324528598、微专题：对教材例题“tanA tanB tanC=tanAtanBtanC”的理解与拓展-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：对教材例题“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解与拓展而数学教材是教学的重要资源，数学教材中的每一个例习题都是经过“千锤百炼”的，有很高的教育价值。从近年来的数学高考试题看，多数题目可在现行课本中找到原型，或是课本例习题的变式题，或是源于课本并适度拓展的引伸题。本文，欲以数学教材中的例（习）题为例，通过理解性的证明，依据推导方法与过程进行拓展；然后，寻找、挖掘与其它知识的交汇点，不断深化。一、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解例1、若△不是直角三角形，求证：；提示：本题的证明视角1：可以考虑“化切为弦”；视角2：结合题设△内角关系与待证式的结构与两角和差的正切公式进行比较；证明：方法1：方法2：【说明】本题（沪教版高中数学必修第二册，第30页例8；苏教版高中数学必修4，第116页例4；人教B版上的习题）；主要依据题设中“角之间的等量关系”，结合两角和差公式进行推导论证；但是，结论非常具有特色“三数和”等于“三数积”；所以，本题是“课本例习题”拓展、深化的极佳素材。二、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的拓展借鉴以上的方法2：由，由此，得命题（*）：当、、都不等于时，等式成立的充要条件是：；教材是面向全体高中生又受到教学课时数与教材结构体系的限制，例习题往往是特殊情况或典型示例；稍加推广、拓展或依据充要条件“交换：条件与结论”；往往就成了“源于教材，又高于教材”的“鲜活”与综合的高考试题。三、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的深化现不妨以此命题（*）为基础，通过例析与三角、函数、向量等知识的交汇与整合的试题，体验该命题的深化与相关试题的解题策略。例2、在锐角△中，求证：。【说明】本题主要考查模仿例1，在“保证：正切三角比有意义的前提下”，利用三角形内角和的“等量关系”与“两角和差正切公式”推导得到；同法，还可以可得出以下结论：（1）；（2）；例3、在△中，若，试判断△的形状；例4、在锐角三角形中，若，则的最小值是【说明】本题（2016年江苏卷数学高考试题第14题）说明消元与降次是高中数学三角变换中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口例5、在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则的最大值为_________【教师版版】微专题：对教材例题“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解与拓展而数学教材是教学的重要资源，数学教材中的每一个例习题都是经过“千锤百炼”的，有很高的教育价值。从近年来的数学高考试题看，多数题目可在现行课本中找到原型，或是课本例习题的变式题，或是源于课本并适度拓展的引伸题。本文，欲以数学教材中的例（习）题为例，通过理解性的证明，依据推导方法与过程进行拓展；然后，寻找、挖掘与其它知识的交汇点，不断深化。一、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解例1、若△不是直角三角形，求证：；提示：本题的证明视角1：可以考虑“化切为弦”；视角2：结合题设△内角关系与待证式的结构与两角和差的正切公式进行比较；证明：方法1：在不是直角三角形的△中，有，则，，；左边=右边，所以，；方法2：在不是直角三角形的△中，有，则，且、、都不等于，所以，有，即，即，所以，成立；【说明】本题（沪教版高中数学必修第二册，第30页例8；苏教版高中数学必修4，第116页例4；人教B版上的习题）；主要依据题设中“角之间的等量关系”，结合两角和差公式进行推导论证；但是，结论非常具有特色“三数和”等于“三数积”；所以，本题是“课本例习题”拓展、深化的极佳素材。二、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的拓展借鉴以上的方法2：由，（当、、都不等于时）（其中）（其中）；由此，得命题（*）：当、、都不等于时，等式成立的充要条件是：；教材是面向全体高中生又受到教学课时数与教材结构体系的限制，例习题往往是特殊情况或典型示例；稍加推广、拓展或依据充要条件“交换：条件与结论”；往往就成了“源于教材，又高于教材”的“鲜活”与综合的高考试题。三、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的深化现不妨以此命题（*）为基础，通过例析与三角、函数、向量等知识的交汇与整合的试题，体验该命题的深化与相关试题的解题策略。例2、在锐角△中，求证：。提示：注意△中，内角和，并模仿“例1”的证明方法；解析：在△中，内角和，则有，左边右边，所以原式成立；【说明】本题主要考查模仿例1，在“保证：正切三角比有意义的前提下”，利用三角形内角和的“等量关系”与“两角和差正切公式”推导得到；同法，还可以可得出以下结论：（1）；（2）；例3、在△中，若，试判断△的形状；提示：注意结合命题（*）实现转化；解析：由已知、、都不等于，且可以推得：，再由已知，经转化，得，若三角形有一个为钝角，必有一个值为负值，，若三角形有一个为直角，则无意义，所以，由推得三个角都为锐角，则△为锐角三角形；【说明】本题主要是利用命题（*）的推导思路或结论进行转化，然后结合解三角形的方法解之。例4、在锐角三角形中，若，则的最小值是提示：注意由题设并结合命题（*）实现转化，与最值进行交汇；解析：【答案】8；由，又利用“例1”；两者结合，得即，其中，等号当且仅当时，即，且时成立；【说明】本题（2016年江苏卷数学高考试题第14题）说明消元与降次是高中数学三角变换中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口与斜三角形中恒有是解决本题“最值问题”的“切入点”。例5、在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则的最大值为_________提示：注意由已知，应用两角和的正弦公式和诱导公式得，结合正弦定理可求得，从而可得，利用两角和的正切公式与基本不等式可得的最小值，从而得题设结论；解析：【答案】；由得，所以，所以，所以，，即，则，再由锐角三角形，则与“例1”，得，所以，