新教材人教版高中数学必修第一册1.5.1全称量词与存在量词

1.5.1全称量词与存在量词

1.若命题“11€/?,/-依+140”是真命题，则实数a的取值范围是（）.

A.{«|-2<a<2}B.{。|。4一2或。22}C.{«|-2<a<2}

D.{a\a<—2^a>2}

2.下列语句不是全称量词命题的是（）

A.任何一个实数乘以零都等于零

B.自然数都是正整数

C.高一（一）班绝大多数同学是团员

D.每一个实数都有大小

3.已知命题piiceR,/+以+1<。，若，为真命题，则实数a的取值范围为（）

A.（—2,2）B.（—co,—2）U（2,-Ko）C.[—2,2]D.（―oo,-2]IJ[2,+co）

yv,1

4.有四个关于三角函数的命题：P：HXG/?,sin2-+cos2-=-P,：3x,yeR,

1222;2

C0SX

sin(x-y)=sinx-siny；P3：VxG[0,,/——=sinx；P4：sin:c=cosy=>x+y=H.其

中假命题的是（）

A.P、，P*B.P2，P4C.[,£D.P2,P3

7t

5.“现£0,y,COS/VW”是假命题，则实数机的取值范围为()

A.(l,+oo)B.C.I-00,—|D.|-00,—

6.已知命题〃：VxeR,f_x+a〉o,若一/?是真命题，则实数a的取值范围是（）

1

A.D.—,4-Q0

2

7.已知命题pHxw/?,x2+1<2x;命题4：不等式x?—2x-1>0恒成立，那么命题（）

A.〃且q是真命题B.，或q是假命题

c.q是真命题D.~P是假命题

8.若命题F/eR，使得片+4%+2攵<0”是假命题，则实数4的取值范围是（）

A.k<2B.k>2C.k<2D.k>2

9.命题为储-2ax+3>0恒成立"是假命题，则实数a的取值范围是（）

A.。<0或aN3B.a<0^a>3C.a<0^a>3D.0<a<3

10.下列命题为真命题的个数是（）

①Vxe{x|x是无理数},/是无理数；

②若=3=0,则［=6或加=6；

③命题“若x2+y2=0,xeRyeR,则x=y=0"的逆否命题为真命题;

④函数/（x）=ei,是偶函数.

A.1B.2C.3D.4

11.若命题“3XGR,x+a<0，，是真命题，则实数a的取值范围是.

12.已知命题〃：IrwR,使得cos?x+sinx+1>〃2，若命题p是假命题，则实数团的取值范围是

13.若“VxeR,f+3x+相＞0”是假命题，则实数加的最大值是.

14.若命题“HxeR,巾―加＜0，，是假命题，则实数用的取值范围是.

2x

15.已知命题〃：VxeR,x+mr+l＞0：命题e（0,+8），e°-mx0=0,若为假命题,

则实数”的取值范围是；

16.判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；

（2）至少有一个整数n,使得〃2+〃为奇数；（3）3xw{y|y是无理数},f是无理数.

17.判断下列全称量词命题的真假：

（1）每个四边形的内角和都是360。；

（2）任何实数都有算术平方根；

（3）Vxe{y|y是无理数},1是无理数.

18.判断下列全称量词命题的真假：

（1）所有的素数都是奇数；

（2）VxeR,|x|+l..l：

（3）对任意一个无理数x,彳2也是无理数.

19.判断下列存在量词命题的真假：

（I）有一个实数x,使炉+2%+3=0；

（2）平面内存在两条相交直线垂直于同•条直线；

（3）有些平行四边形是菱形.

20.己知eR,命题P：对Vx€[0,1],不等式2x—22机？一3小恒成立；命题1,1],使得，

成立.

(1)若〃为真命题，求加的取值范围；

(2)当a=l时，若2八“假，pvq为真,求m的取值范围.

21.判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断真假：

(1)存在一个无理数X,使V也是无理数；

(2)Hxe7?>使f+x+i=o.

22.己知命题p：“至少存在一个实数XG[1,2],使不等式£+24r+2—。>0成立''的否定为假命题，试求

实数。的取值范围.

23.设语句q(x)x-11=1-x.

(1)写出q(D，4(2),并判断它们是不是真命题；

(2)写出“VawR,虱a)”,并判断它是不是真命题；

(3)写出“mawR,4(a)”,并判断它是不是真命题.

