2024年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷一、选择题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）计算（﹣3）×（﹣4）的结果是（）A．12 B．﹣12 C．﹣7 D．72．（3分）奥迪一汽新能源汽车有限公司已全面进入预批量生产，预计今年年底实现量产，届时年产能将超过150000辆．将150000这个数用科学记数法表示为（）A．15×104 B．1.5×105 C．1.5×106 D．0.15×1063．（3分）下列图形中，是长方体表面展开图的是（）A． B． C． D．4．（3分）已知正整数a、b满足等式，下列各组数值中符合要求的是（）A．a＝1，b＝1 B．a＝1，b＝2 C．a＝2，b＝2 D．a＝4，b＝25．（3分）用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线6．（3分）如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，它的斜边BQ与半圆交于点C，直角边BP与半圆交于点D．若点C在量角器上的读数为26°（）A．58° B．71° C．103° D．116°7．（3分）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若∠ACB＝130°，CD与地面垂直且CD＝6m，则灯顶A到地面的高度为（）A．（6+1.2sin25°）m B．（6+1.2cos25°）m C． D．8．（3分）如图，点A在函数的图象上的图象上，AB与y轴交于点C，连结AD、BD、CD．若AB∥x轴，则△ACD与△BCD的面积比为（）A． B． C． D．二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：a2﹣9＝．10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．11．（3分）某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台．甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为3万元/台和2万元/台．若购买甲品牌电子白板费用为3（10+x）万元，则购买乙品牌电子白板费用为万元．（用含x的代数式表示）12．（3分）如图，扇形的半径OA＝2，∠AOB＝90°上一点，CD⊥OA，垂足分别为点D、E．若CD＝CE，则图中阴影部分图形的面积为．（结果保留π）13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝2，CD＝10．（写出一个即可）14．（3分）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，喷头上移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，喷头高5m时，水柱落点距O点5m，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为m．三、解答题。（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．16．（6分）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，汽开区教育局鼓励在校内“学校种植园”开展“活动+劳动教育”课程．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，其中正面分别印有黄瓜、辣椒、茄子图案．把这3张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，重新洗匀后，小华再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表），求小明和小华抽出的卡片上的图案都是“黄瓜”的概率．17．（6分）“竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知”．为了使春天来长白山旅游的客人能够买到中华秋沙鸭玩偶，某手工作坊计划制作600个“秋沙鸭”玩偶，实际平均每天完成的数量是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．问原计划平均每天制作多少个玩偶？18．（7分）如图，延长▱ABCD的边AB到点E，使BE＝BC，使DF＝DA，连接AF，求证：四边形AECF是平行四边形．19．（7分）某校为更好地开展安全教育活动，随机抽取了一部分学生进行问卷调查，每名被调查的学生从防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识薄弱项目中选择一项，绘制出两幅不完整的统计图．（1）求这次被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）请估计该校1800名学生中防溺水意识薄弱的学生人数．20．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，M是AB与网格线的交点，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）在图①中，作△DBC，使△DBC与△ABC全等；（2）在图②中，作点M关于BC的对称点N；（3）在图③中，在BC边上找一点E，连结ME21．（8分）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）（0≤x≤12）（1）求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式；（2）求甲、乙两人相距最远时的距离．22．