高一数学例题

高一数学例题整理（二）

（一）、函数部分

1、对数函数的综合习题

1-X

y（x）=lg

已知函数1+x

（1）求/（x）的定义域；

（2）判断了（X）的奇偶性并证明；

（3）判断了（X）的单调性（不证明）；

（4）求/（X）的反函数/7（X）并判断了T（X）的奇偶性.

1-X

分析：（1）、（2）易做.（3）只需看1+X的单调性.（4）/“（X）的奇偶性可直

接判断，也可由,（X）是奇函数得出，因为原函数与反函数的奇偶性一致.

1-X八X-1八

---->0=>-----<0=

解：⑴1+xx+1(x-1)(x+1)<0=>-1<%<1./(x)的定义

域为（TD.

（2）函数的定义域为（-LD关于原点对称，任取xeGLD

/(—X)=1g==1g(二)T=-lgF：./(X)

1一工1+x1+x是奇函数.

1-x-1-x+2r2

----=----------=-1+----.

(3)1+x1+x1+x

2

T+x是(一LD上的减函数.

C41—X

■/W=lg：—/_1IX

1+X在(上是减函数.

.1-X1-X..J,

----…T----=10>

(4)令1+x1+x

二l-x=10>+10>-x.

：.1-10^=(1+100^.

1-10^

二x=-----

1+10^

2

"l+xxe(Tl)的值域为(ON).

1-x

/W=lg

1+X的值域为（一阻山）

1-10"

二广匕）=(xeR).

1+10”

了"（X）的定义域为（一8，+8）关于原点对称.

任取XC(-oo.-Ko)

1-10""10K-1

广J)=

l+10-If10*+1

l-10K

1+10"

二是奇函数.

2、根据恒等式求底数

设函数，（"）=l°ga（l+x）在[1，48）上函数值恒有"。）卜2,求实数a的取值范围.

分析：此题中对.xe[1，48）恒成立的问题，是无数多个不等式的成立问题

应借助函数思想，利用函数的最值，将其转化为有限个不等式的求解问题.

解：问题等价于对任意xe[1,心）1。8/1+乃＞2或108式1+功＜-2

Olog/l+xXQl)的最小值>2或OlogJl+xXxAl)的最大值<-2.

a>\0<a<1

.loga2>2^[loga2<-2

r-^<a<1

Ql<a<j2或2

(1阉U修；

所求a的取值范围是',

3、根据值域求参数

设函数/0)=也(°X2+2X+1),若/(X)的值域为R,求实数a的取值范围.

分析：由值域为五和对数函数的单调性可将问题转化为〃=ax?+2x+l能取遍所有

正实数的问题.

解：令^=。/+2工+1,依题意"=aV+2x+l应取遍一切正实数即函数值域是

a>0

<

正实数集的子集，则有a=0或［A=4_4a±0,解得0工&工［,

4、关于指数对数的反函数

求下列函数的反函数.

⑴丁=41;⑵7=lg(l-x)-l

分析：求反函数的步骤：求原函数值域；解出X交换X，丁，并注明反函数定义域.此

处解X时需用到指数式叮对数式的互化.

解：⑴XT>0,二47-1>-1,二原函数值域是(-1,旭.

由原式有4"*=V+1，二f=log4O+1)，X=-log40+1).

.."4-x-l的反函数为y=—log/x+l)xe(-l,-K0)

(2)函数丁=_尼(1_»一1的值域是R.

由原式有1g(1—=V+L:1-'=1°加，二x=l-10?I二所求反函数为

y=l-10**i(xeR).

5、集合与对数的综合题

^M={0,1},N={ll-a,Iga,2a,a},是否存在a的值使MCN={1}.

分析：不存在a的值使MCN={1}成立，事实上，若lga=L则a=10,此时，l『a=l,

从而ll-a=lga=l.此与集合元素的互异性矛盾；若2"=1,则a=0,此时，Iga无意义.若a=l,

此时lga=0,从而MnN={0,1}与条件不符,若ll-a={0,1}与条件不符.若ll-a=l,则a=10,

从而lga=l,与元素互异性矛盾.

