高中数学湘教版2019选择性必修第一册课件第3章直线与椭圆的位置关系

培优课直线与椭圆的位置关系第3章内容索引01重难探究•能力素养全提升02学以致用•随堂检测全达标课标要求1.掌握直线与椭圆位置关系的判断方法;2.掌握直线被椭圆截得的弦长的求法;3.能够求解直线与椭圆位置关系的相关问题.重难探究•能力素养全提升探究点一直线与椭圆的位置关系(1)求椭圆L的标准方程;(2)过点Q(0,2)的直线l与椭圆L交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好过坐标原点,求直线l的方程及|AB|的大小.规律方法

直线与椭圆的位置关系的判断方法

位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ=0相离无解Δ<0变式训练1已知直线l:y=kx+4,椭圆C:+y2=1.(1)若直线l过C的左焦点,求实数k的值;(2)若直线l与椭圆C有公共点,求实数k的取值范围.

解

(1)由已知可得,椭圆C的左焦点的坐标是(-2,0),∵直线l:y=kx+4过C的左焦点,∴-2k+4=0,解得k=2.探究点二直线被椭圆截得的弦长的求法【例2】已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求直线y=x+m被椭圆截得的弦最长时,直线的方程.分析

联立直线方程和椭圆方程,消元后求得判别式、两交点的坐标之间的关系式,利用两点间的距离公式求出弦长关于m的关系式,求解直线方程.规律方法

直线被椭圆截得的弦长的求法(1)直接利用两点间的距离公式:当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间的距离公式求弦长.(2)弦长公式:当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.(k为直线斜率).[提醒]如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.变式训练2已知斜率为2的直线l经过椭圆

的右焦点F1,与椭圆交于A,B两点,则|AB|=

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探究点三中点弦问题【例3】已知椭圆,过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直线的方程.解

(方法1)易知所求直线的斜率存在且不为0,设所求直线方程为y-1=k(x-2),k≠0.代入椭圆方程并整理得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.(方法2)设直线与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(2,1)为线段AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.规律方法

解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;(2)处理有关中点弦及对应直线斜率(斜率存在且不为0)关系的问题时,常用“点差法”,步骤如下:设点——设出弦的两端点坐标↓代入——代入圆锥曲线方程↓作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开↓整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解变式训练3已知点P(4,2)是直线l:x+2y-8=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,则该椭圆的离心率为

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探究点四直线与椭圆相交的综合问题(1)求椭圆C的标准方程.(2)经过点M(2,-1)的直线l与C相交于P,Q两点(l不经过点A),设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.分析

由已知可得b,再由B点坐标求得a,因此椭圆方程可求.依题意直线l的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线方程为y=k(x-2)-1,k≠0,联立直线方程与椭圆方程化为关于x的一元二次方程,再表示出k1,k2,两者求和后利用根与系数的关系代入求k1+k2的值.规律方法

解决直线与椭圆相交的综合问题的思路求解直线与椭圆的交点问题,首先需要将直线方程代入椭圆的方程,消元后,结合交点的性质,利用方程根与系数的关系转化为交点的坐标之间的关系求解,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.变式训练4已知椭圆C:+y2=1,动直线l:y=x+m.若l与C相交于A,B两点,且OA⊥OB,求l的方程.∴x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,即2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,学以致用•随堂检测全达标1.直线y=x+1与椭圆x2+=1的位置关系是(

)A.相离

B.相切C.相交

D.无法确定答案

C答案

C3.直线y=x+1被椭圆x2+4y2=16截得的弦长为

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4.已知P(1,1)为椭圆

内一定点,经过点P引一