高等数学A1-习题答案-方明亮版

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高数方明亮版

习题1-1

1.求下列函数的自然定义域:

(1)y=-5—7+Jx+2；

1-x

解：依题意有则函数定义域C(x)={x|x2-2且xx±l}.

2x—1

arccos----

⑵尸&_二

2x-l

"，则函数定义域。(冗)=0.

解：依题意有3

x~-r-6>0

(3)y=ln(-x2+3x-2)；

解：依题意有-』+3大-2>0,则函数定义域。&)={幻1。<2}.

]

(4)y=2r'~,r;

解：依题意有Y-rwO,则函数定义域Z)(x)={x|-00cx<+oo且xwO,±l}.

1,

/二、sin---xwl,

y=<x-1

2,x=l;

解：依题意有定义域O(X)={R|YO<X<+CO}.

(6)y=arctan—+y13-x,

x

解：依题意有，则函数定义域£>")={1|工43且乂工0}.

2.已知/(x)定义域为[0,1],求f(x2),/(sinx),f(x+a\f(x+a)+f(x-a)

(a〉0)的定义域.

解：因为/⑴定义域为[0刀，所以当OV/wi时，得函数/，)的定义域为

［-1,1］；

当04sinE时,得函数/(sinx)定义域为［2E,(22+1)兀］；

当OWx+aWl时，得函数/*+〃)定义域为［-凡-〃+1］;

当(*+f时,得函数〃x+a)+/(…)定义域为:⑴若xe［a,—］；

<12

(2)若a=Lx=-；(3)若a>Lxe0.

222

3.设1-丁，—，=］,其中«>0,求函数值/(2a),/(I).

xVyJa2-2ax+x2>

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1a-x

解：因为/(X)=-y1!—.........7,则

X22

(yja-lax+x7

0Ql,

2,0<«<l

1|x|<l,

4.设/")=0|x|=l,g{x)=T,求〃g(x))与g(/(x)),并做出函数图形.

—1|X|>1.

，2r<lflx<0

解：/(g(x))=<02V=1,即/(g(x))=,0x=0,

-12'>1[-1x>0

2'|x|<l2|x|<l

g(/(x))=,2°|x|=l,即g(/(x))=.1|x|=l,函数图形略

21|x|>l工

|x|>l

,2

5.设/(x)=[；+x'试证：/"(x)]=R+x，

[1,x>0,[1,x>-l.

证明：=即/"(x)]=f+x，x<T,

得证.

6.下列各组函数中，”x)与g(x)是否是同一函数？为什么？

(1)/(X)=ln(Jx2+3-x),g(x)=-ln(Jx，+3+3);

不是，因为定义域和对应法则都不相同.

(2)/(A-)=Uxs-2x3,g(x)=XUX2-2；

是.

(3)f(J:)=2,^(x)=sec2x-tan2x；

不是，因为对应法则不同.

(4)/(x)=21gx,^(x)=lgx2；

不是，因为定义域不同.

7.确定下列函数在给定区间内的单调性：

(1)y=3x+lnx,xe(0,+oo)；

解：当xe(0,+8)时，函数月=3x单调递增，y2=Inx也是单调递增，则y=%+%

在(0,田)内也是递增的.

(2)y=---,xe(-oo,l).

1-x

解：y=——=—~~-=1H,当XC(-8,1)时，函数丫[=X-1单调递增，则

1—X1—XX—1

力='=—匚是单调递减的，故原函数丫=旦是单调递减的.

y}x-\1-x

8.判定下列函数的奇偶性.

(1)y=lg(x4-Vx2+1)；

解：因为/(-X)=lg(-x+\Jx2+1)=lg(x+\lx2+I)-1=-lg(x+\lx2+1)=-/(x),

所以y=lg(x+&+D是奇函数.

2

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(2)y=0；

解：因为f(f)=0=/a),所以y=0是偶函数.