6、求单调区间

已知函数/⑸=bg1H,（°>°避*1）且+4x+8）>/（-*）.试写出函数的单

调区间.

分析：欲求出函数的单调区间，必须由条件先确定底数。的情况，再结合函数是偶函

数求出单调区间.

解：由㈤>°得了⑺的定义域为（一8,o）U（o招），

Zlo

=logtt|-l=2aW=/,

故为偶函数，/(-%)=/(幻.又/+4x+8=(x+2)2+4>玄>0

由/(,+4x+8)>/(一n)可知a>l.

<log°xx>0

/W=logfl|x|J-logaxx<0,在(0,xo)上是增函数，在(f0)上是减函

数.

反函数

7、求下列函数的反函数：

3x-51

2x+12

(2)y=x2-2x+3,xE(-oo,0].

1.

(3)y=—~7(x^0).

x+1

fVx+T(-l^x^O)

(吁口4(0<xWl)

53x-513

解(i)：y=^—-(x^--),：•、手％,

2x+122

3x—5

由•得(2y-3)x=-y-5,

乙A।1

，X=产号所求反函数为丫=|).

3-2y3-2y2

解(2)Vy=(x-l)2+2,xC(—8,0]其值域为yG[2,+~),

由y=(x—I)2+2(x^0),得x—1=~yjy-2,即x=l—Jy-2

.,.反函数为fi(x)=l—Jx-2,(x»2).

解(3)Vy=^—(x^O),它的值域为0<yWl,

x+1

i-y

由丫=-2r得x=

X+1

'1-X

...反函数为fi(x)=一——(OVxWl).

解⑷由y=vm(—IWxWO),

得值域OWyWl,反函数fi(x)=x2—l(OWxWl).

由y=—4(0<xWl),

得值域一iWyVO,反函数fT(x)=x2(—IWxVO),

fx2-l(OWxWl)

故所求反函数为丫=21.

[x2(—lWx<0)

8、求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像.

(l)y=Vx^T-l(2)y=-3x2-2(x^0)

解(1)'.•已知函数的定义域是x》l,...值域为y>一l,

由丫=Jx-1-1,得反函数y=(x+l>+l(x)—l).

函数y=V7=I-1与它的反函数y=(x+l)2+1的图像如图2.4—1所示.

解(2)由y=-3x2—2(x<0)得值域yW-2,

反函数fT(x)=-J-W^(xW—2).

图2.4-1图2.4-2

,,3x+11

9、已知函数f(x)='----'(xW—a,aWq

(1)求它的反函数；(2)求使P(x)=f(x)的实数a的值.

3X+1

解(D&y=-----，,xW—a,

x+a

Vy(x+a)=3x4-1,(y—3)x=l—ay,这里y#3,

若y=3,则a=；这与已知awg矛盾，

1-ay口口r-〜•业'1-ax

•.x=----,,即反函数fT(X)=-----.

y-3x-3

4-11—ax

(2)若f(x)=fT(X),即——=--对定义域内一切X的值恒成立，

x+ax-3

令x=0,/.a=—3.

或解由f(x)=Fl(x),那么函数f(x)与「l(x)的定义域和值域相同，定义域是

{xlxWa,x£R},值域y£{ylyW3,y£R},工一a=3即a=—3.

ax+b

10>已知函数y=f(x)=----；中，a>b、c>d均不为零，试求a、b、

ex+d

c、d满足什么条件时，它的反函数仍是自身.

解f(x)=3+”—a,•.•常数函数没有反函数，

cc(cx+d)

1—dx+b

，bc—adWO.又f-(x)=-------,

ex-a

=0-dx+bax4-b..x,.f.

要使-------=-----对定义域内一u切X值恒成

ex-aex+d

令x=0,得一a=d,即a+d=O.

事实上，当a+d=O时，必有r1(x)=f(x),

因此所求的条件是be—adWO,且a+d=O.

