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第七章1应力理论

§7-1概述

§7-2平面应力状态应力分析、主应力

§7-3空间应力状态概念

§7-4应力与应变间关系

§7-5空间应力状态下应变能密度

材料力学1/96

在受力物体内，过一点不一样方位微截面上应力集合，就表征了这点受力状态，这点受力状态就称之为一点应力状态。应力哪一个截面上？

哪一点？哪一点？

哪一个微截面？指明§7-1概述

1、应力状态概念：材料力学2/96

微元体（单元体）2、一点应力状态表述：§7-1概述（续1）yzsz

txyxssyx单元体——构件内点代表物，是包围被研究点无限小几何体，通常采取正六面体单元。假设：单元体上每一微截面上应力，近似地认为是均匀分布。单元体上相互平行微截面上应力，近似地认为彼此相等。材料力学3/96§7-1概述（续2）理论上能够证实：若已知正六面体单元体各个面上应力，则可由作用于该单元体力系平衡条件，确定单元体上任意斜截面上正应力和切应力。yzsz

txyxssyx材料力学4/96xyzs

xsz

s

ytxy剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

过一点两个正交截面上，假如有与相交边垂直剪应力分量，则两个面上这两个剪应力一定等值、指向相对或相离。§7-1概述（续3）材料力学5/96

§7-1概述（续4）在材料力学所研究一维构件中，围绕着一点应怎样截取初始单元体呢？所谓初始单元体：是指该单元体所暴露截面上应力均为已知或能够确定。

初始单元体截取：依据材料力学前面已掌握知识，我们应该参考坐标系，过一点横截面、纵截面去截取一个正六面体单元体作为初始单元体。材料力学6/96比如：截取出以下图示一维构件产生基本变形时，构件中A、

B、C各点已知单元体。

PPAAsxsxMPxyzBCtzxsxsxBtxztxytyx§7-1概述（续5）材料力学7/96FPl/2l/2S平面5432154321S平面§7-1概述（续6）比如：截取出图示一维构件S横截面上1、2、3、4、5各点已知单元体。材料力学8/9654321543211S平面23§7-1概述（续7）材料力学9/96x-y坐标系x'－y'坐标系xp-yp坐标系★同一点应力状态能够有各种各样表述方式：主应力单元体§7-1概述（续8）材料力学10/96主应力：主平面上正应力即为主应力。主平面：单元体上剪应力为零平面即为主平面。

理论上我们能够证实：经过受力构件中任意一点，总能够截取三个相互垂直主平面。所以每一点都有三个主应力，以s1、s2

和

s3表示，且s1

s2

s3§7-1概述（续9）材料力学11/96§7-1概述（续10）3、怎样研究一点应力状态：分析作用于单元体（该点）上力系性质，依据力系平衡条件（规律）去研究。FF11单向应力状态任意斜截面上应力为：杆件内任意一点均处于单向应力状态；比如：轴向拉压问题：材料力学12/96§7-1概述（续11）4、研究一点应力状态目标：研究一点应力状态就是要确定过这一点危险微截面。而危险微截面通常是一点应力状态最大（最小）正应力和最大（最小）剪应力所作用微截面。处理了这一问题，也就处理了构件强度分析问题，从而到达了我们最终目标。

在材料力学中为了处理强度分析问题，普通经过研究一维构件横截面上内力等原因，首先确定构件（轴向拉压杆件、圆轴扭转、梁弯曲）危险横截面。然后经过横截面上各点应力分析，在危险横截面上确定危险点。深入围绕着危险点截取初始单元体，研究一点应力状态。材料力学13/96三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例§7-1概述（续12）5、一点应力状态分类：材料力学14/96三向（空间）应力状态§7-1概述（续13）平面（二向）应力状态材料力学15/96xy单向应力状态纯剪应力状态xy§7-1概述（续14）平面（二向）应力状态材料力学16/96平面应力状态分析——解析法:xy

ef§7-2平面应力状态应力分析、主应力已知该点两相互垂直截面上应力试求垂直于

平面任意斜截面

上应力。材料力学17/96拉为正压为负★正应力正负号规则:§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续1)材料力学18/96若剪应力对其作用截面内附近一点取矩，使微元或其局部顺时针方向转动者为正，逆时针方向转动者则为负。★剪应力正负号规则:§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续2)材料力学19/96