(3)y=x2+2cosx+sinx-l;

解：因为f(-x)=x2+2cosx-sinx-l,,所以

y=x2+2cosx+sinx-l既非奇函数，又非偶函数.

解：因为/(X)=gC=〃X),所以函数y=《产是偶函数.

9.设/*)是定义在［-/,/］上的任意函数，证明：

(1)f(x)+/(-x)是偶函数，/'(x)-/(-x)是奇函数；

(2)f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式.

证明：(1)g(x)=f(x)+f(-x),h(x)=f(x)-f(-x),则

g(-x)=/(-x)+/(x)=g(x),〃(-x)=/(-x)-/(x)=-〃(x)，所以/(x)+/(-x)是彳禺函

数，/(x)-/(r)是奇函数.

(2)任意函数:(幻=〃尤)+〃一幻+〃幻一『(一幻,由(1)可知是

222

偶函数，回上2是奇函数，所以命题得证.

2

10.证明：函数在区间/上有界的充分与必要条件是：函数在/上既有上界

又有下界.

证明：(必要性)若函数〃x)在区间/上有界，则存在正数M,使得xe/,

都有成立，显然即证得函数〃x)在区间/上既有上界又

有下界

(充分性)设函数/*)在区间/上既有上界M一又有下界M，即有

f(x)>M^f(x)<M2,取M=max{|M|,|%|}，则有即函数/(x)在区间/

上有界.

11.下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：

(1)y=|sinx|；

周期函数，周期为兀.

(2)y=1+sinTLY；

周期函数，周期为2.

(3)y=xtanx；

不是周期函数.

(4)y=cos2x.

周期函数，周期为兀.

12.求下列函数的反函数：

解：依题意，3，=上，则x=l°g，上，所以反函数为

y—1y—1

y

/-'(x)=log,--,xe(-oo,0)u(l,+oo).

x-1

3

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ax+b/.,、

my=-(adwbe);

cx-\-d

解：依题意，x=2,则反函数尸(x)=j(adwbc).

cy-aex-a

(3)y=\g(x+\lx2-ij;

解：依题意，x=；(10'+l(T),所以反函数尸(x)=g(l(r+107),xER.

(4)y=3cos2x,(一£«工工£).

yX

arccos-arccos一

解：依题意，x=―h2,所以反函数/I(x)=—丁±X£[0,3].

13.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于

给定自变量值阳和％的函数值：

w2

(1)y=e,w=%+1,%1=0,x2=2;

2v

(2)y=u+l,w=e—l,v=x+1,%!=l,x2=-1•

解:(1)y=/(x)=e?+l,/(0)=e,/(2)=e5

(2)y=/(x)=(e'+,-l)2+l,f(0)=e4-2e2+2,/(-1)=1.

14.在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r,高为”.当倒

进溶液后液面的高度为人时，溶液的体积为试把〃表示为V的函数，并指出

其定义区间.

解：依题意有/=兀//!,则/?=)^,M€[0,兀/”].

nr

15.某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约

用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64

元/吨计算.超过部分每吨以5倍价格收费.试建立每月用水费用与用水数量之

间的函数关系.并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用.

解：依题意有Ax)[；：*所以

[4.5x0.64+(x一4.5)x3.2,x>4.5

/(3.5)=2.24元，/(4.5)=2.88元，/(5.5)=6.08元.

习题1-2

1-设。〃=；"+：(，=1,2,3，…)，

3〃+1

779

(I)求I4|40的值;

(2)求N,使当”>N时，不等式14-§<107成立;

(3)求N,使当”>N时，不等式成立.

Ltrn/\,2..32.1.2..212.

解：(1)a—=----=—,t/—=-----:

]13431210I03313

220121

|fl,oo_3H3Ol_3l=9O3,

4

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⑵要使旧亭联,即备<上则只要心等取N

9997=1110,故当n>1110时，不等式-(<10口成立.

