高等数学习题与部分参考答案

第1章函数、极限与连续

1.1函数

一、是非题

1.丁=4^与丁=》相同：（）

*2.y=（2*+2-*）ln（x+Jl+Y）是奇函数;（）

3.凡是分段表示的函数都不是初等函数；（）

4.y=/（X>0）是偶函数；（）

5.两个单调增函数之和仍为单调增函数；（）

6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个：（）

7.复合函数〃g（x）］的定义域即g（x）的定义域；（）

8.y=/（x）在（a,6）内处处有定义，则/（x）在（a,6）内一定有界。（）

二、填空题

1.函数y=/（x）与其反函数y=双幻的图形关于对称；

2.若/")的定义域是[0,1],则/(x2+l)的定义域是；

2X

*3.y=-----的反函数是；

2,+1

*4./(x)=x+l,,x)=I,则/必x)+l]=.(p[f{x)+1]=

\+x

5.y=log2(sinx+2)是由简单函数和复合而成；

6.f(x)=x2+1,°(x)=sin2x,则f(0)=，/(—)=

a

f[(p(x)]=_____________o

三、选择题

1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（)

A、sin3xB、d+iC>x3+xD、x，-x

*2.设/(幻=4/+人%+5,若/(x+1)—/(x)=8x+3,则人应为()

A、1B、-1C、2D、-2

3./(x)=sin(x2—幻是()

A、有界函数B、周期函数

C、奇函数D、偶函数

四、计算下列各题

,----3—2尤

1.求定义域y=x+arcsin----

2.求下列函数的定义域

⑴y=Jx?-4x+3(2)y=+----

1

(3)y=lg(x+2)+l(4)y=Igsinx

*3.设/(x)=/,g(x)=e)求〃g(x)],g"(x)]J"(x)],g[g(x)]；

4.判断下列函数的奇偶性

⑵/(x)=(京

(1)/(%)=x-3

*(3)/(x)=1g(4)/(%)=xsinx

1-x

5.写出下列函数的复合过程

(l)y=sin3(8x+5)(2)y-tan(V-X2+5)

⑶y=2i(4)y=lg(3-x)

\x\,\x\<l,1火一；)，板一2)，并作出函数y

6.设9(%)=<o,国之i.求a?,°(幻的图形。

1.2极限

一、是非题

1.在数列｛/｝中任意去掉或增加有限项，不影响｛%｝的极限:)

2.若数列｛a,“｝的极限存在，则｛““｝的极限必存在:()

*3.若数列｛招｝和｛>,｝都发散，则数列卜”+以｝也发散；（）

*4.若lim(N“”)=0,则必有limu”=0或lim=0。()

n—xx>n—>oo"―>8

5.若lim/(%)=A,则/(x0)=A；()

o

6.已知/（%）不存在，但Umf（x）有可能存在;()

7.若f（x0+0）与-与都存在,则lim/（x）必存在;()

8.limarctanx=—；（）

X->OO2

9.lim/=0；（）

x—>-00

10.非常小的数是无穷小；（）

11.零是无穷小；（）

12.无限变小的变量称为无穷小；（）

13.无限个无穷小的和还是无穷小。（）

二、填空题

1.lim(J〃+1-y/n)=

.n7i

sin——

2.lim——匚

〃一>8n

*3.

4.lim—=

〃T83〃

5.lim(2x-l)

XTl

6.lim—

x*1+X

7.limcosx=,limcosx=

x->0x-xo

ex,x<Q

*8.设/(》)=1',则/(0+0)=___________J(0-0)=___________,当

ax+b,x>0

h-_____时，limf(x)=1o

x-»0

9.设y=」一，当xf___时，y是无穷小量，当xf_____时，y是无穷大量；

x+1

10.设a(x)是无穷小量，E(x)是有界变量，则e(x)E(x)为；

11.Um/(x)=A的充分必要条件是当xf/时，A为

X-»Xo

*12.1imxsin—=_

XT0X

三、选择题

1.已知下列四数列:

23〃一1

；④、Z=(一1产

①、xn=2；②、x„=③、

3〃+13〃+13〃+1

则其中收敛的数列为()

A、①B、①②C、①④D、①②③

2.已知下列四数列：

②、。，；，。击。击…,。击…

①、1,一1,1,一1,…，(一I)",…

与13141n+2

③、一，一，一，一，④、1,2,

2233'〃+1'〃+1'

则其中发散的数列为()

A、①B、①④C、①③④D、②④

?代鬻则必有

*3・X”=<)