24.选择合适的量词(V,多，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题.

(1)x>2；

(2)x是偶数；

(3)若x是无理数，则X?是无理数；

(4)4+〃=/(这是含有三个变量的语句，则用p(a,b,c)表示)

25.用量词符号“7”“才’表述下列命题，并判断真假.

(1)对所有实数a,b,方程分+Z?=0恰有一个解;

(2)一定有整数x,y,使得3x—2y=10成立；

11

(3)所有的有理数X都能使―一9+—x+1是有理数

32

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参考答案

1.B

【分析】命题“士€/?,》2—ac+l<()，，是真命题，等价于不等式/一办+1W0有解，所以

A=«2-4>0-由此即可求出结果.

【详解】命题“iceR,d-办+140”是真命题，则需满足△=片一420,解得或

ciK—2•

故选：B.

【点评】本题主要考查了特称命题的概念，以及能成立问题，属于基础题.

2.C

【分析】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，

如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案

进行分析，即可得到答案.

【详解】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；

B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；

C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；

D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题.

故选：C.

【点评】本题考查的知识点是全称命题和特称命题的定义，熟练掌握全称命题和特称命题的定

义是解答本题的关键.

3.B

【分析】由命题，为真命题，则/>0,解不等式得出实数。的取值范围即可.

【详解】命题p:三1£氏/+。工+1<o为真命题，则△=〃2一4>0，解得。>2或。<一2

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故选：B

【点评】本题考查含有一个量词的命题的应用，考查二次函数的性质，属于基础题.

4.A

【分析】《由同角正余弦的平方和为1,显然错误；鸟可取特值满足即可；与可将根号中的

式子利用二倍角公式化为平方形式，再注意正弦函数的符号即可；与举特例即可判命题错误.

【详解】P>：VxeR都有sin~—I-cos'—=1,故尸]错误；

1221

X=y=0时满足式子，故巴正确；

Py.Vxe[O,句，sinx>0.且I一cos2x=2sin2x，所以『二=sinx,故P,正

确；

3万

舄：％=0，>=手，sinx=cosy=0,故舄错误.

故选：A.

【点评】本题考查全称命题和特称命题的真假判断、以及三角函数求值、公式等，属基本题.

5.D

【分析】由已知命题为假,可知命题的否定为真，写出对应命题的否定,进而求出参数的取值范围.

【详解】因为“玉（）e0,g,cos不是假命题，所以Txe0,1,cosx>m,所以

.3JL3J2

故选:D.

【点评】本题考查特称命题的否定为全称命题，通过全称命题为真求解参数取值范围问题,难度较

易.

6.A

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【分析】由题意知，不等式d—x+awo有解，可得出A20,可得出关于实数。的不等式，

即可解得实数”的取值范围.

【详解】已知命题p:WxeR,x+a＞。，若一p是真命题,则不等式£一有

解，

二.△=1-4a20，解得

4

因此，实数。的取值范围是(一应；•

故选：A.

【点评】本题考查利用全称命题的真假求参数，涉及一元二次不等式有解的问题，考查计算能

力，属于基础题.

7.B

【分析】判断出命题"、夕的真假，然后利用复合命题的真假可判断各选项的正误.

【详解】对于命题P,「V+l-2x=(x—l)220,即炉+122%，命题P为假命题；

对于命题夕，当x=0时，f_2x—1=—1＜0,命题夕为假命题.

所以，〃且夕是假命题，P或q是假命题，「〃是真命题.

故选：B.

【点评】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键在于判断各简单命题的真假，考查推理能

力，属于基础题.

8.B

【分析】由题意先找到等价命题“VxeR,都有炉+4》+2%20恒成立“，再求AW0即可.

【详解】命题使得片+4工0+2女＜0”是假命题等价于“以€见都有

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/+4x+2%20恒成立”是真命题，所以AW0即八=16—8左<0，解得：k>2.

故选:B.

【点评】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题，属于简单题型.

9.A

【分析】根据题意得出命题“HxeR,a?—2dc+3W0”是真命题，然后对a分情况讨论，

根据题意得出关于a的不等式，即可得出实数。的取值范围.

【详解】命题“g?—2ax+3>0恒成立"是假命题,即命题"玉eR，ax1—2ax+3

真命题.

