第一章概率论基本概念

第一章概率的基本概念

在自然界以及生产实践和科学试验中，人们观察到的现象

大体可分为两类：一类是在一定条件下必然发生或必然不发生

现象，称为必然现象（确定性现象）。例如“在一个标准大气压

下，纯水加热到100℃时必然沸腾。”“同性电荷相吸。”等等；

另一类现象是在一定条件下，可能出现多种不同的结果，而究

竟出现哪一种结果，事先又不能完全确定，这种现象称为随机

现象（偶然现象）。例如：在相同的条件下，向上抛一枚质地均

匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，不论

如何控制抛掷条件，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什

么。

概率论与数理统计是一门处理随机现象的学科。概率论是

从数量侧面研究随机现象及其统计规律性的数学学科，它的理

论严谨，应用广泛，并且有独特的概念和方法，同时与其它数

学分支有着密切的联系它是近代数学的重要组成部分；数理统

计是对随机现象统计规律归纳的研究，就是利用概率论的结果,

深入研究统计资料•，观察这些随机现象并发现其内在的规律性,

进而作出一定精确程度的判断，将这些研究结果加以归纳整理,

形成一定的数学模型。虽然概率论与数理统计在方法上如此不

同，但做为一门学科，它们却相互渗透，互相联系。

本章是概率论部分的基本概念和基本知识，是学习以后各

章所必不可少的。

第一节样本空间、随机事件

随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。

1.随机试验

若一个试验具有下列3个特点：

(1)可以在相同的条件下重复进行；

(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以明确试验所

有可能出现的结果；

(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

则称这一试验为随机试验，记为

下面举一些随机试验的例子：

E,：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况。

£2：掷两颗骰子，观察出现的点数。

马：在一批电视机中任意抽取一台，测试它的使用寿命。

E4：城市某一交通路口，指定lh内的汽车流量。

E5：纪录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度。

2.随机事件与样本空间

在一个试验中，不论可能的结果有多少，总可以从中找出

一组基本结果，满足：

1)每进行一次试验，必然出现且只能出现其中的一个基

本结果；

2)任何结果，都是由其中的一些基本结果所组成。

随机试验E的所有基本结果组成的集合称为样本空间，记

为。样本空间的元素，即E的每个基本结果，称为样本点。

下面写出前面提到的试验々（女=123,4,5）的样本空间5:

%：]«，_/*，/=123,4,5};

。3：{t\t20};

外：{0」，2,3,…};

A:{（x,y）|T04x4这里x表示最低温度，y表示最高

温度，并设这一地区温度不会小于T。也不会大于

随机试验E的样本空间。的子集称为E的随机事件，简称

事件，通常用大写字母A,B,C,…表示。在每次试验中，当且仅

当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。

特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件；每

次试验中都必然发生的事件，称为必然事件，用。表示；在每

次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用①表示。

3、事件之间的关系及其运算

对于随机试验而言，它的样本空间。可以包含很多随机事

件，概率论的任务之一就是研究随机事件的规律，通过对较简

单事件规律的研究在掌握更复杂事件的规律，为此需要研究事

件之间和事件之间的关系与运算。

1）如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事

件B（或称事件B包含事件A）,记作AuB或

若AUB,且BUA,则称事件A与B相等（或等价），记为

A=B

规定对任何事件A,有Q

AuC@uA

2）“事件A与B中至少有一个发生”的事件称为A与B的并（和）,

记作AuB

对任一事件A,B,有

Au①二A,Aufl=。,=A

AuAu8,8uAu8

7?AUJBAU8=B

推广：A=OA表示“&，4，・一，4中至少有一个事件发生”这

-事件「

A=Ua表示“可数无穷多个事件4中至少有一个发生”

这一事件。

3）“事件A与B同时发生”的事件称为A和B的积（交），记

作A3或4cB

显然Ac（I）=①,AcC=A,AcA=

若AuB,则AcB=A

推广：8=介"表示“修，当，…，纥这〃个事件同时发生”这一事

f=l

件。.

8=价8,表示“可数无穷多个事件中同时发生”这一

1=1

事件。

4）“事件A发生而B不发生”的事件称为A与B的差，记作A-8.

