高等数学数1期末复习题

选择题

Jxy+1-1

A.不存在；B.0；C.-2；D.2.

答案：D

知识点：8.2.1

难度：2

2.设I是球面x2+y2+z2=1的外侧，则积分Rudydz-2ydzdx+zdxdy=.

2

A.1；B.2；C.0；D.3.

答案：C

知识点：10.6.1

难度：2

fr—”<尤<0

3.设/(x)以2用为周期，在［-xQ上的表达式为/(%)=「,则/(%)的

[0,OVxVJF

傅里叶展开式中的系数幻为.

“1R-COS演,

A.1;B.--------------；C.-1;

n

答案：B

知识点11.5.1

难度：2

4.二次积分J:y)dy交换积分顺序后为.

A.fody\^f(x,y)dx-,B.\Qdy\^f(x,y)dx；C.\Qdy\^f(x,y)dx；D.

f0力，.

答案:A

知识点：9.2.1

难度：2

5.微分方程产="的通解为

x2x

A.y=e+C^+C2x+C3；B.y=c"+G；C.y=e；D.y=e'+G+G+G・

答案：A

知识点：12.6.1

难度:2

6.设/(x,y)在。上连续，且/(x,y)=1+xy^f(x.y)dxdy\,其中积分域

I。)

。为0«元41,04y41,则於,')=.

A.4xy+l；B.2盯+1；c,xy+1；D.3xy+l.

答案：A

知识点：9.2.1

难度：2

7.设曲面七为上半球面z=Jl一炉-之，则02ds=.

Z

A.2#；B.4索；C.-2雳；D.0.

答案：B

知识点：10.4.1

难度：2

8.设/（无）以2用为周期，在[-x城上的表达式为/（X）=，'，则/（X）的

[0,0VxVJF

傅里叶级数在点X=--处收敛于.

A.0;B,~；C.--;D.<.

22

答案;c

知识点：11.5.1

难度：2

9•级数益,.

A.发散；B.可能收敛，也可能发散；C不收敛，也不发散；D.收敛.

答案：D

知识点：11.2.1

难度：2

io.微分方程了=0的通解为.

2

A.y=0；B.y=C；C,y=Cj+C2+C3；D.y=C^+C2x+C3.

答案：D

知识点：12.6.1

难度：2

11.基级数空11的收敛域为------.

n=l

A.(0,2]；B.[0,2)；C.[0,2]；D.(0,2).

答案：c

知识点：11.3.2

难度：2

■11

12.级数盲①方)--------

A.发散；B.可能收敛，也可能发散C其它；D.收敛.

答案：D

知识点：11.1

难度：2

13.设2是球面x2+y2+z2=1的外侧，则积分。xdydz+2ydzdx+3zdxdy=-------.

E

A.3x；B.4不；C.8<；D.6<.

答案：c

知识点：10.6.1

难度：2

14.设/(x)以2#为周期，在［一用,用)上的表达式为/(x)=F'-则/(x)的

|0,0<x<<

傅里叶级数在点x=4<处收敛于.

A.0;B.；C.一；D.开.

22

答案：A

知识点：11.5.1

难度：2

15.微分方程y・=/的通解为.

A.y=/+Gx?+Q,尤+C3；B.y=/+G；C.y=ex；D.y=e*+G+C2+C3.

答案：A

知识点：12.6.1

难度：2

16.设Q为三个坐标面与平面x+y+z=1所围闭区域，则jj|(x+y+z)dxdydz=.

a

A.1；B.—；C.1；D.以上答案都不对.

6128

答案:c

知识点：9.3.2

难度：2

17.微分方程型满足条件y*=0的特解为------.

0X

答案：C

知识点：12.2

难度：2

18.下列级数中条件收敛的是

-1-1-1-1

C.y（-1）"—；D.Z（T）丁

n=\nn=lUn

答案：D

知识点：11.2

难度：2

19.设平面曲线L为圆周x2+y2=2x,则曲线积分,ds=.

A.1；B.2；C.K；D.2..

