

从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些

反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反

义词:

词语大于小于等于是全是至少〃个最多“个

否定<>不是不全是最多〃-1个至少〃+1个

问题探究二反证法的证题的基本步骤

•活动一反证法的证明过程

从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？

反证法的证明过程：

否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设一归谬一存真

反设——假设命题的结论不成立；

归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；

存真一由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立.

•活动二归谬矛盾的方法

思考一下，归谬矛盾的方法有哪些?

归谬矛盾主要有以下方法：

（1）与已知条件矛盾.

（2）与假设矛盾或自相矛盾.

（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.

•活动三反证法证明问题的适用范围

同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？

反证法证明问题的适用范围

（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在

性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结

论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等.

问题探究三反证法可以解决哪些问题？

•活动一用反证法证明否（肯）定式命题

例1设函数"r）=o?+bx+c（a/））中，a,b,c均为整数，且人0）,寅1）均为奇数.求证：

fix）=O无整数根.

【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】

详解：假设/U）=0有整数根〃，则。/+加+c=O（〃ez）.而火0）,式1）均为奇数，即c

为奇数，a+b为偶数,则。/+加=一。为奇数，即〃3〃十与为奇数.

'.n,均为奇数.

又为偶数，a为奇数，

即。（“一1）为奇数，.•.〃一1为奇数，这与〃为奇数矛盾.

•7/U）=0无整数根.

点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法.证题的关键是根据火0）,

41）均为奇数，分析出a，4c的奇偶情况，并应用.

（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反

证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的

命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的.

•活动二用反证法证明“唯一性”命题

例2若函数«r）在区间出，切上的图象连续不断开，/«）＜0,八份＞0,且凡r）在[a,b]

上单调递增，求证：/U）在3,加内有且只有一个零点.

【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】

详解：由于於)在®句上的图象连续不断开,且曲a)VO,36)>0,即负⑷次TVO,

所以7U)在他，加内至少存在一个零点，设零点为〃2,则见n)=0,

假设兀x)在(a,Z?)内还存在另一个零点〃，且〃，机.，使式〃)=0,

若〃>〃?，则/(〃)>.穴机)，即0>0，矛盾；

若〃V"?,则即ovo,矛盾.

因此假设不正确，即兀r)在(a,〃)内有且只有一个零点.

点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有

且只有“、“只有一个”、“唯一存在''等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以

用反证法证其唯一性就较简单明了.

•活动三用反证法证明“至多、至少”问题

例3已知x,y>0,且x+y>2.

求证：—->一芳中至少有一个小于2.

yx

【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】

...,1+x11+y

详解：假设>r〕一，一寸都不小于2,即〕一N2,—^>2.

yxyx

".'x>0»y>0,1+x>2y,1+y>2x./.2+x+y>2(x+y).

即x+)02,这与已知x+y>2矛盾.

牛，手中至少有一个小于2.

点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是

有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于;

大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有八个/至多有(〃一1)个;

至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等.

例4设二次函数/(x)=尤2+px+q,求证：依1)|,|/(2)|,|/(3)］中至少有一个不小于

【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】

详解：假设|人)|,|/(2)|,|/(3)|都小于：，则

|/(1)|+2|/(2)|+|/(3)|<2,(1)

另一方面，由绝对值不等式的性质，有

|/(D|+2|/(2)|+1/(3)|>|/(1)-2/(2)+/(3)|

=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2

(2)

(1)、(2)两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.

点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采

用反证法进行.

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结

果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.试

根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

•活动四利用反证法证题时，假设错误而致误

例5已知a,b,c是互不相等的非零实数.求证：三个方程加+2bx+c=0,bx^+lcx+a

=0,0^+2℃+。=0至少有一个方程有两个相异实根.

【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，

则4=4。2—4比<0,/2=4。2—4次?<0,4=4屋一4/?c<0,

相力II有a2—2ab-\-b2+b2-2bc-\-c2+c2—2ac+a2<0,

即(a—/?)2+s—c)2+(c—a)2<0,此不等式不能成立，

所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

【知识点：方程的根，反证法】

【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有/<0"，事实上，方程

没有两个相异实根时J<0.