明显地有

A-B=A-AB,A-<i)=A

A—A=①，A-fl=O

5）如果两个事件A与B不可能同时发生,则称A与B为互不相

容事件（或互斥事件），记作=s

注：（1）任意两个基本事件都是互斥的。

（2）如果一组事件a”4,…中任意两个事件都是互不相容

的，即_/,,•,/=1,2,…），则称事件4,4，…,A.，…俩俩互

不相容。

6）若A|j8=。，且403=中，则称事件A与事件互为逆事件（对

立事件），A的逆事件记作彳，Z是由所有不属于A的样本点组成

的事件，它表示“A不发生”这样一个事件。,-----------

显然N=C-A,=AA=①.1=AQ;

Q=O①=。A—B=AB[

注：（1）在一次试验中A与A有且仅有一个发生]

即不是A发生就是A发生。

（2）对立事件必为互不相容事件，然而，互不相容事件未必为

对立事件。

（3）若事件A比较复杂，往往它的对立事件比较简单，因此我

们在求复杂事件的概率时，往往可能转化为求它的对立事件的

概率。

7）事件的运算法则

1）交换律A<JB=BA,AB=BA

2）结合律（Aufi）uC=Au（BuC）,（/lB）C=A（BC）

3）分配律（4DB）CC=（ACC）“8CC）

（AnB）uC=（AuC）n（BuC）

AA（UA）=U^AA）»AU（［A）=］（AU4）

i=li=\i=［/=1

<X）n0000/i8”

An（U4）=u（Aru）,450,）=03,）

i=li=l/=1i=l

4）A-B=AB=A-AB

5）对偶原则

对有穷个或可数无穷个A,.，恒有

OA=CIAPIA=UA

/=1/=1i=li=\

00000000

UA=PIADA=UA

I=1z=I/=1/=1

例1.1设ABC为3个事件，试用A8,。表示下列事件。

1）A发生，B与C不发生：A-（B\JC）^A-B-C^ABC

2）A与B发生而C不发生：AB-C或人第

3）A,B,C至少有一个事件发生：AuBuC或3）4）5）之并

4）A,B,C至少有两个发生：AB\JAC\JBC

5）A,B,C恰有两个事件发生：ABCuABCuABe

6）A,B,C恰有一个事件发生：ABCuABCuABC

7)A,B至少有一个发生而C都不发生：(A|J8)6

8)A,B,C不都发生：ABC

9)A,B,C不多于一个发生：而乙uA前U初心u而。或

AB<JBC^JCA

10)A,B,C不多于两个发生；ABC

例1.2在数学系的学生中任选一名学生。若事件A表示被选学

生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该生是

运动员。

(1)叙述的意义。

(2)在什么条件下ABC=C成立？

(3)在什么条件下4u8成立？

解：(1)该生是三年级学生，但不是运动员。

(2)全系运动员都是三年级男生。

(3)全系女生都在三年级。

例1.3设事件A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，求其

对立事件I

解：设8="甲种产品畅销"，C="乙种产品滞销”，则人=：6(2,

故

A=BC=B\JC="甲种产品滞销或乙种产品畅销”

第二节概率、古典概型

对于随机试验中的随机事件，在一次试验中是否发生，虽

然不能预先知道，但是它们在一次试验中发生的可能性是有大

小之分的。比如掷一枚均匀的硬币，那么随机事件A（正面朝

±）和随机事件B（正面朝下）发生的可能性是一样的（都为

l/2）o又如袋中有8个白球，2个黑球，从中任取一球。当然

取到白球的可能性要大于取道黑球的可能性。一般地，对于任

何一个随机事件都可以找到一个数值与之对应，该数值作为发

生的可能性大小的度量。为此，我们首先引入频率的概念，它

描述了事件发生的频繁程度，进而我们再导出表示事件在一次

试验中发生的可能性大小的数——概率。

1.频率

定义1.1设在相同的条件下进行了n次试验。若随机事件A在

n次试验中发生了k次，则比值上称为事件A在这n次试验中

n

发生的频率，记作（（A）=8

n

由频率的定义，可以得到频率的性质：

1、非负性：°4工⑷4I

2、规范性：若。为必然事件，则力（。）=1;

3、有限可加性：若A,B互不相容即AB=。，则

推广：对有限个两两互不相容的事件的频率具有可加性，即若

/m〃

A,Aj="（臼,八加if,则/„（yA）=EA（A）o

历史上有人做过掷硬币的试验

实验者掷硬币次数出现正面次数出现正面频率

德•摩根404020480.5070

蒲丰404020480.5070

K.皮尔逊1200060190.5016

K.皮尔逊24000120120.5005

从上表可以看，不管什么人去抛，当试验次数逐渐增多时.，

f”(A)总是在0.5附近摆动而逐渐稳定与0.5o从这个例子可以

看出，一个随机试验的随机事件A,在n次试验中出现的频率

f«(A),当试验的次数n逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，

而逐渐稳定与这个常数。这个常数定义为事件A发生的概率。

这就是概率的统计定义。

定义1.21设事件A在n次试验中发生的次数为k,当n很大时,

n

频率在某一数值P的附近摆动，而随着试验次数n的增

加，发生较大摆动的可能性越来越小，则称数值P为事件A发

生的概率，记为P(A)=PO

2.概率的公理化定义

定义1.3设Q为样本空间，A为事件，对于每个事件A赋予一

个实数，记作P(A),如果P(A)满足以下条件：

1)、非负性:P(A)?O；

2)、规范性：尸(。)=1。

3)、可数可加性：对于两两互不相容的可数无穷多个事件

A1,…，A“，…，石

p(U)A=£P(4)

