专题7半角模型（相似模型）2024年中考数学常见几何模型专项复习讲义（原卷版）

专题7半角模型（相似模型）【知识梳理】半角模型问题大家都遇到很多了，一个角与另一个角共顶点，且该角的大小是另一个角大小的一半，常见的是直角与45°角的组合。半角模型通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，即将这个半角绕顶点旋转或通过截长补短的方法，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等或相似。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型分析】模型1.半角模型（相似模型）半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。模型特征：等线段，共端点，含半角思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。【模型展示】正方形半角模型条件：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE，AF分别与BD相交于点M，N。结论一：△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；【证明】∵正方形ABCD，∴∠ABN=45°∵∠ABN＝∠MAN＝45°，∠BNA＝∠ANM，∴△AMN∽△BAN，同理可证△AMN∽△DMA，结论二：△AMN∽△AFE；【证明】∵正方形ABCD∴∠MBE=∠MAN=45°∵∠BME＝∠AMN（对顶角），∴△BME∽△AMN，∴∠BEM=∠ANM∵EA平分∠BEF（见专题六半角模型全等模型证明）∴∠BEM=∠AEF∴∠ANM=∠AEF∴△AMN∽△AFE结论三：△BAN∽△DMA；【证明】∵正方形ABCD∴∠ABN=∠ADM=45°∵∠AMD=∠ABM+∠BAM∠BAN=∠MAN+∠BAM∴∠AMD=∠BAN∴△BAN∽△DMA结论四：；【证明】连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA∽△NDA，又∵△AMN∽△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到S△AEF=2S△AMN结论五：△BME∽△AMN∽△DFN；【证明】∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN（对顶角），∴△BME∽△AMN，同理可证△DFN∽△AMN结论六：【证明】由结论三可得△DAM∽△BNA，∴,即.结论七：【证明】设DF=a，BE=b，AB=c，则CE=cb，CF=ca，EF=a+b，在Rt△CEF中，（a+b化简得2ab∴.结论八：则当BE＝DF时，EF最小，最小，最大.【证明】如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设OP=PC=EF=x，则，，，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF、均有最小值，有最大值.结论九：则BNDN=BE,DMBM=DF【证明】由结论8可得△△ECA∽△NDA，∴,,∵,∴,同理可得.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型条件：已知∠BAC＝90°，；结论一：△ABE∽△DAE；△DAE∽△DCA；【证明】∵又∵∠AED=∠BEA∴△ABE∽△DAE同理△DAE∽△DCA结论二：△ABE∽△DCA；【证明】∵又∵∠ADC=∠ABC+∠BAD∠BAE=∠DAE+∠BAD∴∠ADC=∠BAE∴△ABE∽△DCA结论三：；【证明】由结论一可得△ABE∽△DAE；△DAE∽△DCA；∴,∴结论四：（）【证明】由结论二可得△ABE∽△DCA；∴∴∵AB=AC∴含60°半角模型条件：已知∠BAC＝120°，；结论一：△ABD∽△CAE∽△CBA【证明】∵∠BAC＝120°∴∠B+∠C=60°∵∠ADE=60°∴∠B+∠BAD=60°∴∠C=∠BAD∵∴∠BDA=∠CEA=120°∴△ABD∽△CAE∽△CBA结论二：；【证明】由结论一可得△ABD∽△CAE∽△CBA∴,∴结论三：（）【证明】由结论一可得△ABD∽△CAE∴∴∵∴AD=AE∴【典型例题】例1．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB2＝BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM•AE＝AN•AF；④BE+DF=2A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④例2．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC边上取一点E，使∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y．①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；②求y的最小值．例3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点E、F分别在BC、CD上，若AE=5，∠EAF＝45°，则AF的长为例4．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AB、BC上，∠EDF＝45°，DE、DF分别交AC于点G、H．求证：EF=2例5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是．例6．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．例7．如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例8．解答下列各题：（1）【阅读理解】我们把有一组邻边相等的凸四边形，叫作“等邻边四边形”．正方形是一个特殊的“等邻边四边形”，如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，我们把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，再通过证明△AEF与△AGF全等，从而发现BE、EF、FD之间的数量关系是（直接写出答案）．（2）【探究引申】如图②，在等邻边四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD≠90°，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，（1）中的结论仍成立？请说明理由．（3）【问题解决】如图③，在等邻边四边形ABCD中，已知AB＝AD=203米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，在BC、CD上分别取点E、F，且AE⊥AD，DF＝（30−10【课后专题练】练1．如图，点E、F分别为正方形ABCD的边AB、BC上的点，满足∠EDF＝45°．连接DE、DF分别交正方形对角线AC于点H、G，再连接EG，有如下结论：①AE+CF＞EF；②ED始终平分∠AEF；③△AEH∽△DGH；④DE=2DG；⑤S△DGHS△DEF练2．如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF．延长CD至G，使GD＝EB，连接AG，易证△AFG≌△AFE．所以EF，BE，DF之间的数量关系为EF＝DF+BE．（1）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF．试猜想EF，BE，DF之间的数量关系；（直接写出结果，不需证明）（2）如图3，点E，F分别在正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF．试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并加以证明；（3）如图4，点E，F在正方形ABCD的对角线BD上，∠EAF＝45°，若BE＝2，DF＝1，请直接写出EF的长．练3．在菱形ABCD中，∠B＝60°．点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF．连接AE，AF．（1）如图1，连接EF，求证：△AEF是等边三角形；（2）AG平分∠EAF交BC于点G．①如图2，AG交EF于点M，点N是BC的中点，当BE＝4时，求MN的长．②如图3，O是AC的中点，点H是线段AG上一动点（点H与点A，点G不重合），当AB＝12，BE＝4时，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3．若存在，请直接写出AHAG练4．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝62，CD⊥AB于D，点E在直线CD上，DE=1（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：，；（2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且AF＝2FD时，求证：∠CNE＝45°；（3）当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得∠CNE＝45°？若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由．练5．（1）如图1，正方形ABCD中，F是边CD边上一点，F′是CB延长线上一点，∠FAF′的平分线交边BC于E．已知DF＝BF'，①求证：∠EAF＝45°②若正方形ABCD边长是3，BE＝1，求DF的长．（2）如图2，正方形ABCD中，F是边CD边上一点，E为边AB上一点．以直线EF为对称轴把正方形折叠，BC的对应线段为B'C'，其中点C在边AD上，B'C交边AB于点G，记△AGC′周长为x，正方形ABCD周长为y，求y与x的函数关系式．练6．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．（1）如图1，若tan∠ECD=13，BC＝BF＝4，DC（2）如图2，若BC＝EC，连接BE，在BE上取点F，使∠FCD＝45°，过点E作EM⊥CF交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交