【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，

则4=4/一4acW0,A2=4c2—4ab<0,J3=4a2—4Z?c<0.

相加有a2-2aZ?+/?2+/?2—2Z?c+c2+c2—2ac+«2<0,

即(a—bp+S—c)2+(c—a)2<0,(*)

由题意a,b,c互不相等，所以(*)式不能成立.

所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

点拔：用反证法证题要把握三点：

(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证

明都是不全面的.

(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不

从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.

(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或

与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.

3.课堂总结

【知识梳理】

(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推

理导出矛盾.从而说明假设不正确，得出原命题正确.

(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证

法比较简便.

(3)反证法的基本步骤是：

①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；

②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；

③存真一由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立.

【难点突破】

用反证法证题时，应注意的事项：

(1)周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏.

(2)推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性.

(3)在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错

误的.

(4)反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有

必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；

大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有八个/至多有(〃一1)个;

至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.

(5)归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导

将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;

与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.

4.随堂检测

1.用反证法证明“如果。＞力，那么%,赤''的假设内容应是()

A.y[a=ylh

B.航

C.法0航

D.y[d>^[b

答案：C

【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】

“大于”的对立面为“小于等于"，故应假设“七近赤”.

2.否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（）

A.存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

艮任何一个三角形的外角都没有两个钝角

C.没有一个三角形的外角有两个钝角

D.存在一个三角形，其外角有两个钝角

答案：A

【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】

原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角.

3.用反证法证明命题：若a、b是实数,且|a—1|+也一1|=0,则时，应作的假设是

答案：存1或厚1.

【知识点：命题的否定，反证法】

•••%=》=1”的否定为“存1或厚1”，故应填存1或厚1.

4.证明方程2x=3有且仅有一个实根.

【知识点：命题的否定，反证法】

3

证明：’.”了:？，.•.x=],...方程2x=3至少有一个实根.

2xi=3,①

设幻，X2是方程2%=3的两个不同实根，则L,三

12x2=3,②

由①一②得2（X1—X2）=0,.,.X1=X2,这与X#X2矛盾.

故假设不正确，从而方程2%=3有且仅有一个实根.

三、智能提升

★基础型自主突破

1.（2013•海口高二检测）用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60。时，应假

设（）

A.三个内角都不大于60。

B.三个内角都大于60。

C.三个内角至多有一个大于60°

D.三个内角至多有两个大于60。

答案：B

三个内角至少有一个不大于60。，即有一个、两个或三个不大于60。，其反设为都大于60。，

故B正确.

2.实数a,b,c不全为0等价于()

A.a,b,c均不为0

B.a,b,c中至多有一个为0

C.a,h,c中至少有一个为0

D.a,b,c中至少有一个不为0

答案：D

【知识点：命题的否定，反证法】

实数a,b,c不全为0,即a,b,c至少有一个不为0,故应选D.

3.(1)已知p3+/=2,求证〃+把2.用反证法证明时，可假设〃+先2.

(2)已知a,b&R,\a\+\b\<l,求证方程/+以+〃=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证

明时可假设方程有一根幻的绝对值大于或等于1，即假设MINI.以下结论正确的是()

A.(1)与⑵的假设都错误

8.(1)与(2)的假设都正确

C(1)的假设正确；(2)的假设错误

O.(1)的假设错误；(2)的假设正确

答案：D

【知识点：命题的否定，反证法】

(1)的假设应为p+g>2；(2)的假设正确.答案是D

4.下列命题不适合用反证法证明的是()

人同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交

B.两个不相等的角不是对顶角

C.平行四边形的对角线互相平分

D.已知x,且x+y>2,求证：x,y中至少有一个大于1

答案：C

【知识点：命题的否定，反证法】

A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D

中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明.

5.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是.