~~9~

(3)要使|4-/£成",心梦取心嗟，那么当〃那时，

成立.

2.根据数列极限的定义证明:

(2)lim至m=1.

(1)lim—=0；

解：(1)立>0,要使R_O|=1J<£,只要取N=[],所以，对任意

n\n\n|_£」

£>0,存在N=U],当"N时，总有|工-0|<£,则lim’=0.

[£」nl〃T8"！

(2)—>0,要使|近亘-1|=/3—<义<£,即〃>，任，只要取

〃n(Vn2+3+n)2"\2s

N=［后］，所以，对任意的£>0,存在N=［后］,当〃〉N,总有|至客-1|<£,

则lim近巨=1.

〃一>8〃

3.若“一>l8imx,,="Ta8,证明并举例说明：如'果数'列｛|x.|｝有极限，但数

列｛招｝未必有极限.

证明：因为lim%=〃，所以V£〉0,训，当"M时，有|%-。|<£.不妨假

"―>8

设a〉0,由收敛数列的保号性可知：3牝，当〃时，有招>0,取

r

N=max｛A］,A^2｝,则对V£>0,3N>当">N时，有||x“|a||=|x“.故

lim|x„\=\a\.同理可证a<0时,lim|/|=|a|成立.

反之，如果数列｛|4|｝有极限，但数列｛XI｝未必有极限.如:数列x“=(-l)",

IXn1=1,显然lim|x.|=l,但limx“不存在.

ZIT8”一>8

4.设数列｛%｝有界，又lim兄=0.证明：lim%y〃=0.

ll—>CCM—>00

证明：依题意，存在M>0,对一切n都有|x〃区M,又lim”=0,对\/£>0,

“T8

存在N,

当w>N时，|%-0|<£,因为对上述N,当“：>%时，|”“一0|=|X.九|4M|L|<M£,

由£的任意性，则limx„y„=0.

“fco

5.设数列卜〃｝的一般项,求1山七.

解：因为lim-^=0,|cos(〃+3)兀区］,所以lim—cos。’+""=0・

xT8j〃2Xi7n2

对于数列｛x〃｝,若々人一1—>oo)—>oo)证明：A(〃—>oo).

6.TA(kfx2k—>A(k9xn

5

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证明：由于lim.%T=A，所以,一£>0,32V,>0,当"训时，有-,

4->03

同理,Vf>0,3/V2>0,当k>N2时,有|尤21t-A|<£.^N=max{Nt,N2},Vf>0,

当">N时，|x"-A|<£成立，故x“.A(”->8).

习题1-3

1.当x-1时，y=Y+3>4.问5等于多少，使当时，|y-4|<0.01?

解:令|x-l|<-,则3<|x+l|<9,要使

222

22

|y-4|=|x+3-4|=|x-l|=|x-l||x+l|<||x-l|<0.01,

只要|x-l|<0.004,所以取3=0.004,使当,x-l|<J时，|y-4|<0.01成立.

2.当xfoo时，丫=缉"-2.问X等于多少，使当|x|>X时，|y-2|<0,001?

x-3

解：要使|y-2H^^-2|=,J,<0.001,只要，-3|>7000,即

X-3IX-31

f-3>7ooo.因此只要|x|>V75而就可以了，所以取x277555.

3.根据函数极限的定义证明：

3丫+5

(1)lim(2x-l)=5；(2)lim—.......=3;

xf3x-x»JQ_1

(3)lim*"=-4；(4)lim=0.

XT-2x+2XTEy/x

证明：⑴由于|(2%-1)-5|=2|1-3|,任给£>o,要使I(2x-1)-5|<£，只要

|x-3|<-.因此取S=£，则当0<|x—3|<5时，总有|(2x—l)—5|<£,故1im(2x—l)=5.