JQ7〃为偶数

7

A、limxn=0B>limxn=10-

rt—>00

0,〃为奇数j

C、hmx“={1)、hmx“不存在

fo[10,〃为偶数

4.从limf(x)=1不能推出()

xf0

A、limf(x)-1B、/(x0+0)=1

XT%一

D、lim【/(%)—D=0

c、/(Xo)=l

Ijd+1,xH0

5.设/(x)=41,则的值为()

2,x=0x->o

A、0B、1C、2D、不存在

6.当X-1时，下列变量中是无穷小的是()

A、x3-1B、sinxC、exD、ln(x+l)

*7.下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是()

—,(X—>+00)B、Inx(x->+oo)

V%3+1

C^In%(%—>0+0)

8.若limf(x)=8,limg(x)=oo,则下列极限成立的是()

A、lim"(x)+g(x)]=coB、lim"(x)+g(x)]=O

C、lim-----------=ooD、limf(x)g(x)=oo

—&/(X)+g(X)

9.以下命题正确的是()

A、无界变量一定是无穷大

B、无穷大一定是无界变量

C、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增

D、不趋于无穷大的变量必有界

*10.limex

A、等于0B、等于+8C、等于1D、不存在

四、设/(x)=^—，回答下列问题：

1.函数/(x)在x=0处的左、右极限是否存在？

2.函数/(幻在x=0处是否有极限？为什么？

3.函数/(x)在x=l处是否有极限？为什么？

五、下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？

1+x/、八3x—1/八、

1.——(x—°o)；2.------(x—>0)；

xx

£

3.问小％-0)；4.ex(x—>0)

六、当Xf+8时，下列哪个无穷小与无穷小L是同阶无穷小？哪个无穷小与无穷小L是等

XX

价无穷小？哪个无穷小是比无穷小L高阶的无穷小？

X

—，2.——,3.

2xx~pj

1.3极限的运算

一、是非题

1.在某过程中，若/(%)有极限，g5)无极限，则y(x)+g(x)无极限；()

2.在某过程中，若/(x),g(x)均无极限，则f(x)+g(x)无极限；()

3.在某过程中，若/(x)有极限，g(x)无极限，则/(x)g(x)无极限；()

4.在某过程中，若/(x),g(x)均无极限，则/(x)g(x)无极限；()

5.若limf(x)=A,limg(x)=0,则hi必不存在;()

•IfoXf%IX。g(x)

r1+2+3+•••+〃[.1「2].n八

6.lim---------------=lim—+lim—++—=0；()

n—KOn—>oo几〜n—>oc〃foo

*7.limxsin—=limx-limsin—=0；()

xf°X工―°X

*8.1im(x2-3x)=limx2-31imx=oo-oo=0；()

X->00X—>CO

sinx

9.lim=1；()

xf8x

10.1iin(l--)A=eo()

x—%

二、计算下列极限

1.lim与里2.limj-1-

XnX~+152x-x-1

2x?+x+1

3.lim----------4.；

e3x'+121+x

x3+2x23

5.1im6.1im(—不);

XT2(X—2)2Xf11_x\-x

1+2+3H----F(n-1)

7.lim(dx~+x+l-J尸—x+1)；8.lim

XT8n—n2

(2X-1)300(3X-2)200「2xsinx1

*9.lim*10.lim.arctan—；

X—KC(2x+1)500…Vl+x2x

2

sinx+3x

11.lim12.lim(l-3x)A；

xf。tanx+2xXf0

X

13.lim2〃sin—(x*0)；14.lim(xsin—+—sinx)；

n—>oc2"xx

tanx-sinx,「X+1y

*15.1im------；----；*16.lim(z-----)；

x->0y3xtsx+2

厂4-GX+h

*三、已知lim—--=1,求常数。与人的值。

I1-X

X

*四、已知lim(——尸=2,求c。

X*x-c

*五、证明：当x-0时，tan2x~2x,l-cosx~—x2o

2

1.4函数的连续性

一、是非题

*1.若/(1)，g(x)在点X。处均不连续，则/(x)+g(x)在点X。处亦不连续；()

*2.若/(x)在点处连续，g(x)在点/处不连续，则/(x)g(x)在点X。处必不连续;

()

*3.若/(x)与g(x)在点X。处均不连续，则/(x)g(x)在点4处亦不连续；()