答案：三角形中最少有两个内角是直角

【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】

“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角.

能力型师生共研

1.设a,b,cG(—oo,0),则三数a+1,c+(,。+(中()

A.都不大于一2

B.都不小于一2

C.至少有一个不大于一2

D.至少有一个不小于一2

答案：C

【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】

假设者B大于-2,则a+，+/?+』+c+'〉一6,

bca

X«+—=—(—«)+——<—2.(-a)g-^———2,同理。2,c+—<—2>

a\_-a]V-abc

^la+—+b+—+c+—<-6,矛盾.即；

a+,c+p中至少有一个不大于一2,所以答案C.

bca0

2.用反证法证明命题“若/+/=(),则①人全为0(a、b为实数其反设为

答案：4、。不全为0

【知识点：命题的否定，反证法】

“。、万全为0”即％=0且8=0"，因此它的反设为“存0或厚0,

3.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①/4+/3+/。=90。+90。+/。180。，这与三角形内角和为180。矛盾，故假设错误.

②所以一个三角形不能有两个直角.

③假设AABC中有两个直角，

不妨设NA=90°,ZB=90°.

上述步骤的正确顺序为.

答案：③①②

【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】

4.甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说:

"丙做的丙说：“不是我做的.”乙也说：“不是我做的.”如果知道他们三个人中，有两人说

了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？

【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】

解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话.乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事.”

说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件

事前一句是真的，后一句一定是假的.所以，是乙做的这件好事！

5.用反证法证明：无论机取何值，关于光的方程x2—5x+m=0与2^+%+6—m=0至少有

一个有实数根.

【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】

解：假设存在实数，根使得这两个方程都没有实数根，

f.25

Ji=25—4m<0,加>不

则《解得47无解.

Ai=1—8（6一机）<0,

m<-r,

与假设存在实数相矛盾.故无论〃，取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根.

6.已知a+Z?+c>0,ah+bc-\-ca>0,ahc>0,求证：。>0,b>3c>0.

【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】

证明：假设由abc>0得

由o+b+c>0,得b+c>—〃>0,

于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,这与已知矛盾.

又若。=0,则Q〃C=O,与R?c>0矛盾，故。>0,

同理可证匕>0,c>0.

探究型多维突破

1.若x,y,z均为实数，且。=f—2y+，，2z+1,c=z2—2x+^,则。，b,c中是否

至少有一个大于0?请说明理由.

【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】

解：假设b,c都不大于0,

即a<09b<09c<0,则Q+〃+匹0.

而a+b+c=x1—2y+^+y2—2z+^+z1—2x+^=(x—\)2+(y—l)2+(z-1)2+K-3,

因为兀-3>0,且无论x,y,z为何实数，

(%—1)2+(3?—l)2+(z—1)2>0,

所以tz+^+oO.

这与假设a+b+c<0矛盾.

因此，a,b,c中至少有一个大于0.

2.如下图所示，已知两个正方形ABC。和。CE尸不在同一平面内，M,N分别为AB,0b的

中点.

(1)若CO=2,平面ABCDJ_平面。CEF求MN的长；

(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线.

【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】

解：(1)如图，取CD的中点G,连接MG,NG,

,JABCD,为正方形，且边长为2,

：.MG±CD,MG=2,NG=巾.

•.•平面ABC。，平面DCEF,

...MG，平面DCEF.

:.MG1GN.

：.MN=ylMG2+GN2=yl6.

(2)证明假设直线ME与共面，则ABu平面且平面M8ENC平面。CEV=EN.

由已知，两正方形ABCO和。CE/不共面，

故ABC平面DCEF.

又AB〃CO,，AB〃平面DCEF,

：.EN//AB,又AB"CD〃EF.

：.EF//NE,这与EFCEN=E矛盾,

故假设不成立.

与BN不共面，它们是异面直线.