227

8

(2)由于|一一3|=4，任给£>0,要使|3_3|<£,只要----<£，

X—I|x—11x—\|1|

即苫>1+§或》<1-£因为£>0,所以|1+号|>|1-§|,取M=|1+当，则当|x|>M时,

££££

^=3.

对x/€>o,总有।主2-3|<£,故有lirm

x-1XT8x-1

(3)由于|三N-(-4)|=|x+2|,任给£>0,,要使|三4-(-4)|<£,只要

x+2x+2

丫2_4

|冗+2|<£，因此取§=£,贝IJ当0〈|工一(一2)|<5时，总有-----(-4)|<£,故

x+2

x2—4

lim-------=-4・

XT-2X+2

(4)由于।孚一o卜甲任给£>0,要使।等一。1<£，只要：<£，即

yJXylx\lx\JX\JX

x>!，因此取M=二，则当x>M时，总有|罕一0|<£，故lim半=0.

££yjxxiVx

4.用£-X或语言,写出下列各函数极限的定义:

(1)limf(x)=1；(2)limf(x)=a;

XT-CO*—>8

(3)limf(x)=b；(4)lim/(%)=-8.

xfa.13-

6

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解：(1)V£>0,3M>0,当X〈-M时，总有|/(x)-l|<£;

(2)Vf>0,3M>0,当总有|/(x)-a|<£；

(3)\/£>0,3^>0,当a<x<a+S时，总有|〃x)-b|<£；

(4)Vf>0,3^>>0当3-3<x<3时，总有|/(X)+8|<£.

5.证明：lim|x|=0.

XTO

证明：由于lim|冗|=limx=0,lim|x|=lim(-x)=0,所以lim|%|=0.

x-»0+x->0+XT。-XT。

6.证明：若x->+8及Xf-00时，函数的极限都存在且都等于4,则

XlTi8m/(x)=A・

证明：由于lim/(x)=A,则对，£>0,加1>0,当x>M时，有"(X)-A|<£.又

XT+oo

limf(x)=A,则3M>0,当x<-M,有|/(x)-A\<s.取M=max{a,％}那么对

X—>-0022

V£>o,当|x|>M时，总有故有lim/(x)=4.

X-^OO

习题1~4

L根据定义证明：

v2.1

(1)y为当Xf1时的无穷小；

(2)y=』sinx为当x->oo时的无穷小；

x

(3)y=l12为当xf0时的无穷大.

X

证明：

„2_<

(1)V£>o,因为I-~L-O|=|x-l|,取6=寸，贝IJ当0<|x-l|<5时，总有XHO,故

X+1

..%2-1

lim----=0A.

1x+1

(2)Ve>0,因为/sinx-O|=」-|sinx区［-，取M=',则当|x|>M时,总有

x|x||x|£

.1.ci|sinx|7I+m.1._

|—sinx-O|=J----<——<£,iuhm—smx=O.

x\x\\x\XT8%

(3)VM>0,=—^―,当0<|x|<3时，总有|•^^|=|L+3|>-I--3>M,所以

M+3xx\x\

iox

2.函数》=4!1天在（0,4~OO）内是否有界？该函数是否为X->+00时的无穷大？

解答：取工〃=2〃兀,则%=0,因此当Xa=2〃兀（〃f8）时，ynTO（X〃->+8）故函

数

y=xsinx当xf+8时，不是无穷大量.

下证该函数在（0,+oo）内是无界的.VM>0,3xn=2〃兀+1且七->+a）（72-»oo）,

7

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7171

2H714--sin2ra+-=2〃兀+-，取N0=[M]+1,3x()=2^07t+-^e(0,+oo),W

222

4--|>M,y=xsinx

yn=2NQTI所以是无界的.

3.证明：函数）,=1cos工在区间（0,1］上无界，但这函数不是XT0+时的无穷

X

大.

证明：令1=f,类似第2题可得.

