专题20 二次函数中对称变换问题（解析版）

二次函数中对称变换问题1．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．

(1)求b，c的值；(2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式；(3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为或【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）得到，即可求解；（3）由题意的：，即可求解．【详解】（1）由题意，得（2）由（1）得抛物线的解析式为．令，则，得．∴B点的坐标为．，∴．∵，∴直线的解析式为．∵，∴可设直线的解析式为．∵在直线上，∴．∴．∴直线的解析式为．

（3）设P点坐标为．∵点P在直线和抛物线上，∴．∴．解得（舍去）．∴点P的坐标为．

由翻折，得．∵，∴'．∴．．设点E的坐标为，则．．当时，点E的坐标为．设,由，得：，解得：，则点的坐标为．当时，同理可得，点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．2．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点的坐标；(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．【详解】（1）解：∵对称轴为直线，∴①，将点代入得，∴②，联立①②得，，∴解析式为；（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，则，∴解得：或（舍去），（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，设，如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，

，∵，∴，由对称性可知，，∴，∴解得：∴点的坐标为或如图3，当为平行四边形的对角线时，，，

由对称性可知，，∴，∴，解得：或，∴点的坐标为或综上所述，点的坐标为或或或．3．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．(3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：由题意得，；（2）解：如图1，作于，作于，交于，，，，，抛物线的对称轴是直线：，，，，，故只需的边上的高最大时，的面积最大，设过点与平行的直线的解析式为：，当直线与抛物线相切时，的面积最大，由得，，由△得，得，，，，，，，，；（3）解：如图2，当点在线段上时，连接，交于，点和点关于对称，，设，由得，，，（舍去），，∵，，，四边形是平行四边形，，，∴；如图3，当点在的延长线上时，由上可知：，同理可得：，综上所述：或．4．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．

(1)求点C，D的坐标；(2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可；（2）先求出，如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，利用勾股定理建立方程组，解得或（舍去），则，求出直线的解析式为，然后联立，解得或，则；【详解】（1）解：在中，当时，，∴，∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，∴C、D关于抛物线对称轴对称，∴；（2）解：当时，抛物线解析式为，当，即，解得或，∴；如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，∴，解得：，即∴，∴，解得或（舍去），∴，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，联立，解得或∴；

5．（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．

(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答；（2）过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答；【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，∴，∵对称轴为，∴，，∴抛物线的解析式为；（2）如图，过作x轴的垂线，垂足为H，

令，解得：，∴，，∴，由翻折可得，∵对称轴为，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；6．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；(3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，．【详解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为．（3）解：根据折叠可知，，，，∵轴，∴，∴，∴，

∴，设，，，，∵，∴，∴，整理得：，∴或，解得：或或，∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在，∴，∴点M的坐标为，．

【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形．7．（2022·甘肃武威·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．(1)求此抛物线的表达式；(2)连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；(3)连接．①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；②如图3，连接，当时，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）把点B代入抛物线关系式，求出a的值，即可得出抛物线的关系式；（2）根据抛物线可求出点A的坐标，点C的坐标，根据，利用三角函数，求出DE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出点P的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点P的纵坐标，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；（3）①连接交于点，设，则，求出，得出点，将其代入抛物线关系式，列出关于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐标；②在下方作且，连接，，证明，得出，说明当，，三点共线时，最小，最小为，过作，垂足为，先证明∠CAH=45°，算出AC长度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根据勾股定理求出CQ的长度即可得出结果．【详解】（1）解：∵在抛物线上，∴，解得，∴，即；（2）在中，令，得，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∵轴，∴，∴，∴，∴．（3）①连接交于点，如图1所示：∵与关于轴对称，∴，，设，则，，∴，∵点在抛物线上，∴，解得（舍去），，∴；②在下方作且，连接，，如图2所示：∵，∴，∴，∴当，，三点共线时，最小，最小为，过作，垂足为，∵，，∴，，∵，，，，∴，即的最小值为．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明，得出当，，三点共线时，最小，是解题的关键．8．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）坐标分别为，，交y轴于点C．