（四）自助餐

1.用反证法证明命题“若a,bGN,M可以被7整除，则。，人中至少有一个能被7整除”，

其假设正确的是（）

A.a,。都能被7整除

B.a,〃都不能被7整除

C.。不能被7整除

D.a,。中有一个不能被7整除

答案：B

【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】

“至少有一个”的否定是“一个也没有”.所以选B.

2.有下列叙述：①%的反面是％<"'；②"x=y”的反面是"x>y或③"三角形的外

心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的

反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）

A.0个

B.1个

C.2个

O.3个

答案：B

【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】

①错，应为a<b.②对.③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上.④错，应为

三角形的内角中有2个或3个钝角.即选B.

3.设正实数a,b,c满足a+b+c=l,则a,b,c中至少有一个数不小于（）

B.

答案：A

【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】

假设a,b,c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a,b,c都小于x,即b

<x,c<x,.".tz+Z?+c<3x.，.*a+Z?+c=l,/.3x>1....无>；,若取就会产生矛盾.故

选A.

4.下列命题错误的是（）

A.三角形中至少有一个内角不小于60°

B.四面体的三组对棱都是异面直线

C.闭区间口，切上的单调函数为x）至多有一个零点

D.设a、b《Z,若a、人中至少有一个为奇数，则a+人是奇数

答案：D

【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】

tz+b为奇数Q。、。中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误.因此选D.

5.已知0:口夕=/,aua,"=夕，若a,为异面直线，则（）

A.a,人都与/相交

B.a,。中至少有一条与/相交

C.a,中至多有一条与/相交

D.a,都不与/相交

答案：B

【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】

逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B.

6.以下各数不能构成等差数列的是（）

A.3,4,5

B.也，小，小

C.3,6,9

D.戏,卷表

答案：B

【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】

假设观,小，小成等差数列，则2小=啦+小，即12=7+2回,此等式不成立，故也，

事,小不成等差数列.

7.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是.

答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

【知识点：命题的否定，反证法】

“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至

少有两个''的否定是“最多有一个

8.设二次函数«r)=ax2+bx+c(a#0)中，a、b、c均为整数，且_/U)均为奇数.求证：/U)

=0无整数根.

【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】

证明设yu)=o有一个整数根z,则必2+从=一心①

又：A0)=c,yu)=a+b+c均为奇数，

；.a+b为偶数,当左为偶数时，显然与①式矛盾；

当攵为奇数时，设左=2〃+l(〃GZ),

则减2+以=(2〃+l>(2〃a+a+与为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程.*》)=0无

整数根.

9.如图，已知平面aCl平面4=直线"，直线bua,直线cu夕，bC\a=A,c//a.

求证：〃与c是异面直线.

【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】

证明：证明：假设Ac不是异面直线，则①力〃c；②mc=B.

①若b〃c,'.'a//c,:.a"b,与矛盾，.,./?〃(?不成立.

②若bCc=B,•.Zu"：.B&p.又AG"A^b,."u"

又bua,:.aCB=b.又aClQ=a,与。重合.这与矛盾.

...mc=8不成立.与c是异面直线.

10.若下列方程：A2+4ax—4a+3=0,f+(a—l)x+/=0,+2a=0至少有一个方程

有实根，求实数a的取值范围.

【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】

解：设三个方程均无实根，则有

(31

一不。<5，

小=164—4（—4。+3）<0,

解得、-1,或悬,

/2=（“一1）2—4屋<0,

4=4屋一4（—2。）<0,

2<。<0,

3

所以一/<。<一1.

所以当生一1,或好一I时，三个方程至少有一个方程有实根.

f一

11.已知函数兀r)=彳二如果数列｛z｝满足ai=4,&"+1=/3"),求证：当论2时，恒有z<3

成立.

【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】

"2

证明：法一(直接证法)由得z+i=D，

LCln，

・.・J_—_—_22.•,2_一_

(2n+1

/.««+1<0或6Zn+l>2；

⑴若。〃+1<0,则。〃十1<0<3,

・••结论"当〃N2时，恒有成立；

(2)右。〃+