河南省焦作市博爱县第四中学高三数学理摸底试卷含解析

河南省焦作市博爱县第四中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知一个三棱锥的三个三视图的轮廓都是边长为1的正方形，此三棱锥外接球的表面积是（

）A．

B．2

C．3

D．4参考答案：C如图所示，该三棱锥为棱长为的正三棱锥，嵌于棱长为1的正方体内。所以此三棱锥外接球的直径，表面积，故选择C。2.已知，若恰有两个根,则的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：D由题意，所以，从而，求导可得，当时，，当时，，所以函数在，所以选D.点睛：判断函数零点问题，可以转化为方程的根或者两个函数的交点问题，特别是选择题、填空题，通过函数图像判断较简单。涉及至少、至多这类问题的证明可以考虑反证法，注意假设的结论是求证问题的反面，即原命题的非命题。3.已知的值等于 （

）A．1 B．2 C．3 D．－2参考答案：C4.已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为（

） 参考答案：【答案解析】B

解析：因为直线与直线互相垂直，所以，即，所以，所以选B.【思路点拨】根据两直线垂直的条件得：所以.5.下列推断错误的是()A.命题“若则”的逆否命题为“若则”B.命题p：存在，使得，则非p：任意x∈R，都有C.若p且q为假命题，则p，q均为假命题D.“”是“”的充分不必要条件参考答案：C6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．7.命题“使得”的否定是(

)A．均有B．均有C．使得D．均有参考答案：B8.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取得2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（

）A．至少有1个黑球与都是黑球

B．至少有1个红球与都是黑球C．至少有1个黑球与至少有1个红球

D．恰有1个黑球与恰有2个黑球

参考答案：D略9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．1

B．2

C．3

D．6参考答案：B由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面表示长和宽分别为的矩形，高为的一个三棱锥，所以该几何体的体积为，故选B．

10.函数在内有极小值，则(

)A． B． C． D．参考答案：C考点：导数的综合应用【名师点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力，属中档题.解题时求出函数的导数，得到极值点，判断函数的单调性，求出极小值点，得到关系式，求解即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，a2=5，则S6=

．参考答案：722【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】=，可得an+1+1=3（an+1），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴an+1+1=3（an+1），∴5+1=3（a1+1），解得a1=1．∴数列{an+1}是等比数列，公比为3，首项为2．∴an+1=2×3n﹣1，解得an=2×3n﹣1﹣1，则S6=﹣6=722．故答案为：722．12.经过抛物线的焦点，且以为方向向量的直线方程是

.参考答案：y=x-113.已知关于的方程有两个不等的负实数根；关于的方程的两个实数根，分别在区间与内（1）若是真命题，则实数的取值范围为____________.（2）若是真命题，则实数的取值范围为____________.参考答案：略14.

已知：两个函数和的定义域和值域都是，其函数对应法则如下表：则

参考答案：15.已知，为与中的较小者，设，则=__▲____参考答案：16.已知向量，，，若，则____________.参考答案：略17.将甲、乙、丙3名志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在乙、丙的前面，则不同的安排方法共有

种.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．

参考答案：解答： 解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，Smax=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．

略19.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．

（5分）（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|4，解此不等式得a﹣3或a5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3∪[5，+∞）

（10分）．20.某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a、b的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率．参考答案：【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）利用频率和为1求出第六组的频率；利用频率等于频数除以样本容量求出此次测试总人数．（2）利用频率分布直方图中的中位数左右两边的面积相等即频率相等，判断出中位数所在的小组．（3）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及a、b到少有1人入选的情况；利用古典概型概率公式求出a、b至少有1人入选的概率．【解答】解：（1）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，∴此次测试总人数为（人）．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．（4分）（2）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内．（8分）（3）设成绩优秀的9人分别为a，b，c，d，e，f，g，h，k，则选出的2人所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，ak；bc，bd，be，bf，bg，bh，bk；cd，ce，cf，cg，ch，ck；de，df，dg，dh，dk；ef，eg，eh，ek；fg，fh，fk；gh，gk；hk．共36种，其中a、b到少有1人入选的情况有15种，∴a、b两人至少有1人入选的概率为．（12分）【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、中位数及古典概型等内容．21.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且+=（1）求角A的大小；（2）若=+，a=，求b的值．参考答案：解：（1）由题意+=3，即+=1，整理得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理知cosA==，∵在△ABC中，0＜A＜π，∴A=；（2）由正弦定理得：===，所以+cosA=+=+，解得tanB=，则cos2B===，又B∈（0，π），所以sinB==，又a=，sinA=，由正弦定理得b===2．略22.已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