i=li=\

则称实数P(A)为事件A的概率。

注：性质2反过来不一定成立。就是说概率为1的事件不一定

为必然事件。同样，概率为0的事件不一定为不可能事件。

由概率公理化定义，可以得出概率的其他一些性质：

性质1P(0)=0；

性质2(有限可加性)若44=。(Kj4〃),

贝IJi=l=i=l；

性质3设A,B为两事件，

(1)P(B-A)=P(B)-P(A5)o

(2)若AnB则

P(A-B)=P(A)-P(B)

且P(A)>P(fi)

性质4对任一事件A,P(A)<1；

性质5对任一事件A,有

P(A)=1-P(A)；

性质6(加法公式)对任意两个事件A、B,有

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)

推论1:P(AUB)<P(A)+P(B)；

推论2：设4,4,…4为n个随机事件，则有

P(OA)EA-之尸(4八)+•••+(-A

/=1=/=|l</<j<n\<i<j<k<,n\f=l/

此公式称为概率的一般加法公式。

特别地：

p(Au8uC)

=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(SC)-P(AC)+P(A5C)

例1.4设A,B为两事件，P(A)=O.5,P(B)=O.3,P(AB)=0.1,求:

(1)A发生但B不发生的概率；

(2)A不发生但B发生的概率；

(3)至少有一个事件发生的概率；

(4)A,B都不发生的概率；

(5)至少有一个事件不发生的概率。

解：⑴P(湎)=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.4

(2)P(TB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=0.2

(3)P(A38)=0.5+0.3-0.1=0.7

(4)p(~AB~)=p(AuB)=1-p(AuB)=0.3

⑸P(Tu~B)=P(而-)=『P(AB)=0.9

补充习题：

例1：设A,B互不相容，且P(A))=p,P(B)=q

试求P(Au8),P(NDB),P(A8),P(M),P(Z与)

解：P(AuB)=P(A)+P(B)=p+q

P(AuS)=P(A)=l-p

P(AB)=O

P(AB)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=q

P(AB)=1-P(AuB)=l-p-q

例2：设P(A)=p,P(B)=q,P(AuB)=r,求P(AB)、P(A后)、

P(AuB)0

解：P(AB)=P(A)+P(B)-P(AuB)=p+q-r

P(A5)=P(A)-P(AB)=p-(p+q-r)=r-q

P(AuB)=P(AB)=1-P(AB)=l-p-q+r

例3.设ABC为三个事件，且ABuC。

证明：P(A)+P(B)-P(C)<1

证：P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)

又ABuC所以P(AB)<P(C)

所以P(A)+P(B)-P(C)<P(AuB)<1

即P(A)+P(B)-P(C)<1

£!

例4：设P(A)=P(B)=P(C)=8,p(AB)=4,P(BC)=P(AC)

=0,求A,B,C至少有一个发生的概率。

解：P(AuBuC)

=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

因为ABCuBC所以0〈P(ABC)<P(BC)

所以P(ABC)=0

从而P(AuBuC)=l/8+l/8+l/8-l/4=l/8

例5：设A,B,C为任意三个事件，证明

P(AB)+P(AC)-P(BC)<P(A)

证：A=)An(BuC),所以

P(A)>P(An(BoC))=P(ABUAC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)

又P(ABC)<P(BC)

所以P(AB)+P(AC)-P(BC)<P(A)

例6：某人一次写了n封信，又写了n个信封，如果他任意将・n

张信纸装入n个信封中问至少有一封信的信纸和信封是一致的

概率是多少？

解：令4=｛第i张信纸恰好装进第i个信封｝,i=l,2,3-n

N

y

贝l」P(4)=l/n,^P(A)=1

P(A<A>)=l/n(n-l)i=l,2…，.n

£2---1

P(AjA')=C'-1)=2!

VP(AAA)_____!_____[

7

同理得田总"=c«n(n-l)(n-2)=5i

P(A1A2…A，，)=C；；)=)

由概率的一般加法公式有

UAEm^)+

P(i=l)=<=l\Si<jin(-1)"P(A1A2…A")

_L_L_1

=1-2!不一…+(-1)"Tn!

