陕西省西安市交大附中分校高三数学文期末试题含解析

陕西省西安市交大附中分校高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A解：设圆柱的高为h,则圆柱的底面半径为，圆柱的体积为V==

(0<h<R),,时V有最大值为。

2.已知圆C的方程为，点M在直线上，则圆心C到点M的最小距离为A.

B.

C.

D.参考答案：C3.已知函数，且，则的值是（）A.

B.

C.

D.参考答案：A：因为，所以，所以，故选A.4.已知命题：，则是（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略5.i是虚数单位，若(a,b∈R)，则lg(a+b)的值是A．-2 B． -1 C．0 D．参考答案：C6.函数的导函数为，对R，都有成立，若，则不等式的解是（▲）。A.

B．

C．

D．参考答案：A略7.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，为自然对数的底数)，，．有下列命题：①在递减；②和存在唯一的“隔离直线”；③和存在“隔离直线”，且的最大值为；④函数和存在唯一的隔离直线．其中真命题的个数

（A）个

（B）个

（C）个

（D）个参考答案：C8.经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0参考答案：A【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心坐标，直线的斜率，然后求解直线方程即可．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心（1，﹣1），与直线2x﹣y=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+1=2（x﹣1）．∴2x﹣y﹣3=0．故选：A．【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与直线的位置关系的应用，考查计算能力．9.若变量x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：B作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时有最大值，由，解得，所以，直线经过点时，有最小值，由，解得，所以，所以，故选B.

10.某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名．无论是否把我算在内．下面说法都是对的，在遮些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护。士；至少有一名男医生，”请你推断说话的人的性别与职业是A．男医生

B．男护士

C．女医生

D．女护士参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x，y满足约束条件的最小值是

.参考答案：12.已知正数x、y，满足＝1，则x＋2y的最小值

.参考答案：1813.等比数列（）中，若，，则

.参考答案：64在等比数列中，，即，所以，。所以。14.（几何证明选讲）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝，则＝＿＿＿参考答案：15.已知，且，则的值是

.参考答案：答案：

16.在区间（0，2）内任取两数m，n（m≠n），则椭圆的离心率大于的概率是

．参考答案：【考点】几何概型；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由已知中在区间（0，2）内任取两个实数，我们易求出该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件椭圆的离心率大于对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：区间（0，2）内任取两个实数计为（m，n），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，当m＞n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，m＞2n；当M＜n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，n＞2m；故其中满足椭圆的离心率大于时，有m＞2n或n＞2m．它表示的平面区域如下图中阴影部分所示：其中正方形面积S=4，阴影部分面积S阴影=2××2×1=2．∴所求的概率P==故答案为：．【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中计算出总的基本事件对应的几何图形的面积及满足条件的几何图形的面积是解答本题的关键．17.在直角梯形ABCD中，AB=2DC=2AD=2,∠DAB=∠ADC=90°，将△DBC沿BD向上折起，使面ABD垂直于面BDC，则C－DAB三棱锥的外接球的体积为-________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知角是的内角，分别是其对边长，且.（1）若，求的长；（2）设的对边，求面积的最大值.参考答案：（1）；（2）.

略19.已知函数.（Ⅰ）若不等式的解集为，，求的取值范围；（Ⅱ）若为整数，，且函数在上恰有一个零点，求的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数对任意的x∈，有恒成立，求实数的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）由题知------2分，∈（2，+∞）----4分（Ⅱ）时，f(x)=－2x+1,零点为，不合，舍去；------1分时，∵∴

，，∴函数必有两个零点，又函数在上恰有一个零点，∴------4分，又，∴

----6分（Ⅲ），，整理得

--------2分令H(x)=，，在（1，+∞）上单调增，又，>0,-----4分

∴H(x)=在（1，+∞）单调增，，k≥1,k的最小值为1.----6分略20.已知函数，为的导函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若，使成立，求实数a的最小值.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）写出函数定义域，求导数得导函数的零点，列表即可写出函数的极值（2）原不等式成立可转化为，而通过换元令，可求其最大值为1，原题转化为存在，，即，利用导数求，的最小值即可.【详解】（1）的定义域为，当时，，令，得，列表得--0+极小值

所以当时，取得极小值，且极小值为；无极大值.（2）若，使成立由（1）知，，所以，令，则原式的最大值为1，故存在，，即，化，令，，则.对于函数，（），，当时，取最大值为，所以，所以，故恒成立，在为减函数，最小值为，所以，的最小值为.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，利用导数研究不等式成立的问题，涉及存在性问题，构造函数利用导数求其最大最小值问题，换元法，属于难题.此类问题要注意理解存在性和恒成立的差别，结合具体问题实现正确转换为最大值和最小值是关键.21..已知为椭圆上两点，过点P且斜率为的两条直线与椭圆M的交点分别为B，C.（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC为平行四边形，求k的值．参考答案：（Ⅰ），离心率；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由题列a,b方程组，即可求解椭圆方程，再由a,b,c关系，求解离心率；（Ⅱ）设直线的方程为，与椭圆联立消去y,得x的方程，求点B坐标，同理求点C坐标，进而得再由，得k方程求解即可【详解】（I）由题意得解得所以椭圆的方程为.又，所以离心率.（II）设直线的方程为，由消去，整理得.当时，设，则，即.将代入，整理得，所以.所以.所以.同理.所以直线的斜率.又直线的斜率，所以.因为四边形为平行四边形，所以.所以，解得或.时，与重合，不符合题意，舍去.所以四边形平行四边形时，.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，韦达定理，设而要求的思想，准确求得B,C坐标且推得是本题关键，是中档题22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若，E为棱CD的中点，，，求二面角的余弦值．参考答案：（1）见解析；（2）分析：（1）由四边形为矩形，可得，再由已知结合面面垂直的性质可得平面，进一步得到，再由，利用线面垂直的判定定理可得面，即可证得平面；（2）取的中点，连接，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题得，解得.

进而求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.

∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）设BC中点为,连接，，又面面，且面面，所以面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，设，可得

所以由题得，解得.

所以设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.