新人教版高中数学必修第二册《频率的稳定性》教学设计

10.3.1频率的稳定性

教材分析

/

本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.3.1频率的稳定性》，本节课

主要帮助学生认识频率与概率的关系，即事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复实验中，

相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复实验中，相应的频率一般也

越小。进一步让学生体会概率与统计的思想，发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标学科素养

A.通过实验让学生理解当试验次数较大1.数学建模：概率的应用

时，实验频率稳定在某一常数附近，并据2.逻辑推理：频率与概率的关系

此能估计出某一事件发生的频率.3.数学运算：频率与概率的计算

B.通过对实际问题的分析，培养使用数学4.数据抽象：概率的概念

的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的

应用价值.

1.教学重点：频率与概率的区别和联系

2.教学难点：大量重复实验得到频率的稳定值的分析.

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、探究新知

对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事

件的概率，但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是

否等可能不容易判断，例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷

一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需

要寻找新的求概率的方法.由知识回顾，提出

我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，问题，引出频率与概

在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发率的关系问题。发展

生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小，在初中，学生数学抽象、直观

我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计想象和逻辑推理的

概率，那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？核心素养。

频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？

什么是频率？

在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次

试验中事件A出现的次数n为事件A出现的频数，称事件A出现的

A

比例色1

f(A)=n为事件A出现的频率.显然，蟹WL

D

随机事件及其概率

重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A="一

个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再

与其概率进行比较，我们研究一下有什么规律？

历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表：

利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20,100,500

时各做5组试验，得到事件力="一个正面朝上，一个反面朝上”发

生的频数s和频率6(4)(如下表)

序号〃=20频数频率«=100频数频率n-500频数频率

1120.6560.562610.522

290.45500.502410.482

3130.65480.482500.5

470.35550.552580.516

5120.6520.52253通过具体).即题

思考(1)同一组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？的分析，归纳出

(2)随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？频率与概率的关系。

发展学生数学抽象、

逻辑推理的核心素

养。

，产20/rlOO〃-500

用折线图表示频率的波动情况，你有什么发现？

结论：

(1)试验次数n相同，频率f(A)可能不同，这说明随机事件发生的

n

频率具有随机性

(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波

动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波

动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A

发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离

概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f(A)会逐渐稳定于事件A

n

发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我

们可以用频率/'(A)估计概率P(A).

n

对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生

的频率f(A)稳定在某个常数上，把这个常数记着P(A),称为事件A

n

的概率，简称为A的概率。

频率与概率的区别和联系的剖析

(1)频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数

的重复试验得到的事件发生的频率会不同.

(2)概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关.

(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越稳定于

概率附近.在实际问题中，通常事件发生的概率未知，常用频率作为它

的估计值.

例1新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数，通过抽样调查

得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和通过实例分析，让

113.51.学生掌握运用频率

(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的来计算事件概率，提

比率，精确到0.001)；升推理论证能力，提

(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断高学生的数学抽象、

可靠吗？数学建模及逻辑推

分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生理的核心素养。

的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率

解：(1)2014年男婴出生的频率为

2015年男婴出生的频率为

由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537,2015年男婴出生率

约为0.532.

115.88B0.537

100+115.88

——x0.532

100+113.51

(2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对

男婴出生率的估计具有较高的可信度，因此，我们有理由怀疑“生

男孩和生女孩是等可能的”的结论.

由统计定义求概率的一般步骤

(1)确定随机事件A的频数nA；

(2)由f(4=计算频率f(4(n为试验的总次数)；

nn

(3)由频率/(为估计概率P(A).

n

概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发

生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频

率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的

概率.

例2.一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜，

事件B发生则乙获胜，判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的

概率是否相等。

在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到

1000次时，自己才300次，而乙却胜了700次，据此，甲认为游戏

不公平，但乙认为游戏是公平的，你更支持谁的结论？为什么？

解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000

次时，甲获胜的频率为0.3,乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，

随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对

10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们

更愿意相信1000次时的频率离概率更近，而游戏玩到1000次时，甲、

乙获胜的频率分别是0.3和0.7,存在很大差距，所以有理由认为游

戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断

思考1：气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的

降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”，如果第二天

没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确，那么如何理解“降

水概率是90%”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？

提示：降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得

到的.对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，

在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨.

只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性.如果在类

似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下

雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比

例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确.

例3.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表：

8101520304050

681217253239

0.780.70.80.80.80.80.80

50053

(1)计算表中进球的频率；

(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？

⑶这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投中8次

吗？

解析：概率约是0.8

不一定.投10次篮相当于做10次试验，每次试验的结果都是随机

的，所以投10次篮的结果也是随机的.

思考2.公元1053年，大元帅狄青奉旨，率兵征讨侬智高.由于士兵

士气不高，很难取胜，为了提高士气，出征前，狄青拿出一百枚“宋元

通宝”铜币，向众将士殷殷许愿：“如果钱币扔在地上，有字的一面

会全部向上，那么这次出兵可以打败敌人！”在千军万马的注目之下，

狄青将铜币用力向空中抛去，奇迹发生了：一百枚铜币，枚枚向上.顿

时，全军欢呼雀跃，将士个个认定是神灵保佑，战争必胜无疑.事实

上，铜币正反面都是一样的！同学样想一下，如果铜币正反面不一样，

那么这一百枚铜币正面全部向上的可能性大吗？

思考3.如果某种彩票的中奖概率为1/1000,那么买1000张这种彩票

一定能中奖吗？(假设该彩票有足够多的张数.)

不一定。买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结

果都是随机的，所以做1000次的结果也是随机的。

虽然中奖张数是随机的，但这种随机性中具有规律性。随着试

验次数的增加，即随着买的彩票张数的增加，大约有1/1000的彩票

中奖。

买张彩票中奖的概率为：/八八八\1000

1000‘999、

1-=0.6323

40007-

三、达标检测

通过练习巩固本

节所学知识，通过学

生解决问题，发展学

生的数学抽象、逻辑

推理、数学运算、数

学建模的核心素养。

1.（多选题）给出下列四个命题，其中正确的命题有（）

A.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直潮

51

Too

B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是

D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率

解析对于A,混淆了频率与概率的区别，故A错误；

对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误；

对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是（

定义，故C正确；

对于D,频率是概率的估计值，故D正确.

故选:CD.

答案CD

2.某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明（）

A.该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件

B.该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件

C.合格率是99.99%,很高，说明该厂生产的10000件产品中没有

不合格产品

D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%

［答案］D

3.为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出

一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，

然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，

再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，

假设有40尾，根据上述数据，估计水库中鱼的尾数为________.

【解析】求2000尾鱼占水库中所有鱼的百分比f

求带记号的鱼在500尾鱼中占的百分比一

根据二者的关系列等式一求解，估计水库中鱼的尾数25000

4.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随

机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示：已知

这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.

一次性购物数1至5至9至17彳手及以

13至16件

量4件8件12件上

顾客数（人）X3025y10

结算时间（分/11.522.53

人)

(1)求x,y的值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.

解：(1)由已知得〈所以x=15,y=20.

x+30=45,

(2)设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，

事件L为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，

事件A?为“一位顾客一次购物的结算时间为3分钟”，所以P(A)

2010

=P(Ai)+P(A2)=---+——=0.3.

100100

四、小结

通过总结，让学

频率