4.y=W在x=0处不连续；（）

5.7（x）在X。处连续当且仅当/（x）在人处既左连续又右连续；（）

6.设y=/（x）在①/）内连续，则/*）在（a,切内必有界；（）

7.设y=/（x）在［a,。］上连续，且无零点，则/（幻在［凡句上恒为正或恒为负；（）

TT37rJr37r

*8.tan--tan—=-1<0,所以tanx=0在（一,一）内有限。）

4444

二、填空题

sinX

*l.x=0是函数的类_________型间断点；

*2.x=0是函数e'G的类型间断点；

*3.设/（©=,111（1一幻，若定义/（0）=,则/（x）在x=0处连续;

X

tanax

*4.若函数/（外二（二—XH0

在x=0处连续，则a等于____________

x=0

2,

5./（x）=---的连续区间是；

In（x-l）

6.arctaar在［0,+oo）上的最大值为,最小值为

7.函数丁=X2+尤-2,当x=l,Ax=0.5时，Ay=；当x=l,Ar=-0.5时,

Ay=。

三、选择题

1

einrpx

*1.函数/（工）=把上+'在（—8,+8）内间断点的个数为（）；

X1-x

A、0B、1C、2D、3

2./3+0）=/（。-0）是函数/（幻在工=。处连续的（）；

A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件

3.方程/-3》+1=0在区间（0,1）内（）

A、无实根B、有唯一实根C、有两个实根D、有三个实根

*四、要使/（幻连续，常数a,8各应取何值?

*五、指出下列函数的间断点，并指明是哪一类型间断点。

\_

1"工

2.f(x)=ex

1

x<—1,

苍x丰1x+1

3./(幻=<14J(X)={X,

1

I5'X=(x-l)sinX>1.

六、求下列极限

21膏可

l.limIn(婷+国)；1m

%T111IJx-2—四

一.log„（l+3x）,2'-1

*3.1im——-------；4.lim—：---。

X->0XXT。--

2V+1

七、证明方程4x—2'二。在（（）,工）内至少有一个实根。

2

%2—1,0<x<11

八、设/（幻=1'，试判定/Xx）在尤=±,x=l,x=2处的连续性，并求出

x+1,X>12

连续区间。

第1章复习题

一、填空题

x+1Ixlv2

1.设/（x）=《’11，则/（x+1）的定义域为___________;

1,2<x<3

2.函数/(%)=«+ln(3-x)在连续;

*3.lim(12sin士+S^^~)=___________________；

xfOX"X

4.1im(l+与=________________；

Xf8X

12

5.设f(x)在x=l处连续，且/(I)=3,则lim/(x)(-----------)=___________

fx-1x-1

*6.x=0是函数/(x)=xsin—的间断点；

x

X-X

7寸(玲=、:,的间断点是,其中可去间断点是

W(%2-i)

，跳跃间断点是_______________

二、选择题

l.y=/+I,XG(-8,0]的反函数是()；

A、y=y/x-l,xG[l,+00)B、y~-4x-1,xefO,+oo)

C、y=-vx-1,xefl,+«o)D、y=yjx-\,xG[1,+«>)

2.当x->8时，下列函数中有极限的是();

.1x+1

A,sinxB、一C、—---D、arctaax

e*x2-l

x40,

*3./(x)=<1在点x=0不连续是因为()；

x>Q

lx

A、/(O—0)不存在B、/(O+O)不存在

C./(0+0)^/(0)D、/(O-O)9^/(0)

*4.iS/(x)=x2+arccot—―.则x=l是/(x)的()；

x-1

A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点

cosx-1,x<0..

*5.设/(x)=1，则％=0是Bm/(x)存在的()；

k,x>0o

A、充分但非必要条件B、必要但非充分条件

C、充分必要条件D、无关条件

6.当时,，a和夕(工0)都是无穷小。当X—与时，下列变量中可能不是无穷小的

是（）；

a

A、a+[3B、a-pC、a・BD、

o11

*7.当〃->8时，若sin?—与是等价无穷小，贝|J%=（）；

nn

1

A、2B、一C、1D,3

2

*8.当x-0时，下列函数中为x的高阶无穷小的是（）；

A、1—cosxB、x+x2C、sinxD、4x

9.当〃一>8时，"sin!是（）；

n

A、无穷大量B,无穷小量C、无界变量D、有界变量

10.方程/+°龙+1=0（0>0）的实根个数是（）:

A、一个B、二个C、三个D、零个

*11.当x-0时，(1-cosx)2是sin?x的()；

A、高阶无穷小B、同阶无穷小，但不等价

C、低阶无穷小D、等价无穷小

*12.设limG+D?"匕=则q的值为（）.