答案：D

知识点：10.1.1

难度：1

20.函数f(x,y)在点(尤0,%))处偏导数存在，则在该点处函数f(x,y).

A有极限B必连续C必可微D以上结论都未必成立

答案:D

知识点：8.3.1,8.4.2

难度：2

21.设£是球面9+;/+z?=1的夕卜侧，贝ij积分好xdydz+ydzdx+zdxdy=.

1

A.n；B.2jr；c.3r；D..

答案：D

知识点：10.6.1

难度：2

22.若事级数£a.(x-1)"在x=-l处收敛，则该级数在x=2处.

n=0

A.条件收敛；B.绝对收敛；C,收敛性不确定；D.发散.

答案：B

知识点：11.3.2

难度：2

填空题

1.设z(x,y)=x2+(y-l)arcsinJ’,则

(2,1)

答案：4.

知识点：8.3.1

难度：2

2.设平面曲线L为y=x（04冗41）,贝11lyds=

答案；—

2'

知识点：10.1.2

难度：2

3.曲面/+〉2-2=0在（1,1,2）处的切平面为.

答案：2x+2y—z—2=0

知识点：8.7.2

难度:2

4.幕级数的收敛半径为

答案：1.

知识点：11.3.2

难度：2

5.微分方程色=町2的满足条件yko=1的特解为

dx

答案：1'=止.

y2

知识点：12.2

难度：2

JR

6.设Z=%3丁+sin(%y),贝I-=

QX

答案：3X2y+ycOSXy.

知识点：8.3.1

难度：2

7.曲线》=北丁=2/,2=3/在对应于r=1的点处的切线方程为.

知识点：8.7.1

难度:2

[2

8.二次积分fdx[Q/(x,y)dy交换积分顺序后为.

答案：1//J.f(x,y)dx.

知识点：9.2.1

难度：2

9.设z=/(x+y,孙)，其中/(M,V)具有一阶连续偏导数，则全微分dz

答案：(/；+<)dx+(f；+xf^dy.

知识点：8.5.1

难度，2

10.微分方程段=必的满足条件y11=0的特解为------

OX

33

答案：丫=工(写成工也可)

-3-3

知识点：12.2

难度：2

11.设z=ysin(x+y),则豆.

答案：sin(x+y)+ycos(x+y).

知识点：8.3.1

难度：2

12.二次积分f:dqj/(x,y)dy交换积分顺序后为

答窠：f'dy\^fix,y)dx.

2

知识点：9.2.1

难度：2

13.设z=£+/,贝Udz=.

答案：2x/+^dx+2y/+'dy.

知识点：8.4.1

难度:2

14.微分方程迎=x的满足条件yg=0的特解为

dx

22

答案：y=：!（写成立也可）

-2-2

知识点:12.2

难度：2

15.设z(x,y~)=x1+(y-l)arcsin

答案：2.

知识点：8.3.1

难度：2

16.设平面曲线L为圆周/+〉2=4（4>0）,则曲线积分I公

答案：

知识点：10.1.2

难度：2

17.曲面/+〉2-2=0在（11,2）处的切平面为.

答案：2x+2y—z—2=0

知识点：8.7.2

难度：2

18.累级数"£纪工

n的收敛半径为

答案：1.

知识点：11.3.2

难度：2

«(x-iy

19.嘉级数>"尸”的收敛域为_____.

看诉

答案：［0,2).

知识点：11.3.2

难度:2

20.微分方程=-COSX的通解为.

答案：y=sinx+C］九2+。2%+。3.

知识点：12.7.1

难度：2

21.设Z=%2y-xy1,则材(ij)=.

答案：dx—dy.

知识点：8.4.1

难度：2

22.曲面犬+丁2-2=0在(1,1,2)处的切平面方程为.

答案:2x+2y—z—2=0.

知识点：8.7.2

难度：2

23.设n是由曲面Z="Zy及平面Z=1所围闭区域，则川(x2+/)dv=

知识点：9.4.1

难度：2

24.塞级数£上的收敛域为

”=0"+1

答案：［-1,1).

