解密19 随机变量及分布（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密19随机变量及分布列随机变量及其分布概率是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型、随机变量及其分布等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，且多为古典概型、随机变量及其分布与茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查．2021年新高考全国Ⅰ182020新课标全国Ⅰ19★★★★古典概型与统计交汇考查2020课标全国Ⅲ3★★随机变量及其分布与统计交汇考查2021年新高考II212019课标全国Ⅰ21★★★知识点1:随机变量及其分布列1.离散型随机变量与分布列1.随机变量:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点,都有唯一的实数与之对应,我们称为随机变量.离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量.2.离散型随机变量分布列的概念及性质概念:若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值,n)的概率,以表格的形式表示如下:此表称为离散型随机变量的概率分布列,简称为的分布列.有时也用等式,表示的分布列.(2)分布列的性质①;②.知识点2离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的均值一般地,若离散型随机变量的分布列为:则称为随机变量的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(1)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X是可变的,可取不同值,而E(X)是不变的,它描述取值的平均状态.(2)E直接给出了的求法,即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.离散型随机变量的方差一般地,若离散型随机变量的分布列为:为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度.称为随机变量的方差,并称其算术平方根为随机变量的标准差.特点:随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大,表明平均偏离程度越大,的取值越分散.反之,越小,的取值越集中在附近.3.常用结论若,其中a,b是常数,是随机变量,则(1),其中为常数;(2);(3);(4);(5)若相互独立,则.例题1．已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的和为（）A．6 B．15 C．19 D．22【答案】C【分析】由题，则，，所以.故选：C.例题2．设，随机变量的分布01则当在内增大时，（）A．增大，增大 B．增大，减小C．减小，增大 D．减小，减小【答案】D【分析】因为分布列中概率之和为1，可得，∴，∴当增大时，减小，又由，可知当在内增大时，减小.故选：D.例题3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】：依题意知，的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，故．故选：B例题4．2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红色小球､2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球､2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球､3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.（1）若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；（2）若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.【答案】（1）（2）选择方案二更划算【分析】：根据题意得要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，设没有抽出红色小球为事件，则，所以所求概率；（2）：若选择方案一，则需付款（元），若选择方案二，设付款金额为元，则可取6000，7000，8000，10000，，，，，故的分布列为X60007000800010000P所以（元），因为，所以选择方案二更划算.例题5．为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的10名队员来自高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行9场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军．积分规则如下：每场比赛以3：0或3：1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛以3：2获胜的队员积2分，落败的队员积1分．（1）已知冠亚军来自同一年级的条件下，求冠亚军来自高二年级的概率；（2）已知最后一场比赛的两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜的概率均为．记这场比赛甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为.【分析】（1）已知冠亚军来自同一年级的条件下，冠亚军来自高二年级的概率是（或）．（2）由题可知X的所有可能取值为3，2，1，0．；；；．∴X的概率分布为X3210P∴.考点二:二项分布1.独立重复试验一般地,在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.独立重复试验的条件:(1)每次试验在相同条件下可重复进行;(2)各次试验是相互独立的;(3)每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.2.二项分布一般地,在次独立重复试验中,设事件发生的次数为,在每次试验中事件发生的概率为,则事件恰好发生次的概率为,则称随机变量服从二项分布,记作.注意:判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点:(1)是否为次独立重复试验;(2)随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数.3.二项分布的期望与方差分布期望方差二项分布例题1．已知随机变量服从二项分布，当时，的最大值是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】：因为随机变量服从二项分布，所以，所以，，，，∴，故选：B．例题2．下列说法错误的是（）A．用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好B．已知随机变量，若，则C．某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量．则D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大【答案】A【分析】对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，故A错；对于B选项，正态分布图像关于对称，因为概率为，所以概率为，故的概率为，故B正确；对于C选项，服从二项分布，因此，则，故C正确；对于D选项，对于分类变量进行独立性检验时，随机变量的观测值越小，则分类变量间越有关系的可信度越小，故判定两分类变量约有关系发错误的概率越大，故D正确．故选:A例题3．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】服从正态分布，且，，即每个零件合格的概率为合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．合格零件个数为零个或一个的概率为，由，得，令，，单调递减，又，，不等式的解集为的最小值为故选：C.例题4．、是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由只小白鼠组成，其中只服用，另只服用，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用有效的小白鼠的只数比服用有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用有效的概率为，服用有效的概率为．（1）求一个试验组为优类组的概率；（2）观察个试验组，用表示这个试验组中优类组的个数，求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，期望为【分析】（1）：设表示事件“一个试验组中，服用有效的小白鼠有只”，其中、、，表示事件“一个试验组中，服用有效的小白鼠有只”，其中、、，依题意有：，，．，，，则一个试验组为优类组的概率为：．（2）：由题意可知，，，，，则的分布列为：P的期望为．例题5．“双践”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：每周参加活动天数课后服务活动1天2~4天5天仅参加学业辅导10人11人4人仅参加体育锻炼5人12人1人仅参加实践能力创新培养3人12人1人（1）从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；（2）从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；（3）老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．