由x正向逆时针转到斜截面外法线

n正向者为正；反之为负。★

角正负号规则:

yx

§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续3)材料力学20/96平衡对象——用ef斜截面截取微元局部★利用截面法及微元局部平衡方程:xy

ef§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续4)efan´t´

dA·cos

dA·sin

dA材料力学21/96

参加平衡量——应力乘以其作用面积；

平衡方程——及efan´t´

dA·cos

dA·sin

dA§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续5)材料力学22/96

s-cos)cos(dAx-s

ydA(sin)sindA

s

+t

dA(cos)sinxy+t

dA(sin)cosyx§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续6)efan´t´

dA·cos

dA·sin

dA材料力学23/96t

dA-s

xdA(cos)sin-t

xydA(cos)cos+s

ydA(sin)cos+t

yxdA(sin)sin§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续7)efan´t´

dA·cos

dA·sin

dA材料力学24/96解得：用斜截面截取，此截面上应力为§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续8)材料力学25/96所以即单元体两个相互垂直面上正应力之和是一个常数。即又一次证实了剪应力互等定理。§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续9)材料力学26/96★应力圆方程:(1)(2)§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续10)2.平面应力状态分析——图解法（应力莫尔圆）材料力学27/96Rc应力圆（Mohr圆）应力圆上某一点坐标值对应着微元某一方向上正应力和切应力a§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续11)材料力学28/96在t

—s坐标系中，标定与微元A、D面上应力对应点a和d。连接ad交s

轴于c点，c即为圆心，

cd为应力圆半径。a(sx,txy)d(sy,tyx)cR★应力圆画法:§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续12)AD材料力学29/96◆点面对应——应力圆上某点一对坐标值对应着微元某一方向上正应力和切应力。★几个对应关系：caA§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续13)材料力学30/96yx◆转向对应——应力圆半径旋转方向与微截面外法线旋转方向一致；

CaAa'2◆二倍角对应——应力圆半径转过角度是微截面外法线旋转角度两倍。(sx,txy)DEo2qp§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续14)材料力学31/96sxsxADtsodacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBE★单向拉伸应力状态：单向拉伸§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续15)材料力学32/96单向拉伸x'y'BEsxsxsx'tx'y'ty'x'sy'BE§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续16)材料力学33/96DttAsy'＝tsx'＝tBEcbeotsa(0,t)d(0,-t)2×45º2×45º★纯剪切应力状态§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续17)材料力学34/96sx'＝tsy'＝tBEttBE纯剪切§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续18)材料力学35/96利用解析法得到：由将

0值代入

，得：§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续19)3.平面应力状态正应力极值——主应力材料力学36/96★主平面、主应力与主方向ctxysxsytyxAD主平面（PrincipalPlane）：t

=0,与应力圆上和横轴交点对应面。2qpadtso§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续20)材料力学37/96txysxsytyxAD★主应力确实定：tsoc2qpad§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续21)材料力学38/96★主应力计算：§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续22)

主应力排序：

s1

s2

s3材料力学39/96s1s2qps1txysxsytyxADs1s2s2

★主方向确实定：

负号表示从主应力正方向到x轴正方向为顺时转向。tsoc2qpad(sx,txy)g§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续23)材料力学40/96

对应应力圆上最高（或最低）点面上切应力极值，称为“平面应力状态剪应力极值——最大（最小）剪应力”。tmaxtsoc2qpad§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续24)4.平面应力状态剪应力极值——最大（最小）剪应力222xyyxminmaxtsstt+-±=îí좢）（材料力学41/96

例7-1：一点处平面应力状态如图所表示。已知

试求（1）斜面上应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。AD§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续25)5.举例:材料力学42/96（一）、图解法

otscdfe解：§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续26)材料力学43/96主应力单元体：§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续27)材料力学44/96

（1）斜面上应力（二）、解析法§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续28)材料力学45/96（2）主应力、主平面

§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续29)材料力学46/96主平面方位：

哪个主应力对应于哪一个主方向，能够采取以下方法：§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续30)材料力学47/96主应力方向：主应力方向：++§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续31)材料力学48/96例7-2：一点处平面应力状态如图所表示。已知

求（1）主应力；（2）绘出主应力单元体。120ºotsCa120ºD解：（1）作应力圆b§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续32)材料力学49/96（2）依据应力圆几何关系确定主应力120ºotsa120ºb半径所以主应力为：§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续33)材料力学50/96（3）绘出主应力单元体。120ºotsa120ºbCDs1s2s2s1§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续34)材料力学51/9612345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：6.梁主应力迹线:§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续35)材料力学52/9621s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0A2D2stA1D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续36)材料力学53/96主拉应力主压应力主应力迹线：

受力物体应力场中各点应力状态主方向连线，即该曲线（主应力轨迹线）上每一点切线都指示着该点主方向。实线表示主拉应力迹线；虚线表示主压应力迹线。

1

3

1

3§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续37)材料力学54/96qxy主应力迹线画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3