（9分）【感知】如图①，在正方形ABCD内部作等边三角形PBC，连结PA、PD度．【迁移】小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC内的一点，且CD＝AD，求证：∠ABC＝3∠DBC．小明发现，将图②通过作辅助线，变化成和图①类似，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两平行线交于点E∵BE∥AC，CE∥AB，∴四边形ABEC是平行四边形．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴四边形ABEC是正方形．∵DC＝DA，∴∠DCA＝∠DAC．∵四边形ABEC是正方形，∴EC＝AB＝BE，∠ECA＝∠BAC＝∠ABE＝90°．∴∠ECA﹣∠DCA＝∠BAC﹣∠DAC，即∠ECD＝∠BAD．∵CD＝AD，EC＝AB，∴△ECD≌△BAD（SAS）．∴ED＝BD．请你补全余下的证明过程．【拓展】如图③，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3，CD＝2BD，CF⊥AD于点E，则BF的长为．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交边AC或边BC于点Q，点Q不与点C重合．设线段PQ的中点为O，将PQ截△ABC得到的小三角形绕点O旋转180°（1）求BC的长．（2）用含t的代数式表示线段CQ的长．（3）当点Q在边AC上时，连结BM，求线段BM的最小值．（4）在点P运动过程中，直接写出射线CM平分△ABC面积时t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+2经过点（4，2）．点P在这条抛物线上，且点P的横坐标为m，点Q的横坐标为2﹣4m．（1）求该抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标．（2）作以P为圆心、半径长为3的⊙P，当⊙P与x轴相切时，求点P的坐标．（3）当线段PQ被抛物线分成1：2两部分时，求m的值．（4）过点P作PM⊥x轴，点M的纵坐标为m+2，且点M与点P不重合，当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

2024年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）计算（﹣3）×（﹣4）的结果是（）A．12 B．﹣12 C．﹣7 D．7【解答】解：∵（﹣3）×（﹣4）＝12，∴计算（﹣3）×（﹣4）的结果是12．故选：A．2．（3分）奥迪一汽新能源汽车有限公司已全面进入预批量生产，预计今年年底实现量产，届时年产能将超过150000辆．将150000这个数用科学记数法表示为（）A．15×104 B．1.5×105 C．1.5×106 D．0.15×106【解答】解：150000＝1.5×105．故选：B．3．（3分）下列图形中，是长方体表面展开图的是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意知，图形可以折叠成长方体，故选：C．4．（3分）已知正整数a、b满足等式，下列各组数值中符合要求的是（）A．a＝1，b＝1 B．a＝1，b＝2 C．a＝2，b＝2 D．a＝4，b＝2【解答】解：∵当a＝1时，+＝+1，∴选项A，B不符合题意；∵当a＝2时，+＝6，∴选项C符合题意；∵当a＝4时，+＝+8，∴选项D不符合题意，故选：C．5．（3分）用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线【解答】解：根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C．6．（3分）如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，它的斜边BQ与半圆交于点C，直角边BP与半圆交于点D．若点C在量角器上的读数为26°（）A．58° B．71° C．103° D．116°【解答】解：连接OC，OD，∵△PBQ是等腰直角三角形，∠BPQ＝90°，∴∠PBQ＝45°，∴∠COD＝2∠PBQ＝90°，∵点C在量角器上的读数为26°，∴∠AOC＝26°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝116°，∴点D在量角器上的读数为116°，故选：D．7．（3分）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若∠ACB＝130°，CD与地面垂直且CD＝6m，则灯顶A到地面的高度为（）A．（6+1.2sin25°）m B．（6+1.2cos25°）m C． D．【解答】解：连接AB，延长DC交AB于点E，由题意可知：∠ACE＝∠ACB＝65°，在Rt△ACD中，cos∠ACE＝cos65°＝，∴CE＝5.2cos65°（m），∴点A到地面的高度为：CE+CD＝（1.6cos65°+3）m，∵cos65°＝sin25°，∴CE+CD＝（1.3sin25°+6）m，故选：A．8．（3分）如图，点A在函数的图象上的图象上，AB与y轴交于点C，连结AD、BD、CD．若AB∥x轴，则△ACD与△BCD的面积比为（）A． B． C． D．【解答】解：由点A在函数的图象上的图象上，设AB到x轴的距离为m，得AC•m＝4，BC•m＝5，得AC：BC＝2：3，故△ACD与△BCD的面积比＝AC：BC＝3：3．故选：B．二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣7）．10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＜4．【解答】解：由已知得：Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×2×m＝16﹣4m＞0，解得：m＜5．