当n充分大时，它近似于是1-eT

这个例子就是历史上有名的“匹配问题”或“配对问题”。

3.古典概型

定义1.4若随机试验E满足以下条件：

1)试验的样本空间Q只有有限个样本点，即

。=｛皿，g,…，叫｝

2)试验中每个基本事件的发生是等可能的，即有

P(q)=P(g)i..=P(0.)。

则称此试验为古典概型，或称为等可能概型。

它在概率论中具有非常重要的地位，一方面它比较简单，

既直观，又容易理解，另一方面它概括了许多实际内容，有很

广泛的应用。

对上述古典概型，它的样本空间。=｛幼，%,…，％｝,

从概率论的有限可加性知i=pg)+尸(电)+…+p(0)

1

于是尸(电)=尸(①2)二…二尸(吗)二

n

若事件A包含k个基本事件，即

A=%u%u•••u%

则攵--包含的样本点数

''一〃一基本样本点总数

例如：将一枚硬币连续掷两次就是这样的试验，也是古典

概型，它有四个基本事件，（正、正），（正、反），（反、正），

£

（反、反），每个基本事件出现的可能结果都是a。但将两枚硬

币一起掷，这时试验的可能结果为（正、反），（反、反），（正、

正）但它们出现的可能性却是不相同的，（正、反）出现的可能

22

性为a,而其它的两个事件的可能性为a。

它不是古典概型，对此历史上曾经有过争论，达朗贝尔曾

误为这三种结果的出现是等可能的。

判别一个概率模型是否为古典概型，关键是看“等可能性”

条件满不满足。而对此又通常根据实际问题的某种对称性进行

理论分析，而不是通过实验来判断。

由古典概型的计算公式可知，在古典概型中，若p（A）=l,

则A=。。同样，若P（A）=。，则4=①。

不难验证，古典概型具有非负性、规范性和有限可加性。

解古典概型问题的两个要点：

1）.首先要判断问题是属于古典概型，即要判断样本空间是否

有限和等可能性；

2）.计算古典概型的关键是“记数”，这主要利用排列与组合的

知识。

例1.5将一枚硬币抛掷3次，求：

(1)恰有一次出现正面的概率；

(2)至少有一次出现正面的概率。

解：(1)设A表示“恰有一次出现正面”，则

P(A)Z

8

⑵设B表示“至少有一次出现正面”，则

P(B)Z

8

例1.6一口袋装有6个球，其中4个白球，2个红球。从袋中

取球两次，每次随机地取一个。考虑两种取球方式：

(a)第一次取一个球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再任取

一球。这种取球方式叫做有放回抽取。

(b)第一次取球后不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。

这种取球方式叫做不放回抽取。

试分别就上面两种情形求：

(1)取到的两个球都是白球的概率；

(2)取到的两个球颜色相同的概率；

(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率。

解：(a)有放回抽取的情形

设A表示“取到的两个球都是白球”，B表示“取到的两个球都

是红球”，C表示“取到的两个球至少有一个是白球"，贝表

示“取到的两个球颜色相同"，而C=瓦故有

P(A)=9J

6x69

2x2」

P(B)=

6^6-9

由于AB=(P，故

5

P(AU3)=P(A)+P(B)=9

_8

P(C)=P(B)=1-P(B)=9

(b)无放回抽取的情形

,、4x32

P(B)=也」

由于AB=(P，故6x515

7

P(AUB)=P(A)+P(B)=—

P(C)=P(B)=I-P(B)=

例1.7箱中装有a个白球，b个黑球，现做不放回抽取，每次

一个。求：

(1)任取m+n个，恰有m个白球，n个黑球概率(mWa,nWb)；

(2)第k次才取到白球的概率(kWb+1)；

(3)第k次恰取到白球的概率

c：c-

解：⑴p「m+n

^a+b

(2)P2

D——a

1

~N

例1.8有n个人，每个人都以同样的概率被分配在N(n<N)

