河南省郑州市郑中国际学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023﹣2024学年下学期八年级期中测评一、选择题(共10小题，共3*10＝30分)1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列数学式子：①﹣3<0；②2x＋3y≥0；③x＝1；④；⑤x＋1≠3；其中是不等式的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（）A．15元 B．18元 C．19元 D．20元5．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点D，过点D作，交AB于E，交AC于F，若BE＝8，CF＝6，则EF的长是（）A．4 B．2．5 C．1．5 D．26．等于（）A． B． C． D．﹣27．如图，在△ABC中，，∠BAC＝30°将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则的长为（）A．3 B． C． D．48．一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”，比如：，就是“智慧数”．从0开始，不大于2023的“智慧数”共有（）A．1009个 B．1012个 C．1011个 D．以上都不对9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，△DEC可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，且，连接BD，则BD的长为（）A． B． C． D．510．现规定一种新运算，a※b＝ab＋a﹣b，其中a、b为常数，若(2※3)＋(m※1)＝6，则不等式的解集是（）A． B．x<0 C．x>1 D．x<2二、填空题(共5小题，共3*5＝15分)11．当x＝﹣1时，分式的值是______．12．要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设______．13．如图，将△APB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到．若BP＝2，则线段的长为______．14．对于实数对(a，b)，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对(x﹣1，3)，若，则x的最小整数值是______．15．在直角三角形纸片ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，分别在AC，AB边上取一点M，N，沿着MN把△AMN剪掉，剩下的四边形BCMN恰好是一个轴对称图形，则剪掉的△AMN的面积是______．三、解答题(共8小题，共75分)16．(3*4＝12分)因式分解：(1)； (2)．(3)； (4)17．(9分)△ABC与在平面直角坐标系中的位置如图．(1)分别写出下列各点的坐标：______；______；______；(2)说明由△ABC经过怎样的平移得到?______．(3)若点P(a，b)是△ABC内部一点，则平移后内的对应点的坐标为______；(4)求△ABC的面积．18．(9分)已知△ABC为等边三角形．(1)如图，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接PA，PB，PC，求证：PB＋PC＝PA；(2)如图，P为△ABC内一点，若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度数．19．(8分)机器人AD在水平线路BC间(不含B，C)做往返运动，BC＝10，D为BC上动点，AD⊥BC，AD＝6，连接AB，AC．(1)机器人在运动中，△ABC周长是否改变?______(填“变”或“不变”)；△ABC面积是否改变?______(填“变”或“不变”)．(2)机器人运动到BC中点时，判断△ABC的形状，并说明理由．(3)机器人运动中△ABC为等腰三角形，点D的位置有______处．20．(8分)阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式。(a≠0)的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：＝(x＋10)(x﹣1)根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式；(2)用多项式的配方法将化成的形式，并求出多项式的最小值；(3)求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．21．(8分)先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．例题：解一元二次不等式(3x﹣6)(2x＋4)>0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．解不等式组①得x>2，解不等式组②得x<﹣2．所以一元二次不等式(3x﹣6)(2x＋4)>0的解集是x>2或x<﹣2．(1)求不等式(2x＋8)(3﹣x)<0的解集；(2)求不等式的解集．22．(9分)某汽车销售公司经销某品牌A、B两款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元．(1)公司预计用不多于135万元且不少于129万元的资金购进这两款汽车共20辆，有几种进货方案，它们分别是什么?(2)如果A款汽车每辆售价为9万元，B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使(1)中所有的方案获利相同，a值应是多少，此种方案是什么?(提示：可设购进B款汽车x辆)23．(12分)小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．(1)【问题发现】：如图1，“D是等边△ABC的边BC上的一动点，其中等边△ABC的边长为10，以AD为边在AB上方作等边△ADE，小明认为AD有最小值，那么AD的最小值是______．(2)①【问题探究】：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为______；线段BE与AD之间的数量关系是______．②【问题探究】：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．【问题解决】(3)如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝5，CD＝4，求四边形ABCD面积的最大值．答案一、选择题1．A2．C3．D4．C5．D6．A7．A8．B9．B10．B．二、填空题11．．12．等腰三角形的两底都是直角或钝角．13．．14．8．15．1.5或．三、解答题16．解：(1)；(2)；(3)；(4)．17．解：(1)；(2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；或：先向下平移2个单位，再向左平移4个单位；(3)；(4)△ABC的面积：．故答案为：(1)(﹣3，1)，(﹣2，﹣2)，(﹣1，﹣1)；(2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；(3)(a﹣4，b﹣2)．18．证明：(1)如图1，延长BP至点E，使得PE＝PC，连接CE，∵∠BPC＝120°，PE＝PC，∴∠CPE＝60°，∴△CPE为等边三角形，∴CP＝PE＝CE，∠PCE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BCA＝60°，∴∠ACB＝∠ECP，∴∠ACB＋∠BCP＝∠ECP＋∠BCP，即：∠ACP＝∠BCE，在△ACP和△BCE中，∴△ACP≌△BCE(SAS)，∴AP＝BE，∵BE＝BP＋PE＝BP＋PC，∴PB＋PC＝PA；(2)如图2，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到，连接，由旋转知，，∴，，，，又∵，∴是等边三角形，∴，，在中，PC＝13，，，∴，即，．19．解：(1)变；不变；(2)当机器人运动到BC中点时，△ABC是等腰三角形．理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵机器人在BC中点，∴BD＝BC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(3)3．20．解：(1)；(2)，即多项式的最小值为﹣18；(3)则x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．21．解：(1)由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”有①或②，解不等式组①得x>3，解不等式组②得x<﹣4，所以一元二次不等式(2x＋8)(3﹣x)<0的解集是x>3或x<﹣4；(2)由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”有①或②，解不等式组①得：﹣3≤x<2，解不等式组②无解，所以不等式的解集是﹣3<x<2．22．解：(1)设购进A款汽车每辆x辆，则购进B款汽车(20﹣x)辆，依题意得：129≤7.5x＋6(20﹣x)≤135．解得：6≤x≤10，∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案，它们分别是：购进A款汽车6量，B款汽车14量；购进A款汽车7量，B款汽车13量；购进A款汽车8量，B款汽车12量；购进A款汽车9量，B款汽车11量；购进A款汽车10量，B款汽车10量．(2)设总获利为W万元，购进B款汽车x辆，则：W＝(9﹣7.5)(20﹣x)＋(8﹣6﹣a)x＝(0.5﹣a)x＋30．当a＝0.5时，(1)中所有方案获利相同．此时，购买A款汽车6辆，B款汽车14辆时对公司更有利．23．解：(1)；(2)①60°，BE＝AD；②∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM，理由：同①的方法得，△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