2023-2024学年天津市蓟州区第三联合区重点达标名校中考五模数学试题含解析

2023-2024学年天津市蓟州区第三联合区重点达标名校中考五模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图所示（网格图中每个小正方形的边长均为1），则该“堑堵”的侧面积为（）A．16+16 B．16+8 C．24+16 D．4+42．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A． B．2 C． D．3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（）A．75° B．60° C．45° D．30°4．如图所示的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．5．在实数﹣，0.21，，，，0.20202中，无理数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．直角梯形B．平行四边形C．矩形D．正五边形7．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（）A．132° B．134° C．136° D．138°8．如图，已知AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°9．把a•的根号外的a移到根号内得（）A． B．﹣ C．﹣ D．10．1．桌面上放置的几何体中，主视图与左视图可能不同的是()A．圆柱B．正方体C．球D．直立圆锥二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°_____cos50°．12．在矩形ABCD中，AB=4，BC=9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则AE的长为_____．13．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数是_____．14．据报道，截止2018年2月，我国在澳大利亚的留学生已经达到17.3万人，将17.3万用科学记数法表示为__________．15．如图，P（m，m）是反比例函数在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．16．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD，DC∥AB，测得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部DC宽为2m，坝高为6m，则坝底AB的长为_____m．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同．把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；（2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，才能使这个游戏对双方公平？18．（8分）如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.求证：AP=BQ；当BQ=时,求的长(结果保留)；若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.19．（8分）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？20．（8分）正方形ABCD中，点P为直线AB上一个动点（不与点A，B重合），连接DP，将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N．问题出现：（1）当点P在线段AB上时，如图1，线段AD，AP，DM之间的数量关系为；题探究：（2）①当点P在线段BA的延长线上时，如图2，线段AD，AP，DM之间的数量关系为；②当点P在线段AB的延长线上时，如图3，请写出线段AD，AP，DM之间的数量关系并证明；问题拓展：（3）在（1）（2）的条件下，若AP=，∠DEM=15°，则DM=．21．（8分）甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．分别求出y1，y2与x之间的关系式；当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．22．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．求证：DF是BF和CF的比例中项；在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．23．（12分）如图，分别延长▱ABCD的边到，使，连接EF，分别交于，连结求证：．24．如图,△ABC,△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB上,求证:△CDA≌△CEB．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解析】

分析出此三棱柱的立体图像即可得出答案.【详解】由三视图可知主视图为一个侧面，另外两个侧面全等，是长×高=×4=，所以侧面积之和为×2+4×4=16+16,所以答案选择A项.【点睛】本题考查了由三视图求侧面积，画出该图的立体图形是解决本题的关键.2、C【解析】试题分析：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．3、C【解析】

根据直角三角形两锐角互余即可解决问题.【详解】解：∵直角三角形两锐角互余，∴另一个锐角的度数=90°﹣45°=45°，故选C．【点睛】本题考查直角三角形的性质，记住直角三角形两锐角互余是解题的关键．4、D【解析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选D．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．5、C【解析】在实数﹣，0.21，，，，0.20202中，根据无理数的定义可得其中无理数有﹣，，，共三个．故选C．6、D【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合矩形、平行四边形、直角梯形、正五边形的性质求解．详解：A．直角梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．故选D．点睛：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．7、B【解析】过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC为直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，故选B．“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．8、C【解析】

由等腰三角形的性质可求∠ACD＝70°，由平行线的性质可求解．【详解】∵AD＝CD，∠1＝40°，∴∠ACD＝70°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠ACD＝70°，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．9、C【解析】

根据二次根式有意义的条件可得a<0，原式变形为﹣（﹣a）•，然后利用二次根式的性质得到，再把根号内化简即可．【详解】解：∵﹣＞0，∴a＜0，∴原式＝﹣（﹣a）•，＝，＝﹣．故选C．【点睛】本题考查的是二次根式的化简，主要是判断根号有意义的条件，然后确定值的范围再进行化简，是常考题型．10、B【解析】试题分析：根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，正方体主视图与左视图可能不同，故选B．考点：简单几何体的三视图．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、＞【解析】试题解析：∵cos50°=sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．点睛：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．12、或【解析】

由,,得,所以.再以①和②两种情况分类讨论即可得出答案.【详解】因为翻折,所以，,过作,交AD于F,交BC于G,根据题意，,.若点在矩形ABCD的内部时，如图则GF=AB=4,由可知.又..又....若则,..则...若则,..则...故答案或.【点睛】本题主要考查了翻折问题和相似三角形判定，灵活运用是关键错因分析：难题，失分原因有3点：（1）不能灵活运用矩形和折叠与动点问题叠的性质；（2）没有分情况讨论，由于点A′A′到矩形较长两对边的距离之比为1:3，需要分A′M:A′N=1:3，A′M:A′N=1:3和A′M:A′N=3:1，A′M:A′N=3:1这两种情况；（3）不能根据相似三角形对应边成比例求出三角形的边长.13、32°【解析】

根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，求出∠A的度数，根据圆周角定理解答即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABD=58°，

∴∠A=32°，

∴∠BCD=32°，

故答案为32°．14、1.73×1．【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将17.3万用科学记数法表示为1.73×1．故答案为1.73×1．【点睛】本题考查了正整数指数科学计数法,根据科学计算法的要求，正确确定出a和n的值是解答本题的关键.15、．【解析】

如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵点P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点，∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.∵△PAB是等边三角形，∴∠PAH=60°.∴根据锐角三角函数，得AH=.∴OB=3+∴S△POB=OB•PH=.16、（7+6）【解析】