间房中的任一间中，求恰好有n个房间，其中各住一人的概率。

解：

例1.912名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到3

个班中，试求：

(1)每班各分配到一名优秀生的概率；

(2)3名优秀生分配到同一个班的概率。

解：(1)设A表示“每班各分配到一名优秀生”，则

(2)设B表示“3名优秀生分配到同一个班”，则

补充习题：

(一)摸球问题

例L在盒子中有五个球(三个白球、二个黑球)从中任

取两个。问取出的两个球都是白球的概率？一白、一黑的概率？

2

分析：说明它属于古典概型，从5个球中任取2个，共有U种

不同取法，可以将每一种取法作为一个样点。则样本点总数C；

是有限的。由于摸球是随机的，因此样本点出现的可能性是相

等的，因此这个问题是古典概型。

解：设人=｛取到的两个球都是白瑞，B=｛取到的两个球一白一翳

基本事件总数为C5

尸5）=与

A的有利事件数为C；,心

B的有利事件数为

在古典概型时常利用摸球模型，因为古典概型中的大部分

问题都能形象化地用摸球模型来描述，若把黑球做为废品，白

球看为正品，则这个模型就可以描述产品的抽样检查问题，假

如产品分为更多等级，例如一等品，二等品，三等品，等外品

等等，则可以用更多有多种颜色的摸球模型来描述。

例2：在盒子中有十个相同的球,分别标为号码1,2,3,……,

9,10,从中任摸一球，求此球的号码为偶数的概率。

解一：令，=｛所取的球的号码为i｝i=

则。=｛1，2••…10｝故基本事件总数n=10

令A=｛所取球的号码为偶劭，因而A含有5个基本事件

p（A）=』」

102

解二：令A=｛所取球的号码为偶数）,则彳=｛所取球的号码为奇数）

因而⑷1

此例说明了在古典概型问题中，选取适当的样本空间，可

使我们的解题变的简洁。

例3：一套五册的选集，随机地放到书架上，求各册书自左至

右恰好成1,2,3,4,5的顺序的概率。

解：将五本书看成五各球，这就是一个摸球模型，基本事件总

数5!

令｛各册自左向右或成自右向左恰好构成1，2,3,4,5顺序｝

A包含的基本事件数为2,一1'5!60

例4：从52张扑克牌中取出13张牌来，问有5张黑桃、三张

红心、3张方块、2张草花的概率是多少？

解：基本事件数为：

令A表示13张牌中有5张黑桃、3张红心、3张方块、2

张草花

A包含的基本事件数为：公•M•比,仁

P（A）=G；,,Gi«0.01293。

（二）分房问题

例5：设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的

任意一间去住（nWN）,求下列事件的概率：

1）A=｛指定的n个房间各有一人住｝；

2）B=｛恰好有n个房间，其中各有一人住｝。

解：因为每一个人有N个房间可供选择（没有限制每间房住多

少人），所以n个人住的方式共有N"种，它们是等可能的。

1）n个人都分到指定的n间房中去住，保证每间房中个有

一人住；

第一人有n分法，第二人有n-1种分法，……最后一人只

能分到剩下的一间房中去住，共有n(n-l)…….21种分法，即

A含有n!个基本事件：

〃！

***P(A)=N〃

2)n个人都分到的n间房中，保证每间只要一人，共有n!

种分法，而n间房未指定，故可以从N间房中任意选取，共有

小种取法，故B包含了小种取法。

•••又如在掷骰子试验中“出现一点二

注意：分房问题中的人与房子一般都是有个性的，这类问

题是将人一个个地往房间里分配，处理实际问题时要分清什么

是“人”，什么是“房子”，一般不可颠倒，常遇到的分房问题

有：

n个人相同生日问题，n封信装入n个信封的问题(配对

问题)，掷骰子问题等，分房问题也称为球在盒子中的分布问题。

从上述几个例子可以看出，求解古典概型问题的关键是在

寻找基本事件总数和有利事件数，有时正面求较困难时一，可以

转化求它的对立方面，要讲究一些技巧。

例6：某班级有n个人(n(365)问至少有两个人的生日在同一

天的概率是多大？

解：假定一年按365天计算，将365天看成365个“房间”,那

么问题就归结为摸球问题；

令A=｛至少有两个人的生日在同一天｝则A的情况比较复杂(两人、

三人……在同一天)，但A的对立事件^=｛n个人的生日全不

相同｝，这就相当于分房问题中的2)“恰有n个房间，其中各

住一人”;

_6>!M

二.P(4)==N"(N-〃)！(N=365)

P(A)+P(Z)=1

N\

P(4)=l一N"(N-〃)！(N=365)