【答案】（1）（2）分布列祥见解析、数学期望（3）【分析】（1）由题意得，样本中仅参加某一类课后服务的学生共有（人）又样本中未参加任何课后服务的有14人，故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有（人）则从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的频率为由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率（2）样本中，上个月仅参加学业辅导的有（人），对应频率为0.25以频率估计概率，从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为0.25，X的可能取值为0，1，2，3，X的分布列为X0123PX的数学期望（3）由题意可知随机变量X服从二项分布，故.又知：上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导（样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．），则本月从全校学生中随机抽取1人仅参加学业辅导的概率估计为P，且.以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，由题意可知随机变量Y服从二项分布，故,.例题6．新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.（1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价成本）；（2）某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益.求当时，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.【答案】（1）B类服装单件收益的期望更高（2）n可取的最大值为3，（元）【分析】（1）设A类服装､B类服装的单件收益分别为X1元，X2元，则，，，故B类服装单件收益的期望更高；（2）由题意可知，，，，，，.因为，，所以当时，n可取的最大值为3.（元），因为，所以（元）.考点三:超几何分布1.定义一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为.其中.如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布.若随机变量服从超几何分布,则其均值2.超几何分布的分布列01m例题1．下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为【答案】B【分析】：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.故选：B.例题2．新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】设小王正确完成的面试题数为，则的可能取值为1，2，3．；；．∴．故选：B．另解：设小王正确完成的面试题数为，则，∴．故选：B．例题3．中国的景观旅游资源相当丰富，5A级为中国旅游景区最高等级，代表着中国世界级精品的旅游风景区等级．某地7个旅游景区中有3个景区是5A级景区，现从中任意选3个景区，下列事件中概率等于的是（）A．至少有1个5A级景区 B．有1个或2个5A级景区C．有2个或3个5A级景区 D．恰有2个5A级景区【答案】B【分析】用X表示这3个旅游景区中5A级景区的个数，则X服从超几何分布，且，，，，所以，即有1个或2个5A级景区的概率为．故选：B．例题4．在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中为一级果，为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：（1）由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）这批采摘的脐橙按2个特级果和n（，且）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为，求函数的最大值，及取最大值时n的值．参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．【答案】（1）（2）①；②；【分析】（1）由分布图：则，在内为优品则（2）①②，且，因为，且，由对勾函数知识可知：在上单调递减，当时，，所以，因为，且当时，，当时，，当时，，∴最大值在时取得，可求得或，因为，所以，求得例题5．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验．为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数4060608040高三体验人数1550407530（1）从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；（2）通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况，现随机选择3项传统艺术活动，设选择的3项活动中体验人数超过该校学生人数50%的有项，求的分布列和数学期望；（3）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈．设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，写出的大小关系．【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为（3）【分析】（1）由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，设事件A为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，故所求概率为；（2）由题意知，体验人数超过该校学生人数50%的传统艺术活动有古琴、汉服、戏曲3项，的所有可能值为1，2，3，，，，所以的分布列为：123故的数学期望；（3）由题可知，，，，，，故．考点四分布列的综合应用例题1．某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量表示该游客游览的景点的个数，则下列判断不正确的是（）A．游客至多游览一个景点的概率是 B．C． D．【答案】A【分析】记该游客游览个景点为事件，，则，，所以游客至多游览一个景点的概率为，故A错误；随机变量的可能取值为，，，故B正确；，，故C正确；数学期望为：，故D正确，故选：A例题2．交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过两段路，若已知路段共要过个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，在路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，记段线路中第个交通岗遇到红灯的概率为.（1）求该司机在路段的行驶过程中遇到红灯次数的分布列与期望；（2）①求该司机在路段行驶过程中第个交通岗遇到红灯的概率的通项公式；②试判断在最后离开路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于，还是小于，请用数据说明.【答案】（1）分布列见解析，（2）①；②小于，理由见解析【分析】（1）由题可知X的取值可能为且易知，且，所以所以的分布列为1234；（2）①由题可知，即又因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即；②由①可知，，所以最后一个交通岗遇到红灯的概率小于.例题3．元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛初赛阶段有个人晋级赛和团体对决赛．个人晋级赛为“信息连线”题每位参赛者只有一次挑战机会比赛规则为：电脑随机绐出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级．团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于30人，且参赛人数为偶数为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功，参赛方式有如下两种各班可自主选择其中之一参赛．方式一：将班级团队选派的个人平均分成n组，每组2人电脑随机分配给同一组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功．若这n个小组都闯关成功，则该班级团队挑战成功．方式二：将班级团队选派的个人平均分成2组，每组n人电脑随机分配给同一组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组闯关成功．若这2个小组至少有一个小组闯关成功则该班级团队挑战成功．（1）甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率；（2）在团体对决赛中，假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由．【答案】（1）（2）方式一参赛，理由见解析【分析】（1）设甲同学正确配对3对为事件A，正确配对5对为事件B，甲同学能晋级为事件C，则，且A，B互斥．因为甲同学只有一组能正确配对，其余四组都随机配对，则，．从而，所以甲同学能晋级的概率为．（2）设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为．当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为，则两人中至少有一人回答正确的概率为，所以．当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为，则一个小组闯关不成功的概率为，所以．所以．设，则．因为，则，从而，所以，即，所以单调递增．因为，而，所以，从而，即，所以为使本班挑战