11、设点M(l,2)既在函数f(x)=ax2+b(x20)的图像上，又在它的反函数图

像上，⑴求M(x),⑵证明「l(x)在其定义域内是减函数.

2=a+ba—3],7

2

解(1)由।u得r'/.f(x)=--x+-(x^0)

1l=4a+b[,b=5/33

证⑵由y=-gx2+g(x》O)得反函数fT(x)=6^^(xW]).

7

设X[<x2^—,7—3X]>7—3x220,

1-I

・・・J7-3X]>JX-3X2,BPf(x1)>f(x2),

7

故f」(x)在(-8,耳]上是减函数.

X—1

已知aGR,且aWO,aWl.设函数f(x)=-----

12、ax-1

(x£R且xW-),证明y=f(x)的图像关于直线y=x对称.

a

x—1

证由丫=-----,aWO,aWl,得(ay-l)x=y-1,

ax-1

如果ay—1=0,贝！Jy=；

a

1Y—1

A-=----；得@=1,这与已知aWl矛盾，

aax-1

,,y—1,x—1

Jay—IWO,故*=-----,Af-(x)=------>

ay-1ax-1

x—1

即证得f(x)=--的反函数就是它本身.

ax-1

因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y=x对称，

函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称.

单调性

13、解：判断一次函数=上x+久*H0)单调性.

一次函数丁=忘+5加00)的定义域是R.设々，马^我，

且X1<电，则必一乃=(上再+5)-+与=何再一勺)

Xj-x2<0

当上>0时，可々一弓)<0,即必<也；当上<0时，双々一弓)>0,即必>为

综上，当化>0时，一次函数丁=以+以及#°)是增函数；

当先<0时，_次函数丁=丘+"&h°)是减函数.

14、证明函数歹=后在［°，的］上是增函数，并判断函数y=*+后在］上的单

调性.

解：设0-zi<x2,则由已知丫=瓜

>0,Xj-x2<0

...瓜?+,即必《为.

...函数>=而在［°，地）上是增函数.

•••/（>）=x,g（x）=、G在［0，田）上都是增函数，

...y=/（x）+g⑶，即y=x+6在［0,田］上是增函数

y邛

15、判断函数Dx的单调性.

解：函数的定义域是（°，田）.

_2

•.•函数y=应在（°，+8）上是增函数，X在9，侄）上是减函数,

（0，r。）上是减函数（“同增异减”）.

16、求函数丁=J/+2X—3的单调递减区间.

解：由/+2彳320得x£-3或%>1,

...函数的定义域是(-00-3]U[1.-H»)(-00-3]U[1,-K»)…①.

12+ra

令u=x+2x-3,贝ij1y=Jx?+2工-3化为y=、加.：丁=、加在[0，)上是增函

数，

...求丁=、/#+2矛-3的单调递减区间，只需求/=/+2芯-3的单调递减区间，且满

足”20,即满足①.

/=/+2芯_3的单调递减区间是(一8，一1]…②.由①和②知，函数y=J—+2x_3

的单调递减区间是(一8,-1]川(-00,-3心[1伸)]=(-8,-3]

17、函数—对于x>°有意义，且满足条件"2)=1,/(xy)=/(x)+/O),/(x)

是非减函数，(1)证明/Q)二°；(2)若/。)+/(工一司之2成立，求x的取值范围.

解：(1)在中令工=2,丁=1,

则有了⑵=/(2)+/(1)，又“2)=1,;.〃1)=0

(2)/(z)+/(^-3)i2利用为非减函数,有

x>0

<x-3>0

得x"

18、已知函数/(x)=x+j2-x

L/(a)-a]-L/⑶一司=-l=^—^=r

(1)a£2,力工2,证明：[2-a+」2-b

(7"]

-oo,—

(2)证明，(x)在I4」上是增函数

解：⑴L/⑷-41/9)-引=12-a-』2-b

(J2-a—J2-J2—a+J2-5)_b-ci

42-a+:2-b，2-a+J2-b

711_________

(2)设々<々勺W,则2X1>4,2X2~4,•:J2-X1+J2-X?>1,于

是

f(工2)一/(工1)=五2+《2—五2-X]一42—X]

(x2-再)-"-"

J2-彳2+渥-X]

_（*2一再）（，2-盯+J2-X]-1）＞0

+,2-X]

（-8-）

：./⑹＞」（再），：./（x）在N上是增函数

说明：根据定义判断函数的单调性，一般要经过作差、变形、判断符号这三个步骤.