过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，得到两个直角三角形和一个矩形，在Rt△AEF中利用DF的长，求得线段AF的长；在Rt△BCE中利用CE的长求得线段BE的长，然后与AF、EF相加即可求得AB的长．【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，

∵坝顶部宽为2m，坝高为6m，

∴DC=EF=2m，EC=DF=6m，

∵α=30°，

∴BE=（m），

∵背水坡的坡比为1.2：1，

∴，

解得：AF=5（m），

则AB=AF+EF+BE=5+2+6=（7+6）m，

故答案为（7+6）m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）详见解析；（2）4分.【解析】

（1）根据题意用列表法求出答案；（2）算出甲乙获胜的概率，从而求出乙胜一次的得分.【详解】（1）列表如下：由列表可得：P（数字之和为5）＝，（2）因为P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，∴甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为：12÷3＝4分.【点睛】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可.18、（1）详见解析；（2）；（3）4<OC<1.【解析】

（1）连接OQ，由切线性质得∠APO=∠BQO=90°，由直角三角形判定HL得Rt△APO≌Rt△BQO，再由全等三角形性质即可得证.（2）由（1）中全等三角形性质得∠AOP=∠BOQ，从而可得P、O、Q三点共线，在Rt△BOQ中，根据余弦定义可得cosB=，由特殊角的三角函数值可得∠B=30°，∠BOQ=60°，根据直角三角形的性质得OQ=4，结合题意可得∠QOD度数，由弧长公式即可求得答案.（3）由直角三角形性质可得△APO的外心是OA的中点，结合题意可得OC取值范围.【详解】（1）证明：连接OQ.∵AP、BQ是⊙O的切线，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，∴∠APO=∠BQO=90∘，在Rt△APO和Rt△BQO中，，∴Rt△APO≌Rt△BQO，∴AP=BQ.（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，∴∠AOP=∠BOQ，∴P、O、Q三点共线，∵在Rt△BOQ中,cosB=，∴∠B=30∘,∠BOQ=60°，∴OQ=OB=4，∵∠COD=90°，∴∠QOD=90°+60°=150°，∴优弧QD的长=，（3）解：设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，

∵OA=1，

∴OM=4，

∴当△APO的外心在扇形COD的内部时，OM＜OC，

∴OC的取值范围为4＜OC＜1．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面积的计算、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理HL证出Rt△APO≌Rt△BQO；（2）通过解直角三角形求出圆的半径；（3）牢记直角三角形外心为斜边的中点是解题的关键．19、（1）;（2）20分钟.【解析】

（1）材料加热时，设y=ax+15（a≠0），由题意得60=5a+15，解得a=9，则材料加热时，y与x的函数关系式为y=9x+15（0≤x≤5）．停止加热时，设y=（k≠0），由题意得60=，解得k=300，则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=（x≥5）；（2）把y=15代入y=，得x=20，因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．20、(1)DM=AD+AP;(2)①DM=AD﹣AP;②DM=AP﹣AD;(3)3﹣或﹣1．【解析】

（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；（2）①根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；（3）分两种情况利用勾股定理和三角函数解答即可．【详解】（1）DM=AD+AP，理由如下：∵正方形ABCD，∴DC=AB，∠DAP=90°，∵将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N，∴DP=PE，∠PNE=90°，∠DPE=90°，∵∠ADP+∠DPA=90°，∠DPA+∠EPN=90°，∴∠DAP=∠EPN，在△ADP与△NPE中，，∴△ADP≌△NPE（AAS），∴AD=PN，AP=EN，∴AN=DM=AP+PN=AD+AP；（2）①DM=AD﹣AP，理由如下：∵正方形ABCD，∴DC=AB，∠DAP=90°，∵将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N，∴DP=PE，∠PNE=90°，∠DPE=90°，∵∠ADP+∠DPA=90°，∠DPA+∠EPN=90°，∴∠DAP=∠EPN，在△ADP与△NPE中，，∴△ADP≌△NPE（AAS），∴AD=PN，AP=EN，∴AN=DM=PN﹣AP=AD﹣AP；②DM=AP﹣AD，理由如下：∵∠DAP+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90°，∴∠DAP=∠PEN，又∵∠A=∠PNE=90°，DP=PE，∴△DAP≌△PEN，∴AD=PN，∴DM=AN=AP﹣PN=AP﹣AD；（3）有两种情况，如图2，DM=3﹣，如图3，DM=﹣1；①如图2：∵∠DEM=15°，∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°，在Rt△PAD中AP=，AD==3，∴DM=AD﹣AP=3﹣；②如图3：∵∠DEM=15°，∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°，在Rt△PAD中AP=，AD=AP•tan30°==1，∴DM=AP﹣AD=﹣1．故答案为；DM=AD+AP；DM=AD﹣AP；3﹣或﹣1．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，分类讨论的数学思想解决问题，判断出△ADP≌△PFN是解本题的关键．21、（1）；y2=2250x；（2）甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；（3）所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．【解析】试题分析：（1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可；（2）由收费相同，列出方程求解即可；（3）由函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解试题解析：（1）当x=1时，y1=3000；当x＞1时，y1=3000+3000（x﹣1）×（1﹣30%）=2100x+1．∴；y2=3000x（1﹣25%）=2250x，∴y2=2250x；（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x+1=2250x，解得x=6，答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；（3）x=5时，y1=2100x+1=2100×5+1=11400，y2=2250x=2250×5=11250，∵11400＞11250，∴所买商品为5件时，应选择