当a=0时，ar?—2ax+340不成立；

当a<0时，合乎题意；

当a>0时，则△=4/—12aN0,解得aN3.

综上所述，实数。的取值范围是a<0或“23.

故选：A.

【点评】本题考查由全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.

10.B

【分析】利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断

原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性

的定义可判断④的正误.综合可得出结论.

【详解】对于①中，当x=0时，/=2为有理数，故①错误；

对于②中，若£%=0,可以有£,日，不一定要3=0或加=。，故②错误；

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对于③中，命题“若Y+y2=o,X6口，yeR,则x=y=O”为真命题，

其逆否命题为真命题，故③正确；

对于④中，/(-X)=------=------=/(X)»

—XX

且函数的定义域是(-8,0)U(0,+8)，定义域关于原点对称，

所以函数/(x)=e*—e”是偶函数,故④正确.

综上，真命题的个数是2.

故选：B.

【点评】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量

垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.

1

11.a＜一

4

【分析】根据条件将问题转化为△=：!一4。＞0，由此求解出。的取值范围.

【详解】因为不等式d-x+avo在R上有解，

所以△=1一4。＞0,所以。＜1，

4

故答案为：a＜—.

4

【点评】本题考查根据含一个量词的命题的真假求解参数范围，难度较易.注意一元二次不等式

与一元二次方程之间的联系.

⑵

【分析】将问题转化为对VXER,W2cos2x+sinx+l恒成立，进一步转化为不等式右边

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的最大值，再构造函数，利用二次函数可求得最大值，从而可得结果.

【详解】因为命题P是假命题，所以非对VXER,mZcos?x+sinx+1恒成立为真命

题，

设了ucos'x+sinx+l,则加N^max，

2129

因为y=-sin~x+sinx+2=-(sinx-Q)+—,且一iWsinxWl,

19

所以当sinx=一时，y取得最大值一，

24

9

所以加2一.

4

.、「9、

故答案为：-,+°°I

【点评】本题考查了命题的真假，考查了不等式恒成立问题，考查了二次函数求最大值，考查

了同角公式，属于基础题.

32

4

【分析】根据题意得知△20,由此可解出实数”的取值范围，进而可得出结果.

【详解】由于全称命题“VxwR,/+3%+帆>0”是假命题，贝I」

△=3?-4m=9—4m>0，

99

解得〃z4—,因此，实数加的最大值是一.

44

9

故答案为：一.

4

【点评】本题考查利用全称命题的真假求参数，涉及二次不等式的应用，考查计算能力，属于

基础题.

14.(-4,0)

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【分析】由题意知，不等式/—加—加>0对任意的xeR恒成立，可得出/<0,即可解

出实数机的取值范围.

【详解】由于命题FxeR,/-蛆―mV0”是假命题，

则命题“VxwR,f一7nx一〃?>0"为真命题，

/.A=加？+4m<0,解得-4<m<0-

因此，实数〃？的取值范围是(-4,0).

故答案为：(TO).

【点评】本题考查根据特称命题的真假求参数，将问题转化为二次不等式恒成立问题是解答的

关键，考查运算求解能力，属于基础题.

15.(f-2)U(2,e)

【分析】先求出命题，为真命题时，"的取值范围，以及当命题q为真命题时加的取值范围，

由为假命题可知两个命题均为假命题，由此可求得实数加的取值范围.

【详解】若命题P为真命题，则△=加2-4«0,解得一24m<2；

若命题q为真命题，则关于x的方程如=。在(0,+。)上有解，则机=巳.

X

令/(无)=交，其中x>0,则/3=(上？喙

XX

当0cx<1时，/'(x)<0,此时函数y=/(x)单调递减；

当x>l时，/'(x)>0,此时函数y=/(x)单调递增.

所以，=则帆Ne.

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加〈_2或昉2

因为命题pvq为假命题，则命题。、q均为假命题，贝叫

m＜e

所以，加＜一2或2＜根＜,

因此，实数阳的取值范围是（F,—2）U（2,e）.

故答案为：（―co,—2）U（2,e）.

【点评】本题考查利用复合命题的真假求参数，同时也考查了利用导数研究函数的零点问题,

考查计算能力，属于中等题.

16.（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题

【分析】对每个存在量词命题进行判断，从而得到答案.