19、求证：J1-V在卜口]上不是单调函数.

解：设一1工再＜X2W1,贝|J

_（々一勺）（一+殖

y（xj）-/（通）=Ji-x；-Ji-君Ji—x；+Ji一君①

于是，当0工々＜町工1时,方+叼＞0

则①式大于0；

故y=J1一/在上不是单调函数

20、根据函数单调性的定义，证明函数/"）=—，+1在（一色用）上是减函数.

设公，X2C&且为＜々，

解:

则■/&）一/（*2）=X；-X：=（孙-々）（君+XjX2+X；）

今一公＞°,且在々与亦2中至少有一个不为0,不妨设X2*0

君+/电+X；=（演+£）2+|xj>0

那么

：♦/（再）＞/&2）,故/（X）在（-00,+00）上为减函数

其它证法：设再，电e*,且不＜勺，

〃再）一/（“2）=右—X；=（x~X1）（X2+芯2再+工；）

则2

网<x2：.x2-%1>0

下面讨论君++城的符号

若々X?>0,则今+为再+不>0；

若々电=0,则君+与々+X；=君+端>0；

XX2

若12<0,则X；+X/1+X；=(%1+X2)-再电>0；

综上可知君+公3+才>0,；/(演)>/5),故“X)在(一8,400)上是减函数

21、设“X)是定义在(°伸)上的增函数，42)=1,且/^)=/^)+/0),求满

足不等式/Q)+/。一句£2的X的取值范围.

解:依题意,得/。)+/。-3)=/(/-3力.

又2=2/(2)=/(2)+/(2)=/(4)(

于是不等式/(工)+/(芯_可42化为/(x2-3x)</(4).

X2-3X<4,

<x>0,

由1・3”得3<让4.

•••”的取值范围是(3,4].

求函数最值

22、.求函数丁=、斗曰+、区万的值域

解：第一步先求该函数的定义域为「用)

•••必=而涮^=、附都是单调递增函数，并且没有上界

”=乃+g=而1+石口是单调递增函数，并且没有上界

函枷如=•7(1)='泛；

..函数值域为[点,+8)

小结：利用单调函数的上下界求值域，原理简明，操作简便，艮普适性强，是求值域的

首选方法。

4

y=—~

23、求函数x-3的值域

解:

y=—3—可以看做是函数y=-

x-3x向右平移3个单位得到的;

，=/一的值域与函数y=刍

x—3x值域相同；

y=/一的值域为(-8,0)u(O,+oo)

x-3

小结：这道小题明显利用熟知函数的值域求未知函数值域。需要补充说明的是我们已经

学过•些函数图像的儿何变换，这个例子给我们启示是：对于结构复杂的函数，若能把它看

做是有某种基本函数经过某些几何变换所得，则根据基本函数的值域和几何变换的性质就能

直观的求出该函数的值域。

丁二卒心值域

24、求、/才-3

厂y=竺1,且

解：设£="矛，则原函数可化为t-3

2/-42

y==二=2+—,/>0

而函数£一3t-3

(41

-oo,-u(2,+OD)

由图像分析得到函数值域为I3」

小结：这是典型利用换元法，化为熟知函数，这类问题的难点是能够认清函数本质上的

函数形式，从而能顺利地转化，也就是说问题转化成为在指定区间上求基本函数的值域。易

错点是在转化过程中，附加了新变量t的范围，这个范围往往容易丢掉，要引起注意。另外

要强调的是在化基本函数过程中，注意数形结合。

25、求函数丁=2”-3+J5—4)的值域。

解：设J5-4x=t,tN0,

1,1

y=-r+t--,t>0

原函数可化为22

111

y=——t204-Z——=———I)02,t>0

222

.••原函数的值域为(一8，°]