故答案为：m＜4．11．（3分）某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台．甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为3万元/台和2万元/台．若购买甲品牌电子白板费用为3（10+x）万元，则购买乙品牌电子白板费用为2（10﹣x）万元．（用含x的代数式表示）【解答】解：∵甲品牌电子白板的单价为3万元/台，且购买甲品牌电子白板费用为3（10+x）万元，∴购买甲品牌电子白板＝（10+x）台，∵该学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台，∴购买乙品牌电子白板20﹣（10+x）＝（10﹣x）台，又∵乙品牌电子白板的单价为2万元/台，∴购买甲品牌电子白板费用为4（10﹣x）万元．故答案为：2（10﹣x）．12．（3分）如图，扇形的半径OA＝2，∠AOB＝90°上一点，CD⊥OA，垂足分别为点D、E．若CD＝CE，则图中阴影部分图形的面积为．（结果保留π）【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四边形OECD是正方形，∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形BCE＝S△OCE+S半弓形BCE＝S扇形COB＝＝π．故答案为：π．13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝2，CD＝109（答案不唯一，满足8＜BD＜10即可）．（写出一个即可）【解答】解：∵AB＝6，AD＝4，∴4﹣4＜BD＜6+4，即2＜BD＜10，∵BC＝2，CD＝10，∴10﹣3＜BD＜10+2，即8＜BD＜12，联立两个范围，可得，故答案为：3（答案不唯一，满足8＜BD＜10即可）．14．（3分）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，喷头上移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，喷头高5m时，水柱落点距O点5m，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为16m．【解答】解：由题意，在调整喷头高度的过程中，当喷头高5m时，可设y＝ax2+bx+2，将（5，0）代入解析式得出25a+7b+5＝0，整理得5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+8；将（5，0）代入解析式得36a+6b+8＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝．由喷头高为hm时，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，令x＝8，可得﹣2+×8+h＝5，∴h＝16．∴喷头高为16m．故答案为：16．三、解答题。（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．【解答】解：原式＝a2﹣2a+6+a2+2a＝2a2+1，当a＝时，原式＝10+1＝11．16．（6分）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，汽开区教育局鼓励在校内“学校种植园”开展“活动+劳动教育”课程．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，其中正面分别印有黄瓜、辣椒、茄子图案．把这3张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，重新洗匀后，小华再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表），求小明和小华抽出的卡片上的图案都是“黄瓜”的概率．【解答】解：把黄瓜、辣椒、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小华抽出的卡片上的图案都是“黄瓜”的结果有1种，∴小明和小华抽出的卡片上的图案都是“黄瓜”的概率为．17．（6分）“竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知”．为了使春天来长白山旅游的客人能够买到中华秋沙鸭玩偶，某手工作坊计划制作600个“秋沙鸭”玩偶，实际平均每天完成的数量是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．问原计划平均每天制作多少个玩偶？【解答】解：设原计划平均每天制作x个玩偶，则实际平均每天制作1.2x个玩偶，根据题意得：，解得：x＝50，经检验，x＝50是所列方程的解．答：原计划平均每天制作50个玩偶．18．（7分）如图，延长▱ABCD的边AB到点E，使BE＝BC，使DF＝DA，连接AF，求证：四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴CF∥AE，∵BE＝BC，DF＝DA，∴BE＝DF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．19．（7分）某校为更好地开展安全教育活动，随机抽取了一部分学生进行问卷调查，每名被调查的学生从防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识薄弱项目中选择一项，绘制出两幅不完整的统计图．（1）求这次被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）请估计该校1800名学生中防溺水意识薄弱的学生人数．【解答】解：（1）16÷16%＝100（人），答：这次被调查的学生人数为100人；（2）防交通事故意识薄弱的有100×24%＝24（人），补全条形统计图如下：（3）1800×＝144（人），答：估计该校1800名学生中防溺水意识薄弱的学生人数为144人．