2023-2024学年河南省周口市商水县周口中英文学校高三一诊考试数学试卷含解析

2023-2024学年河南省周口市商水县周口中英文学校高三一诊考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．是恒成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（）A． B．2 C． D．4．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（）A． B．C． D．5．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．6．设，则关于的方程所表示的曲线是（）A．长轴在轴上的椭圆 B．长轴在轴上的椭圆C．实轴在轴上的双曲线 D．实轴在轴上的双曲线7．设集合，，若，则（）A． B． C． D．8．已知双曲线：，，为其左、右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右支交于，两点，且点在轴上方，若，则直线的斜率为()A． B． C． D．9．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A．16 B．12 C．8 D．610．的展开式中含的项的系数为（）A． B．60 C．70 D．8011．在中，，，，则在方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-312．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（）A． B．9 C．7 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线：上位于第一象限内的一点．已知以为直径的圆被直线所截得的弦长为，则点的坐标__________．14．在中，角所对的边分别为，为的面积，若，，则的形状为__________，的大小为__________．15．在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________.16．中，角的对边分别为，且成等差数列，若，，则的面积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面积的最大值．18．（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．19．（12分）如图是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不同于的任意一点（1）求证：平面平面；（2）设为的中点，为上的动点（不与重合）求二面角的正切值的最小值20．（12分）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，过左焦点的直线交椭圆于、两点（异于、两点），当直线垂直于轴时，四边形的面积为1．（1）求椭圆的方程；（2）设直线、的交点为；试问的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）函数（1）证明：；（2）若存在，且，使得成立，求取值范围.22．（10分）在中，内角的对边分别是，满足条件．（1）求角；（2）若边上的高为，求的长．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

设成立；反之，满足，但，故选A.2、D【解析】

利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取的中点，则由得，即；在中，为的中位线，所以，所以；由双曲线定义知，且，所以，解得，故选：D【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.3、D【解析】

将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得的值.【详解】∵所以展开式中的系数为，∴解得.故选：D.【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.4、D【解析】

利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系.【详解】是偶函数，，而，因为在上递减，，即．故选:D【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.5、C【解析】

根据，两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量，满足，且，所以，所以，所以，所以，所以与的夹角为.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.6、C【解析】

根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．【详解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，

方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线，

故选C．【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．7、A【解析】

根据交集的结果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，从而可求.【详解】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.8、D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.设直线l的方程x＝my+，m＞0，设，，即y1＝﹣3y2①，联立直线l与曲线C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直线的斜率.【详解】双曲线C：，F1，F2为左、右焦点，则F2（，0），设直线l的方程x＝my+，m＞0，∵双曲线的渐近线方程为x＝±2y，∴m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，联立①②得，联立①③得，，即：，，解得：，直线的斜率为，故选D．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．9、B【解析】

根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，所以该正三棱柱的侧面积为故选：B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.10、B【解析】

展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解【详解】由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，所以的展开式中含的项的系数为．故选：B【点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.11、D【解析】分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可.详解：如图所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故选D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.12、B【解析】试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故的最大值为，故选B．考点：圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

依题意画图,设,根据圆的直径所对的圆周角为直角,可得,通过勾股定理得,再利用两点间的距离公式即可求出,进而得出点坐标.【详解】解:依题意画图,设以为直径的圆被直线所截得的弦长为,且,又因为为圆的直径,则所对的圆周角,则,则为点到直线：的距离.所以,则.又因为点在直线：上,设,则.解得,则.故答案为:【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.14、等腰三角形【解析】∵∴根据正弦定理可得，即∴∴∴的形状为等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴，即∵∴故答案为等腰三角形，15、1【解析】

当时，得，或，依题意可得，可求得，继而可得答案．【详解】因为点的横坐标为1，即当时，，所以或，又直线与函数的图象在轴右侧的公共点从左到右依次为，，所以，故，所以函数的关系式为．当时，（1），即点的横坐标为1，为二函数的图象的第二个公共点．故答案为：1．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题．16、.【解析】

由A，B，C成等差数列得出B＝60°，利用正弦定理得进而得代入三角形的面积公式即可得出．【详解】∵A，B，C成等差数列，∴A+C＝2B，又A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．故由正弦定理，故所以S△ABC，故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）根据正弦定理化简得到，故，得到答案.（2）计算，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1），则，即，故，，故.（2），故，故.当时等号成立.，故，，故△ABC面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.18、矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为【解析】

先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量.【详解】由题意，矩阵的特征多项式为，令，解得，，将代入二元一次方程组，解得，所以矩阵属于特征值的一个特征向量为；同理，矩阵属于特征值的一个特征向量为v【点睛】本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19、（1）见解析（2）【解析】

（1）推导出，，从而平面，由面面垂直的判定定理即可得证．（2）过作，以为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值；【详解】（1）因为，面，，平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）过作，以为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，则，设，则平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则，即，令，如图二面角的平面角为锐角，设二面角为，则，时取得最大值，最大值为，则最小值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.20、（1）（2）是为定值，的横坐标为定值【解析】

（1）根据“直线垂直于轴时，四边形的面积为1”列方程，由此求得，结合椭圆离心率以及，求得，由此求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线的方程，并求得两直线交点的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得的横坐标为定值.【详解】（1）依题意可知，解得，即；而，即，结合解得，，因此椭圆方程为（2）由题意得，左焦点，设直线的方程为：，，．由消去并整理得，∴，．直线的方程为：，直线的方程为：．联系方程，解得，又因为．所以．所以的横坐标为定值．【点睛】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题.21、（1）证明见详解；（2）或或【解析】

（1）（2）首先用基本不等式得到，然