福建省龙岩北大附属实验学校2022-2023学年八下期中数学试卷（解析版）

龙岩北附2022—2023学年第二学期八年级期中试卷数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列式子为最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】最简二次根式符合两个条件：被开方数中不含有分母，被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可.【详解】解：，故A不符合题意；，故B不符合题意；，故C不符合题意；是最简二次根式，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是最简二次根式的判断，掌握“最简二次根式的定义”是解本题的关键.2.如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是()A.1 B. C.2 D.2【答案】C【解析】【分析】根据菱形ABCD的周长，求出菱形ABCD的边长，再由∠A＝60°，断定△ABD是等边三角形，从而求解．【详解】∵菱形ABCD的周长为8，

∴菱形ABCD的边长＝8÷4＝2，

∵∠A＝60°，AD＝AB，

∴△ABD等边三角形，

∴AB＝BD，

∴BD＝2，

故选C．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解题的关键是证明△ABD是等边三角形，属于中考常考题型．3.下列各组线段长度能构成直角三角形的一组是（）A.5，12，13 B.6，7，8 C.3，4，6 D.7，12，15【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理（看看两小边的平方和是否等于大边的平方）分别进行判断即可．详解】A、∵52+122=132，∴以5，12，13为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意；B、∵62+72≠82，∴以6，7，8为边三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵32+42≠62，∴以3，4，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵72+122≠152，∴以7，12，15为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是能熟记定理．4.函数（）的图象经过点，则这个函数的解析式是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把点A的坐标代入函数解析式求出k值即可得解．【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，∴，解得，∴正比例函数的解析式为．故选：D．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，把点的坐标代入函数解析式计算即可，比较简单．5.如图，的对角线AC，BD相交于点O，是AB中点，且AE+EO=4，则的周长为A.20 B.16 C.12 D.8【答案】B【解析】【分析】首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD周长=2×8=16，故选B．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．6.已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里【答案】D【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，根据勾股定理得：（海里）．故选：D【点睛】本题考查了勾股定理，方位角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．7.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（）A.15 B.61 C.69 D.72【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理可知：直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方．两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积．【详解】解：如下图：由勾股定理可知：，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．8.下列说法正确的是（）A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.四条边都相等的四边形是正方形C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D.四个角相等的四边形是矩形【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可【详解】解：A：对角线互相垂直且平分的的四边形是菱形，故A错误，不符合题意B：四条边都相等且有一个角为直角的平形四边形是正方形，故B错误，不符合题意C：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C错误，不符合题意D：四个角相等的四边形是矩形，说法正确，符合题意故选D【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题关键．9.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据菱形的面积和性质求出BD的长度，再结合DH⊥BC和菱形的性质识别出OH为斜边上的中线，即可得出结果．【详解】解：菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，S菱形ABCD＝24，∴，，S菱形ABCD．∵OA＝4，∴．∵DH⊥BC于点H，∴OH为斜边上的中线．∴．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质，识别出OH为斜边上的中线是解题关键．10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）A.（3，4），（2，4） B.（3，4），（2，4），（8，4）C.（2，4），（8，4） D.（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】【分析】分为两种情况：①OD＝OP，求出CP，即可求出P的坐标；②DP＝OD＝5，此时有两点，过P′作P′N⊥OA于N，求出CP′即可；同法可求P″的坐标．【详解】解：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，则P的坐标是（3，4）；②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，过P′作P′N⊥OA于N，Rt△OP′N中，设ON=x，则DN=5-x，P′N=4，DP′=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，解得：x=2，则P′的坐标是（2，4）；过P″作P″M⊥OA于M，设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P″的坐标是（8，4）；假设OP=PD，则由P点向OD边作垂线，交点为Q，则有PQ2十QD2=PD2，∵OP=PD=5=OD，∴此时的△OPD为正三角形，于是PQ=4，QD=OD=，PD=5，代入PQ2十QD2=PD2，不成立，所以排除此种可能．故选B．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的判定的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意：一定要进行分类讨论．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11.在函数中，自变量x的取值范围是_________．【答案】且【解析】【分析】根据开平方时，被开方数不能小于零，分母不能为零，从而求出自变量x的取值范围．【详解】解：由题可知，且，且，故答案为：且．【点睛】本题考查了自变量的取值范围，掌握此函数关系式中分母不为0，被开方数大于等于0是解题的关键．12.平行四边形的周长为16，一边长为5，则另一条邻边长为________．