这个例子就是历史上有名的“生日问题”，对于不同的一些n

值，计算得相应的P(A)如下表：

n102023304050

P(A)0.120.410.510.710.890.97

表所列出的答案足以引起大家的惊奇，因为“一个班级中至少

有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不如发多数人想象

的那样小，而是足够大，从表中可以看出，当班级人数达到23

时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级人数达到

50人时，竟有97%的班级会发生上述事件，当然这里所讲的

半数以上，有97%都是对概率而言的，只是在大数次的情况

下(就要求班级数相当多)，才可以理解为频率。从这个例子告

诉我们“直觉”并不可靠，从而更有力的说明了研究随机现象

统计规律的重要性。

例7：在电话号码簿中人取一个号码（电话号码由7个数字组

成），求取到的号码是由完全不同的数字组成的概率？

解:此时将0—9这10个数子看成“房子”，电话号码看成“人”,

这就可以归结为“分房问题（2）”。

令A=｛取到的号码有由完全不同的数字组成｝

P：。

则P（4）=1O7

当然这个问题也可以看成摸球问题，将这十个数字看成1。

个球，从中有放回的取7次，要求7次取得的号码都不相同。

（三）随机取数问题

例8：从1,2,3,4,5这五个数中等可能地、有放回的连续

抽取3个数字，试求下列事件的概率：

A=｛三个数字完全不相同）；

B=｛三个数字中不含1和5）；

C=｛三个数字中5恰好出现了两次!；

D=｛三个数字中至少有一次出现5｝。

解：基本事件数为：53,A的有利事件数为g，故P（A）=53

=0.48

B的有利事件数为33（三个数只能出现2,3,4）,故尸（8）=

33

F=0.216

三个数字中5恰好出现两次，可以是三次中的任意两次，

出现的方式为C；种，剩下的一个数只能从1,2,3,4中任意

选一个数字，有尸：种选法，故C的有利事件数为故

C汜12

P(C)=53=125

事件D包含了5出现了一次，5出现两次，5出现三次三

种情况

D的有利事件数为:$1.)2+即尸：+即

=0.488

故P(D)=歹

或可以转化为求D的对立事件方的概率

D=｛三个数字中5一次也不出现｝说明三次抽取得都是在

1,2,3,4中任取一个数字，故含有4'个基本事件

43

P(D)=1-P(5)=l-F=o.488O

例9：在0，12…，9这十个数字中无重复地任取4个数字，试求取

得的4个数字能组成四位偶数的概率。

解：设A=｛取得的4个数字能组成四位偶数｝

从10个数中任取4个数字进行排列，共有片种排列方式,

所以共有8个基本事件。

下面考虑A包含的基本事件数，分两种情况考虑一种是0

排在个位上，有四种选法，另一种是0不排在个位上,有日因片

种，所以A包含的基本事件数为8+£H丹，故

一+■*4£

P(A)=解=90»0.4556

或先从0,2,4,6,8这5个偶数中任选一个排在个位上,

有8种排法，然后从剩下的9个数字中任取3个排在剩下的3

个位置上，有片种排法，故个位上是偶数的排法共有耳.尸；种，

但在这种四个数字的排列中包含了“0”排在首位的情形，故应

除去这种情况的排列数。

故A的有利场合数为：W•四-P；E成

例10：任取一个正整数，求该数的平方数的末位数字是1的概

率。

分析：不能将正整数的全体取为样本空间，这样的样本空间是

无限的，谈上不等可能的。

解：因为一个正整数的平方的末位数只能取决于该正整数的末

位数，它们可以是0,1,2……,9这十个数字中的任一个，现

任取一个正整数的含义，就是这十个数字等可能地出现的，换

句话说，取样本空间0={。］，2，-一，9}。

记A={该数的平方的末位数字是1}

那么A包含的基本事件为2,A={1,9),

故P(A)=m=S；

该数的四次方的末位数字是1,则B={1,3,7,9},

4__2

P(B)=U)=5；

c={该数的立方后的最后两位数字都是1}

一个正整数的立方的最后两位数字取决于该数的最后的两

位数字，所以样本空间含有1。2个样本点。

则该数的最后一位数字必须是1,设最后的第二位数字是a,

那么该数立方的最后两个数字为1和3a个个位数，要使3a的

个位数为1,必须a=7,应而A包含的样本点只有71这一点，

1

故口（0=而。

4.几何概型

在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。

在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。为克服有限

的局限性，可将古典概型的计算加以推广。

设试验具有以下特点：

1）样本空间。是一个几何区域，这个区域的大小可以度

量，并把。的度量记作m（。）.

2）向区域。内任意投掷一点，落在区域内任意一个点处

都是“等可能的“，或者设落在。中区域A内的可能性

与A的度量m（A）成正比，与A的位置与形状无关。

不妨也用A表示“掷点落在区域A内”，则

m(Q)

称它为几何概率。

例1.10在区间（0,1）内任取两个数，求这两个数的乘积小

于《的概率。

解：设在区间（0,1）内任取两个数X,y,则

0<x<l,0<y<l

1

令A表示“两个数的乘积小于a”，则

A={（x,y）0<xy<—,0<x<1,0<y<1}

14rAr4

例1.11（会面问题）两人相约在某天下午2：00——3：00在

预定地方见面，先到者要等候20min,过时则离去。如果每人

在这指定的lh内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会

到面的概率。

解：设x和y分别表示两人到底预定地点的时一刻，

则0Vx460,0<y<60o

两人能会面的充要条件是

|x-v|<20

则2,

…皿=60=40小

2

机（。）609o

补充习题：

例蒲丰（Buffon）投针问题。平面上画有等距离的平行线，平

行线间的距离为a(a>0),向平面任意投掷一枚长为l(l〈a)的

针，试求针与平行线相交的概率。

解：假设x表示针的中点与最近一条平行线的距离，

又以。表示针与此直线间的交角，有

0~X~2,0〈乃

由这两式可以确定X，。平面上的一个矩形C,

这时为了针与平行线相交，其条件为X-2S1^

由这个不等式表示的区域A是图中的阴影部分

[/JI.a

A=<\(p.x)x<—sin^9,0<x<—>

(；sin四"