20．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，M是AB与网格线的交点，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）在图①中，作△DBC，使△DBC与△ABC全等；（2）在图②中，作点M关于BC的对称点N；（3）在图③中，在BC边上找一点E，连结ME【解答】解：（1）如图①，△DBC为所求三角形；（2）如图②，点N为所求；（3）如图③，点E为所求．21．（8分）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）（0≤x≤12）（1）求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式；（2）求甲、乙两人相距最远时的距离．【解答】解：（1）设甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数．将x＝0，y＝3000和x＝12，得，解得，∴甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y＝﹣250x+3000（8≤x≤12）．（2）由图象可知，在0≤x≤9的过程中，甲；在3＜x≤12的过程中，甲，∴当x＝9时，甲、乙两人相距最远．当x＝9时，y＝﹣250×4+3000＝750，1000﹣750＝250（米），∴甲、乙两人相距最远为250米．22．（9分）【感知】如图①，在正方形ABCD内部作等边三角形PBC，连结PA、PD150度．【迁移】小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC内的一点，且CD＝AD，求证：∠ABC＝3∠DBC．小明发现，将图②通过作辅助线，变化成和图①类似，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两平行线交于点E∵BE∥AC，CE∥AB，∴四边形ABEC是平行四边形．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴四边形ABEC是正方形．∵DC＝DA，∴∠DCA＝∠DAC．∵四边形ABEC是正方形，∴EC＝AB＝BE，∠ECA＝∠BAC＝∠ABE＝90°．∴∠ECA﹣∠DCA＝∠BAC﹣∠DAC，即∠ECD＝∠BAD．∵CD＝AD，EC＝AB，∴△ECD≌△BAD（SAS）．∴ED＝BD．请你补全余下的证明过程．【拓展】如图③，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3，CD＝2BD，CF⊥AD于点E，则BF的长为．【解答】解：【感知】∵在正方形ABCD中△PBC是等边三角形，∴PB＝PC＝BC，∴∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∴∠PBA＝∠DCP＝30°，∴△APB≌△DPC（SAS），∴AP＝DP，∵AB＝BC＝BP，∴∠PAB＝∠APB＝75°，∴∠APD＝180°﹣2（90°﹣75°）＝150°．故答案为：150；【探究】∵BD＝BA，∴ED＝BD＝BA，即△EDB是等边三角形．∴∠EBD＝60°∴∠DBA＝90°﹣60°＝30°，∵∠BAC＝90°AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°．∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝45°﹣30°＝15°，∴∠ABC＝3∠DBC．【拓展】过点B作GB⊥BC，再过点A作AG⊥BG，∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴四边形ACBG是正方形，∴AC∥BH，∠ACD＝∠CBH＝90°，∵CH⊥AD，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∵∠ACE+∠BCH＝90°，∴∠CAE＝∠BCH，∴△ACD≌△CBH（AAS），∴CD＝BH，∵CD＝6BD，∴CD＝BC，∴BH＝AC，∵AC∥BH，∴∠CAF＝∠ABH，∠ACF＝∠BHC，∴△ACF∽△BHF，∴，∵AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝6，∴BF＝AB＝，故答案为：．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交边AC或边BC于点Q，点Q不与点C重合．设线段PQ的中点为O，将PQ截△ABC得到的小三角形绕点O旋转180°（1）求BC的长．（2）用含t的代数式表示线段CQ的长．（3）当点Q在边AC上时，连结BM，求线段BM的最小值．（4）在点P运动过程中，直接写出射线CM平分△ABC面积时t的值．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，∴；（2）当点Q在AC上时，当点Q与点A重合时，则t＝0，即CP⊥AB，根据勾股定理可求得AP＝6.7，即0≤t≤1.6时，∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△APQ∽△ACB，∴，∴，∴AQ＝8t，∴CQ＝AC﹣AQ＝8﹣5t；当点Q在BC上时，即3.6＜t≤2.7时，同理可得：△BPQ∽△BCA，∴，∴，∴，∴，综上，线段CQ的长8﹣5t（5≤t≤1.6）或；（3）解：过点M作MN⊥AB于N，如图，由旋转可得：∠PQM＝∠APQ＝90°，MQ＝AP＝4t，∵∠MNP＝∠NPQ＝90°∴四边形PQMN为矩形，∴PN＝MQ＝5t，MN＝PQ，∴BN＝AB﹣AP﹣PN＝10﹣8t，由（2）知：△APQ∽△ACB，∴，∴，∴PQ＝3t