X

习题1-5

1.求下列极限：

3n2+〃+1111

(1)lim(2)lim----F----1-…d--------

32

〃一>8n+47?-1’“TOC1-22-3n{n+1)

(12n3〃+2“

(3)liml▼+▼+•••+•(4)lrim——：----r；

“Toe」ynn7“TOC3〃+l_2〃+l

x2-l..d+1

(5)lim(6)lim---------:

22

Xflx-5x+4'XT2X-5x+3

2x2+1

(7)lim(Jf+工-J九2(8)hm---------;

XT*可x+5x+3

(x+hy-x3

(9)lim

/j->0h

(11)lim

A->1

..Jl+R-Jl-x

(13)lim----：--------:

(15)lim(2x3-3x+6)；

XT8

解:

311

「3n24-zi+1

⑴lim-------——lim=0.

-n+4n~-1l+t1

n

111T)

(2)lim----1-----F…-I--------lim(---)+(---)+•••+

1-22-3n(n+1)“T81223nn+1

=lim(l-——)=1.

28〃+1

1,八

12n

(3)lim=lim1

M->003+/+.一+/”->8n22

■>",y1+(:

(4)lim,,=lim-----2

…3"+i_2"i“弋一？.3

8

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/r\].x2—1(x—l)(x+1)_.x+12

⑸hm—：--------=hm-----------=lim----=——.

XTI厂―5x+4I(欠-1)(%-4)fx-43

(6)lim，+।,2+1—=-3

^2X2-5X+322-5X2+3

⑺lim(y/x2+x-dx?+1)=lim

XT+oo\/Xf+oc

/o\..2厂+1_「2

⑻hm-r----二lim----=2.

asx~+5x+3is33

1H---1--7-

XX"

33323

/Q\(.V+A)—x_(x+3xh+3xh~4-/?3)—x_\、？

⑼lim------------hm---------------------------hrm(3f3+3xh+h2)=3x.

/»-»oh/>->ohft->o

(10)上。15A4lim一比磔出Z

1111一d\-X)2111-X3Jxf(1-x)(l+X+/2)

=lim2+\=l.

111+X+X

11

2-dr*

..X+x__Yr2c

(11)hm-------=lim—""=0.

rf笛5x-3x+1xfg<31

5-7+7

..Jl+x_Jl-"

(12)hm—；=---.

Vl+x-Vl-x

_(a+/一V1—x)(Vl+x+Jl-+x)2+:(1+x)(l-冗)+yj(l—x)2)

f-vr^)(v(i+x)2+y(i+/)(i—X)+y(1)2)(vn^+

,r2，」(i+<)2+N(I+x)(i-幻+y(i-。2)_6%

-111T1--------------------.-----------------------vZ

72x(Vl+x+Vl-x)

(13)lim———=limX=+oo.

xf°°2x+l„2+

x

(14)lim(2x3-3x+6)=limx3(2-=oo.

XT8X-X3O厂

32

(15)lim'+'+3'+27=nm(x+x+3x+27)xlim---=oo.

XT3X-3XT3XT3比一3

2.设/*)=*问当。为何值时，极限lim〃x)存在.

[2x4-67,X>0.a。

解：因为limf(x)=limex=1,limf(x)=lim(2x+a)=a，所以，当

XTO~XT(TXTO*XTO*

lim/(x)=limf(x),即。=1时，lim/(x)存在.

x->(TX->0+X->0

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/1_L

3.求当x-1时，函数」e，T的极限.

X-1

解：因为lim-----ex~l=lim(x+l)e*7=0,

x->rx—1

12_]J__L

lim-----ex~l=lim(x+l)ex~l=+co,

XTrX-1XT「

丫2_iJ_

所以lim-----ex~l不存在。

xfx-1

4.已知Iim(5x-Jax2-Z?x+c)=l,其中以"，c为常数，求〃和匕的值.