3

1§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续38)材料力学55/967.承受内压薄壁容器任意点应力状态ｐxstsｌ（壁厚为t，内直径为d，t<<d，内压为p）§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续42)材料力学56/96Ｄ

ｐπD２４)

Dp(xsｐ§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续43)材料力学57/96ｐｐ×Ｄ×ｌ§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续44)材料力学58/96xstsxsts承受内压薄壁容器任意点应力状态:§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续45)材料力学59/96例7-3.图a所表示为承受内压薄壁容器。为测量容器所承受内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变

t

=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚

=10mm，容器材料

E=210GPa，

=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上正应力表示式；2.计算容器所受内压力。pppxs1smlpODxABy图a§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续46)材料力学60/961、轴向应力:解：容器环向和纵向应力表示式用横截面将容器截开，受力如图b所表示,依据平衡方程：psmsmxD图b§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续47)材料力学61/96用纵截面将容器截开，受力如图c所表示，依据平衡方程：2、环向应力：3、求内压（以应力应变关系求之）

t

m外表面ypststDqdqz图cO§7-2平面应力状态应力分析、主应力(续48)材料力学62/96s2s1xyzs3★空间应力状态（即三向应力状态）：

空间应力圆（三向应力状态应力圆）§7-3空间应力状态概念

材料力学63/96s3s2s1IIIItsIIIs1s2s3§7-3空间应力状态概念(续1)平行于方向截面，其上之应力与

无关，于是由s2、s3可作出应力圆I，同理可做出应力圆Ⅱ、Ⅲ。材料力学64/96s1s2s3IIIIIIs1s2s3ts在-平面内，代表单元体上任意斜截面上应力点，或位于图示三个应力圆圆周上，或位于三个应力圆圆周所包围阴影区域内。§7-3空间应力状态概念(续2)材料力学65/96s2s1'st'IIIIIIs1s2s3t't'''t''tmax=zpypxps1s2s3s2s1s2s3s1s3s2s3s1s3s1s3s2s3s2s1在三组特殊方向面中都有各自面内最大切应力，即：§7-3空间应力状态概念(续3)材料力学66/96★

三向应力状态中：§7-3空间应力状态概念(续4)（作用截面方位与及所指示主方向成正负45°夹角。）材料力学67/96otmax20030050例7-4.平面应力状态作为三向应力状态特例。§7-3空间应力状态概念(续5)材料力学68/96O2005030050§7-3空间应力状态概念(续6)材料力学69/961.各向同性材料广义胡克定律:★单向应力状态下虎克定律横向变形与泊松比（各向同性材料）:--泊松比yx§7-4应力与应变间关系材料力学70/96★三向应力状态广义胡克定律——叠加法++123§7-4应力与应变间关系(续1)材料力学71/96123123§7-4应力与应变间关系(续2)材料力学72/96§7-4应力与应变间关系(续3)312材料力学73/96123§7-4应力与应变间关系(续4)材料力学74/96★分析：①、即②、当时，即为二向应状态：③、当时，即为单向应力状态；即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。§7-4应力与应变间关系(续5)材料力学75/96④、若单元体上作用不是主应力，而是普通应力时，则单元体不但有线变形，而且有角应变。其应力-应变关系为：yxz§7-4应力与应变间关系(续6)材料力学76/96例7-5.

已知一受力构件自由表面上某一点处两个面内主应变分别为:

1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，试求该点处主应力及另一主应变。所以，该点处平面应力状态§7-4应力与应变间关系(续7)材料力学77/96me3342.-=§7-4应力与应变间关系(续8)材料力学78/962、三个弹性常数之间关系：§7-4应力与应变间关系(续9)材料力学79/96例7-6：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转联合作用。为了测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45°方向测出线应变。现测得轴向应变，45°方向应变为。若轴直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。试求:轴向拉力F和扭矩m值。FmmFkuu45°§7-4应力与应变间关系(续10)材料力学80/96解：（1）K点处应力状态分析：在K点取出单元体：K其横截面上应力分量为：（2）计算外力F：由广义胡克定律：§7-4应力与应变间关系(续11)材料力学81/96解得：（3）计算外力偶m：已知式中Ku§7-4应力与应变间关系(续12)材料力学82/96由解得：所以:§7-4应力与应变间关系(续13)材料力学83/963.体积变形（体积应变）：ac13b2变形前单元体体积：变形后单元体体积：§7-4应力与应变间关系(续14)材料力学84/96单位体积变形：（体积应变）利用广义胡克定律：式中：（体积弹性模量）（平均正应力）（体积变形虎克定律）§7-4应力与应变间关系(续15)材料力学85/96★讨论：