【详解】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直;

（2）假命题，因为若〃为整数，则〃（"+1）必为偶数;

（3）真命题，因为乃是无理数，/2是无理数.

【点评】本题考查判断存在量词命题的真假，属于简单题.

17.（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题

【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.

【详解】（1）真命题.

连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，

而一个三角形的内角和180°,

所以四边形的内角和都是360。是真命题；

（2）假命题.

因为负数没有算术平方根,

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所以任何实数都有算术平方根是假命题；

（3）假命题，

因为x=15是无理数，/=2是有理数，

所以Vxe{y|y是无理数},无3是无理数是假命题.

【点评】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.

18.（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题

【解析】【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.

【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.

（2）VxeR,总有|划一0,因而|x|+L.l.所以全称量词命题“VXGR,|x|+Ll”是真命

题.

（3）血是无理数，但（、历尸=2是有理数.所以，全称量词命题”对每一个无理数x,*2也是

无理数”是假命题.

【点评】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.

19.（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题

【分析】对每个存在量词命题进行判断，从而得到答案.

【详解】（1）由于△=22—4*3=-8<0，

因此一元二次方程/+2%+3=0无实根，

所以，存在量词命题”有一个实数x,使/+2》+3=0”是假命题.

（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，

因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.

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所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.

(3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命

题.

【点评】本题考查判断存在量词命题的真假，属于简单题.

20.(1)[1,2]；(2)(-oo,l)U(l,2].

2

【分析】(1)(2x-2)n.n>/n-3m,即病一加4-2,可解出实数加的取值范围；

(2)先求出命题4为真命题时实数机的取值范围，再分析出命题《中一个是真命题，一

个是假命题，即可的得出实数加的取值范围.

【详解】(1),对任意xe[0,l],不等式2x-2之m2-3加恒成立，

,'.(2x—2].>nr—3m,gpm2-3m<-2>HPm2—3m+2<0>解得14根42,

\/min

因此，若P为真命题时，实数加的取值范围是[L2]；

(2)且存在使得,“〈ox成立，.•.mWx,命题夕为真时，m£I.

•••〃且q为假，p或q为真,

:.P、夕中一个是真命题，一个是假命题.

1<m<2

当P真4假时，则〈,,解得Iv机42；

m>1

团(1或机)2

当p假q真时，〈'/,即加<1.

m<1

综上所述，"，的取值范围为(f,l)U(l,2].

【点评】本题考查利用命题的真假求参数，同时也考查了利用复合命题的真假求参数问题，解

题的关键就是要确定简单命题的真假，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

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21.答案见解析

【分析】(1)利用定义可判断是存在量词命题，且为真；

(2)利用定义可判断是存在量词命题，且为假.

【详解】(1)是存在量词命题，存在量词为“存在“，当》=万时，乃2也是无理数，故是真命

题；

(2)是存在量词命题，存在量词”三(存在)”，•••△=1-4=-3<0,.•.不存在x使

x2+x+1=0-是假命题.

【点评】本题考查存在量词命题，考查学生逻辑思维能力，属于基础题.

22.(-3,+oo)

【分析】先判断原命题的真假，根据二次函数的在区间口，2］上存在着使函数值大于零的X,列

出不等式求解出参数的范围即可.

【详解】由题意知，命题p为真命题，即f+2℃+2—a>0在口,2］上有解，

令y=/+2ax+2-。，所以乂的>。，又因为最大值在x=l或x=2时取到，

，只需x=l或x=2时，y〉0即可，

，1+2。+2—。>0或4+4<7+2-a>0,解得a>-3或a>—2,

即a>一3.

故实数a的取值范围为(-3,+00).

【点评】本题考查根据命题否定的真假求解参数范围，难度一般.二次函数/(X)在区间［。,可

上存在着x使得/(x)>()，此时只需要/(x)a>()即可.

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23.(I)q(X):|1—11=1-1,真命题，q(2)2—11=1—2；假命题；

(2)VaeR,q(a)：|a—11=1—a,假命题；

(3)3aeR,q(a):|a-l|=l-a,真命题；

【分析】(1)分别将x=l,2,代入q(x):|x-l|=l-x即可写出结果，并判断真假；

(2)将命题改写VaeR,q(a):|a—1|=1—a,根