…（x2+1产

A、1B、2C、我D、A、B、C均不对

三、求下列函数的极限

J2x+1-3c..sin(x-l)

l.lim---=------；2.1im—------

34Vx-2x+x-2

sinx3

*3.lim("，二；*4.lim

za厂+1x->0(sinx)3

..J1+X-J1-Xx+3

*5.1im----------------；*6.lim(sinx+2)

x->°sin3xX—>ocx1-x

sin有

*7.lim8.lim--------

xfax-a—4(x-l)

x3X25"+(-2)”

9.1im()；10.lim—

X—>002x~—12x+1向+(_2严

/+一1-4-4-

*四、设lim^~~―—^-—=b(常数)，求a,b°

K"X+1

五、证明下列方程在(0,1)之间均有一实根。

1.x5+x3=1；2.e~x-x；3.arctanx=1-x；

*六、设/(幻在［。向上连续，且。</(%)</?,证明在①⑼内至少有一点J使/《)=3

3x,-1<x<1,

七、设/(x)=<2,x=1,求lim/(x),lirn_/(%)。

x-*0xf1x-^41

3尸，1<x<2.

ln(l-x)

x>0,

x

*八、设fM=<-1,X=0,讨论/(x)在x=0处的连续性。

|sin.r|

x<0.

x

九、证明方程x=2sinx+l至少有一个小于3的正根。

参考答案或提示

第1章

习题1.1

一、1.非；2.是；3.非；4.非;5.是；6.是；7.非；8.非。

二、1.轴；2.；3.；4.与；5.、；6.1,。

二、1.C；2.B；3.Ao

四、1.；2.(1)(2)(3)(4)；

3.；4.(1)奇(2)非奇非偶(3)奇(4)偶；5.(1)(2)(3)(4)；6..

习题1.2

一、1.；是2.非；3.非；4.非;5.非；6.是；7.非；8.非；9.是；10.非；11.是；12.非；13.非。

二、1.0；2.0；3.4；4.0；5.1；6.0；7.1,不存在；8.11,1；9.；10.无穷小；二无穷小;

12.0。

三、l.D；2.C；3.D；4.C；5.B；6.A；7.D；8.D；9.B；1O.D»

四、1.;2.无极限，因；3.。

五、1.无穷小；2.无穷大；3.无穷大()；4.既不是无穷小也不是无穷大。

六、1.同阶无穷小；2.高阶无穷小；3.等价无穷小。

习题1.3

一、1.是；2.非；3.非；4.非；5.非；6.非；7.非；8.非；9.非；10.非。

二、1.-1；2.；3.；4.0；5.；6.-1；7.1；8.；9.；10.0；11.；12.；13.；14.1；15.；

16.o

三、提示：由极限乘法运算法则及由分母极限为0,可得分子极限必为0,且分子、分母同

时有的公因式，。

四、。

五、（略）

习题1.4

一、1.；非2.非；3.非；4.非；5.是；6.非;7.是；8.非•

二、1.第一类，跳跃型；2.第二类，无穷型；3.-1；4.2；5.；6.无，0；7.。

二、1.C；2.A；3.B»

四、。

五、1.是第二类间断点中的无穷间断点；2.是第二类间断点中的无穷间断点；3.为第一类

间断点中的可去间断点；4.为第二类间断点中的无穷间断点，为第一类间断点中的跳跃间

断点。

六、1.；2.；3.；4.-1o

七、（略）

八、在处连续，在处间断，连续区间为。

复习题

一、1.；2.；3.3；4.；5.；6.第一类间断点且是可去间断点；7,0,,。

二、l.C；2.C；3.B；4.B；5.C；6.D；7.A；8.A；9.D；10.A；ll.A；12.C。

三、1.；2.；3.；4.1；5.；6.0；7.；8.；9.；10.。

四、。

五、（略）

六、（略）

七、。

八、，故在处连续。

九、（略）

第2章导数与微分

2.1导数的概念

一、是非题

1.小0）="（%）］'：（）

2.曲线y=/(x)在点(X0，/(与))处有切线，则/'(/)一定存在；()

3.若/'(x)>gG),则/(x)>g(x)；()

4.周期函数的导函数仍为周期函数；()

5.偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数；()

6.丁=/(处在》=/处连续，则/(%)一定存在。()

二、填空题

1.设/(幻在/处可导，则lim〃%一3-,

/(x+/?)-/(x-A)

lim----0-----------0----=____________；

20h

2.若/'(O)存在且/(O)=0,则lim/=______________；

XTOx

x2,x>0,,

3.已知f(x)=八贝I/(0)=___________;