知识点：11.3.2

难度：2

25.设L为犬+y2Ml的正向边界，由格林公式可得积分2ydx+3xdy=

踝X-

知识点:10,3.1

难度：1

计算题

~62z

1.设2=於,%)),其中/(%V)具有二阶连续偏导数，求靛仆

答案：乎=力'+比'段=必2"+%治"+外

dx3应)

知识点：8.5.1

难度：3

生

2.设函数z=z(x,y^eZ-xyz=0所确定，求aJ

一―fizyz

答案：一一二------

dxez-xy

知识点：8.6.1

难度：2

3.计算Uxyda,其中D为04xMl,0My=2.

D

答案：原式=j产Moydy=1

知识点：9.2.1

难度：2

4.计算JJln(l+x2+y)dxdy,其中积分域D为x?+y2Ml.

D

答案：原式=jo；ln(l+r2)rdr=2jrIn2~x=<(21n2-1)

知识点：9.2.2

难度：2

5.计算HfzdV,其中Q是由曲面z=Jl+y2及平面z=l所围成的闭区域.

1

答案：原式=［；*。8［()0401：2/=月］($-p}d?再

4

知识点：9.4.1

难度：2

2

6.计算［L(X+y)dx+(x+y)dy,其中L为区域%+y2Ml的正向边界.

答案：运用格林公式，原式=*1-l)dxdy=0

D

知识点：10.3.1

难度：2

7.计算JJdS,其中£为曲面2=必+，介于平面z=0与z=l之间的部分.

E

答案：原式=0J1+4X5+4-Y1dxdy=\^dO\［pJl+A^d~~-

Dry6

知识点：10.4.2

难度：2

8.将/(x)=」)展开成X的塞级数.

1-X

*9

3,,+1

答案：——7=£x-1<x<1

1—Xn=O

知识点：11.4.2

难度：2

9.求微分方程y'-2xy=满足y|户。=0的特解.

答案：通解y=(x+c)e-特解y=xe'

知识点:12.4.1

难度：2

10.求微分方程2y'-3y=0的通解.

2x3x

答案:特征方程r-2r-3=0勺=一l,r2=3,y=Qe-+C2e

知识点：12.8

难度：2

立Z.

11.设Z=InQ+Y+y2),求3为丫，

dz_2xd2z4xy

答案：一_~=—

dx1+x2+y2dxdv(l+x2+v)22

知识点：8.3.2

难度：2

12.设函数z=z(x,y)由x+y^+z-4z=0所确定，求z关于y的偏导数zy.

答案：至=上

dy2-z

知识点：8.6.1

难度：2

13.计算||x2dtr，其中。是由y=x,y=2及x=2所围成的闭区域.

D*

答案：原式=j]dx|_]凝白

知班点：9.2.1

难度：2

14.计算。-J^+/dxdy,其中积分域。为"r+,244.

D

答案：原式=102.如「02姐=?算

知识点：9.2.2

难度：2

15.计算jj|ydxdydz,其中C是由三个坐标面与平面x+y+z=1所围成的闭区域.

答案：.原式=ffdxdy\Q"X-yydz=（1一冗一y）dx=-

Dxy24

知识点：9.3.2

难度：2

16.计算|Xds,其中L为y=ln%(14%4e).

2

答案：JLxds=j：x-S+4dx=1[(1+e)5-2^]

知识点：10.1.2

难度：2

17.计算ffzdxdy,其中£是锥面z=J'+歹在平面z=0与z=1之间部分的上侧.

2

答案：原式=1J#tpdxdy=工氧

Dxy3

知识点：10.5.3

难度：2

18.求幕级数£(n+l)Z的收敛域及和函数.

n=0

Y]

答案：收敛域：—1<xd和函数：S(%)=(----)』-------

1-X(1-X)

知识点：11.3.2,11.3.3

难度：2

19.求函数/(x)=—关于x的幕级数展开式.

1-X

答案：=-1<x<i

1-Xn=0

知识点：11.4.2

难度：2

20.求微分方程y+5y+6y=/的通解.