解：因为\im(5x-yla^-bx+c)=lim6-A1c)(5x+

……5x+ylax2-bx+c

(25-a)x+h-—25-a=0

(25-a)x2+bx-c67=25

lim------.==lim-----,」=1,所以•b7则

5x+\jax2-bx-\-cbc6=10

5+r-x+75+\[ci

5.计算下列极限：

(1)limx-sin—=0；(2)lim-inV=lim—sinx=0；

1。xx-»oo尤.V->COx

zxarctanx..1_

(3)lim—sin—=0；(44)lim-------=lim-arctanx=O

XT8RxXT81X-K»x

5-xsin—x>0,

x

6.试问函数/(x)=10，元=0,在x=0处的左、右极限是否存在？当

5+%2,x<0.

x-0时，的极限是否存在？

解：limf(x)=lim(5+x2)=5,limf(x)=lim(5+xsin—)=5,因为/(O)=/(O'),所以

XT。-XT。-X->0+XT。’X

lim/(x)=5.

A->0

习题1-6

1.计算下列极限:

10

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2T，,<4,-4

解：(1)lim(l+2)：=lim(l+2)占>=e《.(2)lim(l--)'=lim(l+—)=e.

x->0xx->0x.r->»xXT°-X

1_)__2_!JI

(3)lii呜产=lim(l+尸5=>.

/\「x+5.10'^xlO10

(4A)lim(----)=hm(1+----)10x(l+----)5

isx-5isx-5x-5

10—xio10<

=lim(l+-^-)10xlim(l+-^-)5=3i°n.

zux-5xf8x-5

2.计算下列极限：

(1)limxcotx;(2)lim包四；

.90X->O3X

cosx-cos3x/A、「cosx-1

hm-----------;(4)hm----——；

io5XX”4

X2

(5)limxsin—；(6)lim2"sin2(x为不等于零的常数).

.rfoox“->«•2”

解：

八、，.一xcosx,sin2x2sinxcosx2

(l)limxcot^=lim-----=1.(2)lim------=hm----------=—.

Xix->osinx.so3%IO3X3

cosx-cos3x-2sin2xsinx八

(3)hm------------=lim------------=0

XTO5XXTO5X

2V.X

-2sinsin

cosx-1..—yfx

(4)lim=lim--------=hm----2=0.

K->0+x->0r->o2x

X2

<27

,1.X

Isin—，sm-^

(5)limxsin—=lim--^-=\.(6)lim2"sin—=lim--x=x.

n382”“TOOX

XT

3.利用极限存在准则证明^________

(i)数列G,67耳，J3+J3+列，…的极限存在;

证明：先用数学归纳法证明数列打“｝单调递增。由于々=F方〉石=演〉0。

假设七＞.7＞0成立，贝心川=历三＞7^三＞”所以数列上｝单调递增.

下证有界性

Xj=5/3＜1+V3,假设乙＜1+百，则

七川="+当“3+(1+扬＜，3+1+26=1+百,故0＜/＜1+6，即数列｛%｝有

界

根据单调有界准则知limx〃存在.不妨设limx.=A,则有4=反久，解得

n—＞oo”一＞8

A=1±^I,A,=-^1(舍去)，即有lim4=1^.

22“T82

11

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(2)limA/l+—=1；

证明：因为14Jl+3Kl+>，又liml=lim[l+3]=l,所以limJ1+：=1.

Vfl〃〃T8n->QCI〃I"TCO、〃

(3)lim(fJ_^+2_+…+-=-；

I代力6+〃J/+2及yjn6+n2)3

乙1M„2乙A

证明：因为尸W_^=++......+〃Y-^=,

yjn6+n2vn6+nylne+2ny/n6+n2yjn6+n

〃〃

次与2,

又limT===lim-^---------所以原式成立.

n(2

^yjn'+n5姆+”3

(4)limx—=1.

.SO*|_X」

证明：对任一xeR,有x-14[x]4x,则当xwO时，有于是

x\_xjX

(1)当x〉0时，x(--l)<x|---l<x