小结：这道题方法和思路基本同上，而基本函数模型是二次函数。

x"—X+1

y=--------

26、求函数x2+x+l的值域。

分析：对于分子、分母都为x的二次式的分式函数，分别配方后也易处理，因此需要探

讨新的方法。

1/1、23、3

x2+x4-1=(x+—)"+—之一

解：首先考察定义域，由分母244,则函数定义域D=R。

x2-x+1

y=-------------

由X2+X+1可得：(y-l)x2+(y+l)x+(y-l)=0

当y=l时，上式变成2x=0,x=OGD...y=l是值域中的一个元素。

当#1时，上式可以看作是关于x的二次方程，因其根x为实数，

<y<3(y#1)

•,.△=(y+l)--4(y-l)(y-l)>0,解之得3

冷可

综上，y的取值范围(也就是函数的值域)为3

小结：这道题应用判别式法(俗称△法)主要用来解分式函数求值域的问题，但在使用判

别式法时要注意：由

y=f(x)变为a(y)x2+b(y)x+c(y)=0后，对于x2的系数a(y)应按a(y)=O与a(y)邦分情况讨论。

27、.已知定义在(3,+8)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2-2x+2,

求函数f(x)的解析式。

分析：由图像的对称性可知，f(x)是奇函数，因而可根据奇函数的定义求解。但既然说

是定义在全体实数上的函数，因而x=0时，f(x)有定义。不能忘了求f(0)。

解：当xvO时，-x>0,故

f(-x)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2

因函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，于是f(-x)=-f(x),从而f(x)=f(-x)=

-(X2+2X+2)=-X2-2X-2

又当x=0时,f(O)=f(-O)=-f(O),从而f(0)=0,

因此f(X)在(-8,+00)上的解析式是

x2-2x+2,x>0

f(x)=<0,x=0

-x2-2x-2,x<0

小结：

(1)若x=0在奇函数的定义域内，即其图像必过原点；

(2)由奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求得它在原点另一侧的解析式，基本思想是

通过“-x”实现转化；

(3)容易漏求当x=0时的解析式.

28已知f(x)=x5+ax°+bx-8,Kf(-2)=10,求f(2)

解：观察函数，可知f(x)+8=x\ax3+bx为奇函数，

令F(x)=f(x)+8,有F(-x)=-F(x)

F(2)=-F(-2)=-[f(-x)+8]=-(10+8)=-18F(2)=f(2)+8=-18,

Af(2)=-26

小结：此题关键在于如何处理f(x)表达式中“-8”这个“尾巴”，去抻它就可以得到•个奇

函数。因此可构造一个新的函数F(x)=f(x)+8,就能让这个问题利用奇函数的性质解决。

29、求下列函数的最大值、最小值与值域：

①y=--4x+1;

@y=x2-4x+1,xe[3,4]；(§)y=x2-4x+l,xG[0,1]；@y=x2-+1,xG[0,5]；

解：：丫=、—4*+1=(工—2)2—3,二顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.

①•・,抛物线的开口向上，函数的定义域R,

...x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是｛yly2-3｝.

②・・,顶点横坐标2£[3,4],

当x=3时,y=-2；x=4时,y=l；

・••在[3,4]上，ymin=-2,ymax=l；值域为[-2,1].

③・：顶点横坐标2£[0,1],当x=0时，y=l；x=l时,y=-2,

,在[0』]上，｛in=2Va=1；值域为[21].

④.・'顶点横坐标2E[0,5],当x=0时,y=l；x=2时,y=-3,x=5时,y=6,

二在[0,1]匕ymin=-3>ymax=6：值域为[-3,6].

30、求函数y=x：5x+6的值域

x2+x-6

方法一：去分母得(y-l)x2+(y+5)x-6y-6=0①

当ywl时VxeR/.A=(y+5)2-F4(y-1)X6(y+l)>0

由此得(5y+l)2>(1

i------F5

检验y=一一时x=__5_=2(代入①求根)

52.