答案：特征方程厂2+5厂+6=0,o=-2r2=-3,

2x3xx

齐次方程通解丫(尤)=。1"2'+。20-3'通解y=C}e-+C2e-+e/12

知识点：12.8,12.9.1

难度：2

21.计算jjxdxdy,其中积分域D为x=l,y=x,y=2x所围成的闭区域.

D

答案：原式=f：dxj、

知识点：9.2.1

难度：2

22.计算jjdxdy,其中D-|(x,y)|15x2+j2<；4|.

D

答案：原式=L.姐L，。如"双不―e)

知识点：9.2.2

难度：2

23.计算jjxyda，其中。是由九轴、y轴及直线%+y=1所围成的闭区域.

D

答案：原式=1xdxfoydy--

知识点：9.2.1

难度：2

24.计算［jdx+xdy,其中L为区域炉+y2Ml的正向边界.

答案：运用格林公式，原式=。(1一l)dxdy=O

D

知识点：10.3.1

难度：1

25.计算jJdS,其中£为曲面2=必+,介于平面z=()与Z=1之间的部分.

E

答案：原式=011+4胃+4?公6=］：却］他p=&后—-r

Dv6

知识点：10.4.2

难度：2

26.将/(无)=-^3展开成尤的嘉级数.

1-X

答案：==/，+1-1<X<1

1~Xn=0

知识点：11.4.2

难度：2

27.求微分方程y"-2y'-3y=0的通解.

2x3x

答案:特征方程r-2r-3=0rY=-l,r2=3,y=C.e-+C2e

知识点：12.8

难度：2

28.设z=/(x+y,xy),其中/(M,v)具有一阶连续偏导数，求dz.

答案：位=2公+在dy=(//+m)dx+(/：+或)办

Atdxdy

知识点：8.5.1

难度：2

29.设函数z=z(x,y)由函数x2+y2+z2-4z=0所确定，求—与《彳

dySv

答案：丝=—匕，色(2z)2+y

dy2-z3y2(2-z)3

知识点:8.6.1

难度：3

30.计算jjxyda，其中。是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域

D

原式=1］对］xydy=:

答案:

知识点:9.2.1

难度：2

31.计算｛1|(必+产刀丫，其中0是由锥面z=『+炉与平面z=2所围成的闭区域.

C

答案：利用柱面坐标变换可得I爪1+加公=/网0)皿：宓=乐.

知识点：9.4.1

难度：2

32.计算£(x2-y2)dx,其中L为y=/上从点。(0,0)到A(l,l)的一段弧.

]2

答案：原式==—

知识点：10.2.2

难度：2

33.计算jj(2x+z)dydz+zdxdy,其中£是有向曲面z=x2+y2(O^z5l),其法向量

与z轴夹角为锐角.

(Z=1

答案，补充曲面£：■!22，并取向下的一面，则

[x+y=1

西+i,(2x+z)dydz=-Hfdv=-3£rdr£2dz=-3*又由于

D

(2x+z)dydz+zdxdy=dxdy=-<，所以

知识点：10.6.1

难度：3

34,将函数/(x)=-展开成(x-3)的幕级数.

答案」=1^=它(一D"与二0<x<5

x3+X-3餐3

知识点：11.4.2

难度：2

35.求微分方程y-2y1-3y=d的通解.

答案：r--2r-3=0,r,=-1,r2=3,齐次通解Rx)=。/一工+C2e3x

通解)=。传7+。203'-J

4

知识点：12.8,12.9.1

难度：2

、、由

36.设z=/y-y2x,而x=rcosQ,y=rsin。求3r.

答案：—=——=(2xy-y2)cos9+(x2-2xy)sin9

drdr3ydr

=3/cosSsin9(cos&-sin6>).

知识点：8.5.1

难度：2

,匿a三

37.设函数z=z(x,y)由以-2xz+y=0所确定，求一与一

Svdydx

答案：名=-———,铲z4x

Jy3会-2xdydx(3z2-2x)2

知识点：8.6.1

难度：3

38.计算0xd。，其中。是由y=Inx,y=21nx及x=e所围成的闭区域.