力一姮——

由等可能性可知P(A)=SQ=2=如

若l,a为已知，则以4值代入上式，即可计算得P(A)的

值。反过来，若已知P(A)的值，也可以用上式去求乃，而关

于P(A)的值，可以用频率去近似它。如果投针N次，其中针

n21N

与平行线相交n次，则频率为万，于是兀

这是一个颇为奇妙的方法，只要设计一个随机实验。使一

个事件的概率与某一未知数有关，然后通过重复实验，以频率

近似概率即可以求未知数的近似数。当然实验次数要相当多，

随着计算机的发展。人们用计算机来模拟所设计的随机实验。

使得这种方法得以广泛的应用。将这种计算方法称为随机模拟

法，也称为蒙特一卡洛法。

第三节条件概率、全概率公式

1.条件概率的定义

P(A3)

定义1.5设A,B为两个事件，且P(B)>0,则称P因为事

件B已发生的条件下事件A发生的条件概率，记作P(A|B),

即

P(AB)

P(A|B)=PB)

不难验证条件概率P(A|B)具有概率的三个基本性质

1)非负性：VA，有P(A|B)20

2)规范性：P(Q|B)=1

3)可列可加性：VA(i=l,2……)，且A，4……两两互不

相容，有

4UAH=EP⑷B)

\/=lJi=l

4)p"W)=o

5)P(A|B)=i-p(R8)

6)P(A|D4忸)=P(A|忸)+p(忸)_p(A]A2忸)

例1.12某电子元件厂有职工180人，男职工有100人，女职工

有80人，男女职工中非熟练工人分别为20人与5人。现从该

厂中任选一名职工，则：

(1)该职工为非熟练工人的概率；

(2)若已知被选出的是女职工，她是非熟练工人的概率。

解：(1)设A表示“任选一名职工为非熟练工人”，则

P(A)=至=_L

18036

⑵设B表示“选出女职工”，则

P(A|8)=

P(B)/他16

/180

例1.13某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到25岁

的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率。

解：设A表示“活到20岁以上”，B表示“活到25岁以上”，

则

P(A)=0.7P(B)=0.56且BuA

得

%即)=皿2=皿=0.8

1P(A)P(A)

例1.14一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从

中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到

正品的条件下，第二次取到的也是正品的概率。

解：设A表示“第一次取到正品”，B表示“第二次取到正品”，

则

P(A)=0.6

P(AB)=0.3

=0.5

1P(A)

2.乘法定理

设两个事件A,B则有加法公式P(AuB)=P(A)+P(B)

-P(AB)。特别地，当A,B为互不相容的两个事件时，有P(AuB)

=P(A)+P(B)此时有P(A)及P(B)即可求得P(AuB),但

在一般情形下，为求得P(AuB)还应该知道P(AB)。因而很自

然要问，能不能通过P(A),P(B)求得P(AB),即为下述定

理：

定理1.1(乘法定理)设P(A)〉0,则有

P(AB)=P(A)P(邳A)

同理当P(B)>0时，P(AB)=P(B)P1忸)

乘法公式可以推广到n个事件的情形，

P(AtA2---An)=P(AJ「缶2%)P(4|4A2)…尸(A/AAdi)

(0(AJA]A?./”.])>0)

例1.15一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回

抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概

率。

解：设A,(i=l,2,3)为第i次抽到合格品的事件，则有

----——I—I----10990

P(4A2A3)=P⑷尸(邛I)P闻A^)=—.—«0.0083

例1.16设盒中有m个红球,n个白球，每次从盒中任取一个球,

看后放回，再放入k个与所取颜色相同的球。若在盒中连取4

次，试求第一次、第二次取到红球，第三次、第四次取到白球

的概率。

解：设A(=1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件，乖=1,2,3,4)

表示第i次取到白球的事件，则有

P(A/4公)=P(A)P(A2|4)P(X|A4)P(H|4&X)

mm+knn+k

m+n/%+〃+%m+几+2km+n+3k

例1.17袋中有n个球，其中nT个红球，1个白球，n个人依

次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i

(i=l,2,…,n)个人取到白球的概率。

解：设A,(i=l,2,…,〃)表示“第i个人取到白球”的事件，则有

P(A)」

n

由4:D4,故A?=A〕A?，于是

——i—n-i11

P(A,)=P(A4)=P(AJP(A\A)=-------------=-

2tnn—1n

n----\---n----2----....1.....——1

nn-1n-2n

-------n-1n-2II

P（4）=P（A出…&6丁0••…71-=-

因此，第i个人(i=l,2,…,n)取到白球的概率与i无关，都

是:

这个例题与例1.7(3)实际上是同一个概率模型。

补充习题：

例1：甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录,

知道在一年中的雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同

时下雨占12%0记A=｛甲市出现雨天｝B=｛乙市出现

雨天｝

求：1)两市至少有一市是雨天的概率；

2)乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率；

3)甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。

解：1)P(AuB)=0.26

2)P(A忸)=0.67

3)P(B\A)=0.60

例2：(抽签问题)有一张电影票，7个人抓阉决定谁得到它，

问第i个人抓到票的概率是多少？(i=l,2,…，7)

解：设4="第i个人抓到票"，(i=l,2,7)

P（A）=_L,P㈤=g

显然q、）7,

如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。

这就是说4uA,所以4=A24

于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有抓到

票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阉中抓到电影票,

所以

11

6X-=1

P(A2)=P(AJI)=P(I,)P(A2|X1)=67

7

类似可得

P(4)=P(A彳2A3)=尸伍卜(彳21A卜(&IA才2)=4X3X1=g

明)=;

/O

3.全概率公式和贝叶斯公式

定义1.6设。为样本空间，4瓜2,…,A”为。的一组事件，若满

足

1）AjA/=①,iN/,，,/=1,2,；

2）山,=。

则称4，42,…,A“为样本空间Q的一个划分。

为了求比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解为两个

（或若干个）互不相容的较简单的事件的并，求出这些较简单

事件的概率，再利用加法公式，即为所要求的复杂事件的概率,

将这中方法一般化便得到下述定理：

定理1.2（全概率公式）设B为样本空间。中的任一事件，

A，…4为。的一个划分，且2缶,）＞0（，=1,2,...,〃），则有

P（8）=fp（A,）P（8|4）

称上述公式为全概率公式。

证明：见书

定理1.3（贝叶斯公式）设样本空间为O,B为。中的事件，

A，4,…，4为c的一个划分,且p（8）＞o,p（A）＞oa=i,2,F”）,则

有

,P（B|Ai）P（AJ.1°

P（AjB）=rI1=1,2,…，n

:P（耳Aj）P（A.

j=l

称上式为贝叶斯公式，也称为逆概率公式

证明：见书

一般地，能用全概率公式解决的问题都有以下特点：

1）该随机变量可以分为两步，第一步试验有若干个可能结

果，在第一步试验结果的基础上，再进行第二次试验，又有若

干个结果；

2）如果要求与第二步试验结果有关的概率，则用全概率公

式。

例1.18某工厂生产的产品以100件为一批，假的每一批产品

中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：

一批产品中的次品数0,1,2,3,4

概率0.1,0.2,0.4,0.2,0.1

现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中

有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率。

解：以A,.表示一批产品中有i件次品，i=0,1,2,3,4,B表示通

过检验，则有

4

尸⑻=ZP（A,）尸（叫4）

/=0

=0.1X1+0.2X0.9+0.4X0.809+0.2X0.727+0.1X0.652

^0.814

例1.19某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产品依

次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为4%,2%,

5%,现在一批产品中检查出次品，问该次品是由哪个车间生产

的可能性最大？

解：设A，A2,A3分别表示产品来自甲、乙、丙3个车间，B表示

产品为次品的事件，则有

3

尸⑻=ZP（A,）PCB|A,）

=0745X0.04+0.35X0.02+0.2X0.05

=0035

由贝叶斯公式得

0.45x0.04

P（A|B）=0.514

0.035

0.35x0.02

P（A\B）==0.200

20.035

0.20x0.05

P（A|B）==0.286

0.035

由此可见，该次品是由甲车间生产的可能性最大。

例1.20由以往的临床纪录，某种诊断癌症的试验具有如下效

果：被诊断者有癌症，试验反映为阳性的概率为0.95；被诊断

者没有癌症，试验反映为阴性的概率为0.98。现对自然人群进

行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005,求：已

知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率。

解：设A表示“患有癌症”，B表示“试验反应为阳性“，则

P（A忸）二—尸⑷町_=0J93

P（A）P（4A）P（A忸）

贝叶斯公式在概率论与数理统计中有着多方面的应用，假

定用，斗……是导致试验结果的“原因”，PG，）称为先验概率,

它反映了各种“原因”发生的可能性的大小，一般是以往经验

的总结，在这次试验前已经知道，现在若试验产生了事件A,

这个信息将有助与探讨事件发生的“原因”，条件概率尸缶忸,）称

为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性

大小的新知识，例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是

患了鸟，之，…中的那一种病，对病人进行观察与检查，