V2/定义域{xlxw2且xw3}yW—(

再检验y=l代入①求得x=2・・・ywl

综上所述，函数y=x：5x+6的值域为{丫|丫力且"一]"}

x~+x—65

方法二：把已知函数化为函数)，=(X-2)(X-3)=±2=]_6(x/2)

(x-2)(x+3)x+3x-3

由此可得ywl.

x=2时y=——即y。—

丫2_S丫+6j

函数y=,的值域为{ylywl且y~士}.

x~+x—65

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式

函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为。的讨论.

三角部分

任意三角比

|sina|_cosa

31、当a为第二象限角，试求SmaK°sa|的值.

分析：应先由为笫二象限角这一条件求出绝对值再求值.

解：当c为第二象限角时，sina>0,cosa<0,

卜inacosasincecosa;-

%sina[cosalsina-cosa

HX•

说明：此类题目旨在考查对符号的判定.

32、已知角。的终边上一个点P(4a,-3«)(。工。)，求2sina+cosa的值。

解：由题意知：X=4a,y=-3a,故r=小(4甫+(_3浦=5同。

v—3/73x4〃4

(1)当。〉0时，a是第四象限的角，故sina=)二—^=-3,cosa=±=」=—,

r5a5r5a5

2

所以2sina+cosa=——

5

(2)当4<0时・，a是第二象限的角，故sina=2=3=3,cosa='=/L=-4

r—5a5r—5a5

2

所以2sina+cosa=—

5

Icosx|tanx

33、求函数y=J——+；用的值域

cosxItanx|

解：定义域：cosxM，x的终边不在x轴上

又VtanxMAx的终边不在y轴上

当x是第I象限角时，x>0,y>0cosx=|cosx|tanx=|tanxI/.y=2

当x是第II象限角时，x<0,y>0cosx|=-cosx|tanx|=-tanxy=-2

当x是第HI象限角时，x<0,y<0|cosx|=-cosxtanx|=tanx/.y=0

当x是第IV象限角时，x>0,y<0|cosx|=cosxtanx|=-tanx/.y=0

34、已知角a终边上一点P(-,且sina=-^-y,求cosa和tana的值.

解：J3,y)是角。终边上任一点，由三角函数的定义可知：

,,/7

sina--j)得，1」=---y,y=0或y=±V5

Tw4''

(1)当y=0时，cosa=0,tana=0；

(2)当〉=石时，cosa=-^^,tana=一^^；

43

(3)当》=一有时，cosa=———,tana»

43

说明：已知角a终边上的一点，求a的三角函数值，我们采用定义法；会求三角函数

值是重要的基本技能，因此掌握此题的解法很有意义；另外，由于本例中yeR,所以应进

行必要的分类讨论，这是不应忽视的.

同角三角比

1+sina/1-sindz”“口

35已知J-------------J-----------=_2tanCL,求a所在的象限。

V1—sinaV1+sina

(1+sina)(l+sina)1(1-sina)(l-sina)

(1+sina)(l-sina)V(1+sina)(l-sina)

(l+sina)2l(l-sincr)2_1+sina1-sina_2sina

1-sin2avl-sin2aIcosaIIcosaI|cosa|

2sina2sina

=-2tana=于是coscr<0,

\cosa\cosa

・•.a是第二，三象限角或x轴的负半轴。

36、已知方程2尤2一（退+1）尤+加=0的两根分别是sin。，cos。，求

sin0cos0的值。（提示：馍话=您四）

----------------1----------------

1一cot61—tan6sin。

#sin20cos20sin?。一cos28.八八

解：原式=-----------+------------=---------------=sin。+cos0

sin0-cos0cos。-sin。sin0-cos0

・•・由韦达定理知：原式=立里（化弦法）

2

JI\

37、已知---<尤<0,sinx+cosx=-,求sinx—cosx的值。

25

分析：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号

等基本知识，以及推理和运算能力。

解法一：由sinx+cosx=-,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x--,

525

24,49

即2sinxcosx=-----.v（sinx-cosx）-=1-2sinxcosx=—.