D

答案：原式=「对:xdy=

知识点：9.2.1

难度：2

39.计算U(1+x2+y2)dxdy，其中积分域。为尤？+y?41.

D

答案：原式=上"如jo(l+r2)rrfr=—<

知识点：9.2.2

难度：2

40.计算曲线积分|£yds,其中平面曲线L为y=x(OVxMl).

_jj

答案：原式=fJlxdx=---

Jo-2

知识点：10.1.2

难度：2

41.求jjzdxdy,其中E是锥面z=1片+上在0&z©之间部分的下侧.

答案:J|zdxdy=—JJ-Jk+V*dxdy——

£D^-^+y2fl

知识点：10.5.3

难度：2

42.将函数/（无）=^^3展开成了的募级数.

1-X

X0

答案：—=£炉用-1<x<1

1—Xn=0

知识点：11.4.2

难度：2

43.求微分方程y-2y+y=e-工的通解.

答案：特征方程厂2—2厂+1=0々=r2=1，

x

齐次方程通解：y(x)=(G+xC2)e

特解y*=e~x/4通解y=(C1+xC,)ex+r/4

知识点：12.8,12.9.1

难度：2

应用题

1.求函数z=4a-y)-x2-y2的极值.

答案：应=4-2x,在=-4-2y驻点(2,-2)极大值为8.

知识点：8.9.1

难度：2

2.求柱面%2+/=1和必+Z2=1所围立体的体积.

答案:V=8,0dx41-Vdy=3

知识点：9.2.1

难度：2

3.已知曲线过点,其上任意点(x,y)的切线斜率等于自原点(0,0)到该切点连线斜

率的两倍，求此曲线方程.

答窠：y'=2―,y(l)=->所求方程y=Lv2

X33

知识点：12.2

难度:2

4.求平面3x+2y+z=1含在椭圆柱面2x?+/=1内的那部分面积.

答案：A=J1++Adxdy=J-Jiidxdy=/用

DD

知识点：9.5.1

难度：2

5.已知曲线y=y(x)上任意点(x,y)处的切线垂直于该点与原点的连线，求该曲线方程.

答案：>彳=一1，x2+/=c

知识点:12.2

难度：2

6.求锥面z=-Jx2+y2被柱面z?=2x所割下部分的曲面面积.

答案：A=及JJdxdy=2-闻何皿rdr-』x

D

知识点：9.5.1

难度：2

7.求曲面z=-x-y与曲面必+>2=4z所围成的立体的体积.

答案:V=口八dv=Io'""rdrdz=4)

知识点：9.3

难度:2

8.用铁板制作一个体积为2的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时表面积最小.

22

答案：设长为x,宽为y,则A=2(xy+-+-)(x>0,y>0)

驻点唯一(近,直)，长、宽、高均为近

知识点：8.9

难度：2

证明题

1.证明函数f(x,y)=7Rs(0,0)处连续、偏导数存在但不可微.

答案：lim/(x,y)=0=/(0,0),加0,0)=启0,0)=。

二重极限好…(。，。的-八3=lim

J(AV)2+(AV)2Ax—022

Ay—O(^)+(Ay)

因lim二重极限不存在，故不可微.

Axf♦12

出=tjr^OJ做)2+(A)

知识点：8.2.2,8.31,8.4.1

难度：2

-1-1

2.证明级数Zln(l+—)发散，并由此证明调和级也一也发散.

n=l"n=l"

n1-1

答案：S“=»i(l+I)=ln(l+")-8,故]》(1+或发散

11-1

—>la(l+7),而2Jta(l+—)发散，由比较审敛法即证

知识点：11.1.1,11.2.1

难度：2

XV

3.证明二重极限lim-^—5不存在.

二％+V

kx

答案：lim于(x,y)=lim.4\4-=—二重极限不存在

晨黑2—0户。X+%%\+k

知识点：8.2.1

难度：2

C23)

Ja。(x+y)dx+(x-y)dy在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分

值.

答