(1)求出抛物线解析式；(2)如图1，过y轴上点D作的垂线，交直线于点E，交抛物线于点F，当时，请求出点F的坐标；(3)如图2，点H的坐标是，点Q为x轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）过点作轴的垂线交于，交轴于，得出，根据三角函数求出，设，，求得，，，，其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去；（3）分两种情况讨论：如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解；【详解】（1）解：将，代入表达式得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）过点作轴的垂线交于，交轴于，

∵，，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，即，∴，∵，，∴直线：，设，，∴或，∴或，解得：，，，，∴或或或其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去，∴点的坐标为或；（3）分两种情况讨论：①如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，则四边形为矩形，

∵，∴，，∵，∴，∴，由折叠可知：，，∴，设，∴，，∵，∴，∴，∴点的坐标为；②如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，

由得：，，∴，设，则，，∵，∴，∴，∴点的坐标为，综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题为二次函数综合题，综合考查了二次函数的图象和性质，锐角三角函数、折叠的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点及分类讨论思想的应用．9．（2023·广西贵港·三模）抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点为抛物线上一点，且直线轴，点M是抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．(2)若点E的纵坐标为0，且以为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．(3)过点M作直线的垂线，垂足为N，若将沿翻折，点N的对应点为，则是否存在点M，使点则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．【答案】(1)；(2)或或(3)存在，或【分析】（1）可先求得点的坐标，将其代入抛物线的解析式求得的值，令，求得的值，进而求得点的坐标；（2）分为为边和为对角线两种情形，当为边时，分为，前者观察点和点重合，后者点的纵坐标和点坐标互为相反数，进而求得结果，点为对角线时，点和点重合；（3）证明是正方形，求得的解析式为：和，进一步求得结果．【详解】（1）解：∵轴，，把代入得由解得（2）如图1，

当为边时，，此时和点重合，，时，点的纵坐标和点的纵坐标互为相反数，即，当为对角线时，此时点和点重合，综上所述：或或（3）如图2，

由折叠知，，∵，∴四边形是矩形，∵时，∴矩形是正方形，∴平分，当平分时，直线的解析式为：，由得，(舍去)，当时，，∴，当平分时，直线的解析式为：，由得，(舍去)，当时，，综上所述：或．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，解一元二次方程，平行四边形的分类，正方形的判定和性质等知识点，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．（2023·四川成都·三模）如图，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧）坐标分别为，，交轴于点．(1)求出抛物线解析式；(2)如图，过轴上点作的垂线，交线段于点，交抛物线于点，当时，请求出点的坐标；(3)如图，点的坐标是，点为轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点刚好落在轴上，请直接写出点的坐标．【答案】(1)；(2)或；(3)点的坐标为或．【分析】（）利用待定系数法即可求解；（）过点作轴的垂线交于，交轴于，得出，根据三角函数求出，设，，求得，，，，其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去；（）分两种情况讨论：如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解；本题为二次函数综合题，综合考查了二次函数的性质，锐角三角函数、图形的折叠变换、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想．【详解】（1）将，代入表达式得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）过点作轴的垂线交于，交轴于，∵，，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，即，∴，∵，，∴直线：，设，，∴或，∴或，解得：，，，，或或或其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去，∴点的坐标为或；（3）分两种情况讨论：如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，则四边形为矩形，∵，∴，，∵，∴，∴，由折叠可知：，，∴，设，∴，，∵，∴，∴，∴点的坐标为；如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，由得：，，∴，设，则，，∵，∴，∴，∴点的坐标为，综上所述，点的坐标为或．11．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标；(3)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．【答案】(1)(2)或；(3)或【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图象的翻折、等腰三角形的性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．（1）由待定系数法即可求解；（2）由，，即可求解；（3）是以为底边的等腰三角形，则点P在的中垂线上，进而求解．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，抛物线的表达式为：；（2）∵点，，∴，抛物线的对称轴为直线，如图，由题意得，设翻折后点和点B对应，则，，，∴，∴，∴，当点M在x轴下方时，根据对称性，则点；故点M的坐标为：或；（3）存在，理由：是以为底边的等腰三角形，则点P在的中垂线