2525

〃7

又——<x<0,sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0,故sinx-cosx=——.

,sinx+cosx=—,

解法二：联立方程｛5

sin2+cos2x=l.

由①得sinx=^-cosx,将其代入②，整理得25cos2x-5cosx-12=0,

3

sinx=-,7

cosx=-或cosx=.'：-71<x<0,.,.<5sinx-cosx=—-

55245

cosx=.

15

三角形的诱导公式

38、已知=今,求tan®一乃）cose-万）的值。

l-2sin^_llsin9=-3

2+sin675

3

・•.tan(。-TT)COS(。一〃)=tan。(一cos6)=-sin。=—

jr27c7T24

39>已知一<av——，cos(a+—)=m(mw0),求tan(------a)的值.

6333

2TT71

解：因为----a=»-(a+—),

33

27r7cTC

所以：cos(--a)=cosf^--(<z+—)]=-cos(cif+—)=­m

由于生<a<—,所以0<且一。<—,

6332

于是：sin(菖-a)=cos2(~~-a)=y/l-m2

2兀、-—a)右泰

所以：tan((------a)=----------------=-------------

3z21m

cos(------a)

））

说明：通过观察，获得角a+二7T亏角*T巴T一。之间的关系式*T巴T一。=»-（。+T工T），为

3333

顺利利用诱导公式求cos（上-a）的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于观

3

察并充分挖掘隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公

式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和

技能上显然都有较高的要求，它对于培养我们的思维能力、创新意识，训练素质有着很好的

作用.

两角和与差的正弦，余弦，正切

40、（1）如果方程—+/>x+c=0（cH1）的两根为tana、tanB,求

sin2（a+⑶+bsin（a+/7）cos（a+⑶+ccos2（a+⑶的值；

（2）在非直角△ABC斗J求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB,tanC.

思路分析：观察（1）中待求式特点，须先求出a+B的一个三角函数值，由韦达定理

和和角正切公式特点，可先求tan(a+0).根据(2)中恒等式的结构特点，可利用和角

正切公式的变形tana+tanP=tan(a+P)(1-tanatanP)将左边的正切和转化为右边

的正切积.

解：(1)由韦达定理，得

ftana+tan/3=-h,

[tana-tanJ3=c.

tana+tan£

tan(a+〃)=

1-tanatanp

-b

T^c

原式=cos2(cr+P)•[tan2(a+/7)+/?tan(a+⑶+c]

=--------------------[tan2(a+夕)+0tan(a+〃)+c]

1+tan2(a+夕)

一(TSYJ；

-("+庐[11-，l-c_

22

_(1-c)c[^+(l-c)]

22

■(l-c)+^(l-c)

(2)VA+B+C=n,・・・A+B=Ji-C,

tanA+tan8+tanC

=tan(A+8)(1—tanA•tanB)+tanC

=-tanC(1-tanA-tanB)+tanC

=lanA•tanB-tanC.

点评：含a、B两角的正切和与正切积的式子，用和、差角正切公式的变形比较容易处

理.

41、已知AABC中的三内角A、B、C成等差数歹U，且一'一+」一=--^-,求cos上C

cosAcosCcosB2

的值.

思路分析：本题中角间关系较为隐蔽，注意到8=60。=生K,而A=4±C+4二

222

c=如£-±C.取出二C作为基本量，就找到了解决本题的突破口.

222

解：由已知，B=60°,A+C=120°

A-C

设=a，则

2

A+CA-C

A=-----------1-----------=600+a,

22

C=&£_上色=60。-/

22

11

故+

cosAcosC

1]

cos(60°+a)cos(60°-a)

_1]

­16.16.

cosa-sinacosa+sina

2222

_cosa_cosa

123.223

—cos'*a——smacosa——

444

依题设有cosa==_2及

23cosB

cosa——

4

整理得：4后cos2a+2cosa-372=0,

(2cosa-V2^2^23)=0.

cosa+

•「2V2cosa+3w0,

2cosa-y