-x2,X<O,

4.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T与时间，的

函数关系为T=TQ),则该物体在时刻t的冷却速度为；

5.设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元，则其边际成本为；

6.物体作直线运动，运动方程为s=3产-5/,则物体在2s到(2+加川的平均速度

为,物体在2s时的速度为。

三、选择题

1.函数/(%)的f'(xQ)存在等价于()；

A、lim存在B、——，6°)存在

"->8n力->°h

C、11m存在D11m/(判+3=-/(/+泡存在

4V

Ar->oAVAX

2.若函数/(x)在点与处可导，则|/(x)|在点处()；

A、可导B、不可导C、连续但未必可导D、不连续

四、利用定义求下列函数的导数

l.y=—*2.y=cosx3.y=+为常数)

x

*五、设e(x)在x=a处连续，f(x)=(x-a)(p(x),求，'⑷。

x2,x<1,

*六、已知/(%)=\

ax+b,x>\.

1.确定a力,使/(x)在实数域内处处可导；

2.将上一问中求出a,b的值代入/(x),求/(x)的导数。

七、求曲线y=/-3在点(1,-2)处的切线方程和法线方程。

2.2导数的运算

一、填空题

1.(72/=__________.；2")，=_________一其中〃为实常数

3.(/)'=___________；4.(2、y=_________——；

5.(Inx)'=；6.(iog,,xy=______.a>0且。w1

7.(sinx)'=__________；8.(cosx)x=_______

9.(tanx)'=；10.(cotx)'=?

ll.(arcsinx)z=；12.(arccosv)'=

13.(arctanx)'=__________；14.(awcotx)'=___-------；

2Z2

15.(COS2X)=_________；16.(cos2x)J2?=.__________；

17.(cos2/)3)=___________；(其中圆括号中的下标标相对求导变量

18.y=2x2+Inx,贝！印=；

*19.y=—1―,y⑹=____________；*20.y=10',则y⑸(0)=

l+2x

二、求下列函数的导数

l-yfx

\.y=x2(cosx+Vx)；

xx

3.y=(x-l)(x-2)(x-3)；M.y=Vxsinx+ae；

5.y=xlog2x+ln2；6.y=cotxarctanx；

1—I1k

7.y=cos—；8.y=ln(—FIn—)；

xxx

9.3=ln(l—x)；10.y=ln(x+Jl+x')；

sin2尤

5丁

设y=xlnx+J=,求电

三、

Vxdx

四、以/(〃)为可导函数，且/(X+3)=X5,求f(x+3)和/1'(X)。

五、设y=f(x)由方程e"+y3-5x=0所确定，试求④

dxt=0

设隐函数y=/(x)由方程x=ln(x+y)确定，求电。

六、

dx

*七、利用对数求导法求导数

1.y=Jxsinxjl-e*；2.y=xlnv

*八、求由参数方程所确定的函数的导数

x=l",求工x=lnf,求心

1J2J

y=t-rdxy=sin/,dx

九、计算下列各题

Inx4""、

\.y=3x2+cosx^y"；2.y=——，求y(1)。

X

*3.y=xe、，求y("),y5)(0)；4,y=ln(l+x2),求y〃；

5.y=e~2tsint,求y"。

2.3微分的概念

一、填空题

1.设y=x3-x在％=2处Ax=0.01,贝,dy=___________

2.2x2dx-d；

*3.设y=ax+arccotx,则dy=dx；

=+dx；

4.d

*5.设y=e皿，则办=J(sin2x)；

6.设y=exsinx,则办=d(/)+J(sinx)；

二、选择题

1.设yucos，，则dy=()

A、-2xcosx2dxB、2xcosx2dxC、-2xsinx2dxD、2xsinx2dx

2.设y=/(〃)是可微函数，〃是x的可微函数则办=()

A、fr(u)udxB、f\u)duC>f\u)dxD、f\u)udu

*3.用微分近似计算公式求得e°05的近似值为()

A、0.05B、1.05C、0.95D、1

*4.当|A|充分小时，尸(x)w0时，函数y=/(x)的改变量Ay与微分内的关系是()

A、内=dyB>Ay<JyC、D>

三、求下列函数的微分

l.y=xex；2.y=x2x；

3.y=x4+5x+6；4.y=—+2&；

x

/Inx

*5.y=e3；6.y=—；

2________

*7.y=3/；8.y=InVl-x2。

四、计算yr质的近似值。

五、一个外直径为Id