专题03 三角形的证明与计算（原卷版）

2/2专题03三角形的证明与计算目录热点题型归纳 1题型01三角形与全等 1题型02三角形与相似 9题型03三角形边角计算 19中考练场 31题型01三角形与全等【解题策略】六个全等模型手拉手模型倍长中线模型平行线中等模型雨伞模型【典例分析】例．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．【变式演练】1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，延长交于F．求证：．2．（2022·安徽·模拟预测）如图，在等腰与等腰中，，连接，相交于点，连接，，．(1)探究线段，有何关系？写出结论并说明理由．(2)若，，求的值．(3)直接写出的值．3．（2023·河北石家庄·一模）如图，在中，为线段上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作射线．(1)求证：，并求的度数；(2)若F为中点，连接，连接并延长，交射线于点G，当时．①求的长；②直接写出的长．题型02三角形与相似【解题策略】8字模型 反8字模型手拉手模型一线三等角模型【典例分析】例．（2023·湖南常德·中考真题）如图，在中，，D是的中点，延长至E，连接．

(1)求证：；(2)在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作于F，设H是的中点，过点H作交于G，交于M．求证：①；②．【变式演练】1．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，在等腰中，，为边上一点，为延长线上一点，且，连接，，，延长交于点，为的中点，为射线上一点，连接，交延长线于点，且．(1)求证：；(2)若为的中点，求的值；(3)在（2）的条件下，当时，求证：．2．（2023·上海虹口·一模）如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．(1)求证：；(2)如果，求证：．3．（2024·上海普陀·一模）已知：如图，在中，点D在边上，，，与交于点F．(1)求证：；(2)连接，如果，求证∶．4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）在和中，，直线与交于点．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，写出与的数量关系，并说明理由；(3)如图2，若，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）．题型03三角形边角计算【解题策略】勾股定理常见折叠模型：计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：

例：DB2+BC2=DC2例：DB2+AB2=AD2例：BM2+AB2=AM2MN=MC2例：FC=AC例：AD=AC【典例分析】例．（2022·四川资阳·中考真题）如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接．(1)求证：；(2)若，求的面积．【变式演练】1．（2023·湖北黄冈·一模）如图，在中，，点D在上，且，E为的中点，连接并延长，交于点F．(1)求的度数；(2)若，求的长．2．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，平分交于点E，于点D，交于点G，过点G作交于F，连接．(1)求证：；(2)若，，求线段的长度．3．（2023·安徽·模拟预测）某校数学兴趣小组对四边形进行了如下探究：在四边形中，对角线相交于点．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若（为锐角），求四边形的面积；（用含的代数式表示）(3)如图3，若，求四边形的面积．4．（2024·山西朔州·一模）综合与实践在中，为边的中点，以为顶点作．(1)如图1，当射线经过点时，交边于点，不添加辅助线，则图①中与相似的三角形有______．（填序号）①

②

③

④(2)如图2，将绕点沿逆时针方向旋转，分别交线段于点，（点与点不重合），求证：．(3)在图2中，若，当的面积等于的面积的时，求线段的长．1．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，连接与交于点，连接，．(1)求证：；(2)若，，求四边形的周长．2．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．

(1)求证：；(2)若时，求的长；(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．3．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．

4．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

(1)求证：；(2)若，时，求的面积．5．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．6．（2023·山东临沂·中考真题）如图，．(1)写出与的数量关系；(2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：；(3)在（2）的条件下，作的平分线，