第6讲 多变量问题 讲义-2022届高三数学二轮复习专题

第6讲函数中的多变量问题一、学习目标学会多变量问题的处理策略；体会单变量思想的运用.典例分析例1．已知函数，证明：当时，．【答案】当时，．令，则，，由于于是在递减；在递增；所以．因此．变式：已知函数．当时，求证：．【答案】要证，只需证．①当时，，，，显然成立．②当时，，，由可得，，于是原问题可转化为，即证．令，则，令，则，易知在上递增，又，，所以存在使得，且在上递减，在上递增，又，，故当在上递减，上递增所以当时，，即．例2．已知函数，.若对任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】对任意，都有成立，从而对，，从而在递减，递增，.又，则.下证当时，在恒成立.，即证即可.变式：已知函数，，其中．若对任意都有≥成立，求实数的取值范围．【答案】原问题等价于对任意x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max.当x∈[1，e]时，g′(x)＝1＋＞0.∴函数g(x)＝x＋lnx在[1，e]上是增函数，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1.∵f′(x)＝1－＝，且x∈[1，e]，a＞0.①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，f′(x)＝＞0，∴函数f(x)＝x＋在[1，e]上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a2.由1＋a2≥e＋1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意．②当1≤a≤e时，若1≤x≤a，则f′(x)＝＜0，若a＜x≤e，则f′(x)＝＞0.∴函数f(x)＝x＋在[1，a)上是减函数，在(a，e]上是增函数．∴f(x)min＝f(a)＝2a.由2a≥e＋1，得a≥.又1≤a≤e，∴≤a≤e.③当a＞e且x∈[1，e]时f′(x)＝＜0，函数f(x)＝x＋在[1，e]上递减∴f(x)min＝f(e)＝e＋.由e＋≥e＋1，得a≥，又a＞e，∴a＞e.综上所述，a的取值范围为[，＋∞)．例3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【答案】（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在递减，在递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在递减，又，从而当时，.所以，即.变式：已知函数，．若函数有两个极值点与，且，证明：．【答案】因为，则，，，所以；因此，令，，则，令，，则在上显然恒成立，所以在上递增，则；所以，即，又，则，因此，所以．例4.设函数在上有极值.（1）求实数的取值范围；（2）若，，求证：【答案】（1）；在内递增，在内递减，在递增，由得，由得，所以，因为，，所以令，，通过导数容易证明，故.变式：已知函数，.若函数有两个极值点与，且，求的取值范围.【答案】因为，所以，是的两根，即，故，所以，因为，令，所以在递增，故，故的取值范围是.例5．已知函数有两个零点.（1）求的取值范围；（2）设，是的两个零点，证明：.【答案】（1）若，则，只有一个零点．若，则所以在递减，在递增．又，，取满足且，则，故存在两个零点．设，由得或．若，则，故当时，，因此在递增．又当时，所以不存在两个零点．若，则，故当时，；当时，．因此在递减，在递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．（2）不妨设，由（1）知，，在递减，所以等价于，即．由于，而，所以．设，则．所以当时，，而，故当时，．从而，故．变式：已知函数有两个不同的零点，.（1）求实数的取值范围；（2）求证：．【答案】，当时，在上递增，函数至多有一个零点，不合题意，当时，令，得，在时递减，在递增，故当时，函数取得最小值，当时，，，函数无零点，不合题意，当时，，，函数仅有一个零点，不合题意，当时，，，又，所以在上只有一个零点，令，则，故在时递增，在时递减，所以，即，所以，所以，又，所以在上只有一个零点．所以满足题意．不妨设，则，，令，则，，当时，，所以在上单调递减，所以当时，，即，因为，所以，所以，又，，且在上单调递增，所以，故得证．例5.已知，函数，其中为自然对数的底数.(1)判断函数的单调性；(2)若是函数的两个极值点，证明：.【答案】(1)当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增.(2)由条件知，是方程的两根，设，则，，要证明，即证，即证，即证，令，则，即证，即证，令，，所以在上单调递增，所以，故结论成立.变式：已知函数既有极大值，又有极小值.（1）求实数的取值范围；（2）记为函数的极小值点，实数且，证明：.【答案】（1）①当时，递增，不存在2个零点，故舍去；②当时，令，则，所以在递增，在递减，所以，解得.下证，当时，函数既有极大值，又有极小值.由得，存在使，由，又由于恒成立，故存在使，0+0单减极小值单增极大值单减函数既有极大值，又有极小值，故；（2）由（1）可知函数在，，单调递减，在，单调递增，实数且，故要证即证，即．因为，所以只要证．因为得，令，即证当时，．设，因为，所以在，上递增，故（1），因此在，上递增，故当时，（1）．综上，．三、课外作业1．已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：．【答案】f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）递增，g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得，所以在上递增，在上递减，所以是g（x）的极大值点，则，解得；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以，从而f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减．所以，所以．2．设函数有两个极值点，且（2）求的取值范围，并讨论的单调性；（2）证明：.【答案】（1）因为，设，依题意知得，所以的取值范围是所以递增区间为和，递减区间，其中，，且.（2）证明：由（1）知，设，所以在递减，所以，即.3．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数