【答案】3【解析】【分析】根据平行四边形的对边相等，求出两邻边的和，再根据题意求解即可．【详解】解：，．，故答案为：3．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．13.在中，，则________．【答案】【解析】【分析】根据平行四边形的对角相等、邻角互补即可得出的度数．【详解】解：如图所示：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质；解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．14.已知直角三角形的两条边为，这个直角三角形第三边的长为_____．【答案】或【解析】【分析】分两种情况结合勾股定理解答，即可求解．【详解】解：当这个直角三角形的两直角边分别为时，该三角形的斜边的长为；当为直角边，为斜边时，第三边长为．综上所述，这个直角三角形第三边的长为或．故答案为或．【点睛】本题主要考查了勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．15.已知四边形ABCD中，，，，若，，则四边形ABCD的面积为________．【答案】或【解析】【分析】先根据题意画出图形，然后过A作AE⊥BC垂足为E,然后根据直角三角形的性质和勾股定理求得AE，再说明四边形ABCD是等腰梯形和平行四边形两种情况解答即可．【详解】解：如图：过A作AE⊥BC垂足为E∵∴∠BAE=30°∵AB=6∴BE=,=6∴①∵,=6∴四边形ABCD是等腰梯形∴AD=BC-2BE=9-2×3=3∴四边形ABCD的面积为．②∵,=6∴四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD的面积为．故答案为或．【点睛】本题主要考查了四边形的综合、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半是解答本题的关键．16.如图，正方形的边长为3，E是上一点，，连接与相交于点F，过点F作，交于点G，连接，则点E到的距离为_____．【答案】【解析】【分析】本题首先经过分析可得，由全等三角形的性质和边角关系可得为等腰直角三角形，进而为等腰直角三角形，由勾股定理及等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】如图，作，连接，在正方形ABCD中，，在和中，，，，，，在四边形ABGF中，，又，，，，，等腰直角三角形，，为等腰直角三角形，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，等腰直角三角形的判定，勾股定理，直角三角形中锐角三角函数，题目综合性强，理清思路，准确作出辅助线是解题的关键．三、解答题：（本大题有9小题，共86分）17.计算：．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则，将二次根式化为最简二次根式，利用零指数幂、绝对值的求法计算，最后进行加减运算即可得出．【详解】解：原式．【点睛】本题考查二次根式的混合运算的理解与运用能力．二次根式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号时先算括号里面的．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．任何不等于0的数的零次幂都等于1．灵活运用二次根式的混合运算法则先将各个二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算是解本题的关键．18.已知的小数部分是a，的小数部分b，求ab的值．【答案】【解析】【分析】估算出的大小，进而表示出，即可求解．【详解】解：，，∵的小数部分是a，的小数部分b，∴，，∴．【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，正确的求得的值是解题的关键．19.已知：中，，，，求和的长．【答案】、【解析】【分析】作，在两直角三角形中分别根据勾股定理即可解答本题．【详解】解：作，，，，在，根据勾股定理得，，，，，则，在，根据勾股定理得．【点睛】本题考查了勾股定理，正确做出辅助线并根据勾股定理列出关系式是解答本题的关键．20.如图，在矩形中，O为的中点，过点O作分别交，于点E，F．求证：四边形是菱形．【答案】证明见解析【解析】【分析】先证四边形为平行四边形，然后根据平行四边形对角线垂直证得菱形．【详解】证明：如图，∵四边形是矩形，∴∴∵O为的中点∴∵∴≌（）∴∴四边形是平行四边形又∵∴四边形是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形．21.如图，在平行四边形中，，在取一点E，使得，连接．（1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点F，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论）（2）根据（1）中作图，经过学习小组讨论发现，并给出以下证明，请将证明过程补充完整．证明：________________四边形为平行四边形________________平分________________四边形为平行四边形________________即在中，．【答案】（1）见解析；（2），，，．【解析】【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；（2）先由得，再根据平行四边形的性质及平行线的性质得到，则，接着利用和平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理得到．【小问1详解】解：如下图：【小问2详解】证明：四边形为平行四边形平分四边形为平行四边形即在中，．【点睛】本题考查了复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握平行四边形和平行线的性质是解题的关键．22.如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．（1）求证：．（2）若，，求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得出边角相等的关系，证明三角形全等就可证；（2）利用全等三角形的性质和三角形外角的性质进行计算和变形就可求出β与α之间的数量关系．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，，在和中，，∴（SAS），∴；【小问2详解】证明：由（1）知，，又∵，∴，∴，∴∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定，掌握以上知识点结合图形灵活运用是做出本题的关键．23.阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，．当然也可以利用得，故，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）化简：；（2）计算：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据平方差公式可以将分母有理化，然后化简即可；（2）根据分母有理化的方法，可以将式子化简，然后计算加减法即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．【点睛】此题考查了分母有理化，涉及了平方差公式和二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的有关运算．24.如图，在中，于点D，在线段上取点E使得，平分交于点F，连接．（1）若，，，求的长；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）先判断出，再用勾股定理求出，进而用勾股定理求出；（2）过点F作，再判断出，得出，可得结论．【小问1详解】解：∵，∴，在中，，，∴，在中，，，∴；【小问2详解】证明：如图1，由（1）知，，∵DF平分，∴，过点F作，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出，，作出辅助线是解本题的难点．25.已知，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上，AH=2．（1）如图1，当DG=2，且点F在边BC上时.求证：①△AHE≌△DGH；②菱形EFGH是正方形；（2）如图2，当点F在正方形ABCD的外部时，连接CF.①探究：点F到直线CD的距离是否发生变化？并说明理由；②设DG=x，△FCG的面积为S，是否存在x的值，