河南省郑州市六校联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省郑州市六校联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点为，为复数z的共轭复数，则（）A.8 B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由复数在复平面内对应的点为，可得复数，所以，则．故选：C．2.已知，其中为复数的共轭复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得，所以．故选：D．3.如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗将正三棱锥沿剪开，得到侧面展开图，如图所示，因为，即，由的周长为，要使的周长的最小，则共线，即，又由正三棱锥侧棱长为，是等边三角形，所以，即虫子爬行的最短距离是.故选：B.4.已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设顶点D的坐标为，由题意知，,根据向量的坐标运算解得；，解得：，即顶点D的坐标为.故选；A.5.如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则（）A.的长度大于的长度 B.的面积为4C.的面积为2 D.〖答案〗B〖解析〗由图象知：，，，为的中点所以，A错误；的面积，B正确；因为，，所以的上的高，的面积，C错误；，所以，D错误.故选：B.6.已知是两个不共线的向量，且，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线〖答案〗A〖解析〗，故，则，又因为两向量有公共点，故三点共线.故选：A.7.的内角、、的对边分别为、、，已知，，的面积为，则等于（）A.4 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，的面积为，所以,所以.由余弦定理得：.故选：D.8.已知复数z满足，则的最小值为（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗设复数在复平面内对应的点为，因为复数满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为，又表示点到点的距离，所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，当为时，到定点的距离最小，最小值为1，所以的最小值为1.故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.在中，若，则－定是钝角三角形B.在中，角的对边分别为，若，则是等腰三角形C.在中，角所对的边分别为，若，则一定是等腰三角形D.在中，若，则是一定钝角三角形〖答案〗BD〖解析〗对于选项A：，故为锐角，但不－定是钝角三角形，故A错误；对于选项B：由及正弦定理得，故，所以，即，即，因为，所以，故是等腰三角形，故B正确；对于选项C：由及正弦定理得，所以，因为，所以或即或，故等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于选项D：由及正弦定理得，由知为钝角，故是一定钝角三角形，故D正确．故选：BD.10.已知两个单位向量和的夹角为，则（）A.向量在向量上投影向量为 B.向量与向量的夹角为C.向量在向量上的投影向量为 D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗选项A：向量在向量上的投影向量为，选项正确；选项B：，解得向量与向量的夹角为，选项错误；选项C：向量在向量上的投影向量为：选项正确；选项D：当选项正确.故选：ACD．11.点为△所在平面内一点，则（）A.若，则点为△的重心B.若，则点为△的垂心C.若．则点为△的垂心D.在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心〖答案〗AD〖解析〗A：由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点（靠近线段），故为△的重心；选项A正确；B：向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为△的内心；选项B错误；C．是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故为△的外心．选项C错误；对于D，设是的中点，，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过△的外心.选项D正确.故选：AD.12.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则下列说法正确的是（）A. B.C.为定值 D.的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗如图所示，因为，即，所以，又因为，，所以，，所以，因为、、三点共线，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在中，角的对边分别为，若，则角的值为___________．〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理，即，解得，又因为，所以.故〖答案〗为：.14.已知平面向量，则向量与的夹角为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，因为，所以.故〖答案〗：.15.设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．〖答案〗2〖解析〗将代入方程得：，即，即，所以，解得，所以.故〖答案〗为：2.16.在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是_________．〖答案〗〖解析〗以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，由题意得，，因为为中点，所以，设，则，，，则，，则.故〖答案〗为：.四、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.解答下列各题：（1）已知z复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z；（2）已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限．解：（1）设复数，因为为实数，所以，则复数，又因为为纯虚数，则，得，所以复数．（2），由复数表示的点位于第四象限，可得，解得，当时，复数在复平面内对应的点在第四象限，∴m的取值范围为.18.平面内给出三个向量，，，求解下列问题：（1）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；（2）若，求实数k的值．解：（1），，因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，即，解得且．（2），，因为，所以，解得．19.如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点.，设.（1）用表示；（2）如果，用向量的方法证明：.解：（1）由题意，，.（2）由（1）得，所以.20.如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2．（1）求挖掉的正三棱柱的体积；（2）求该几何体的表面积．解：（1）因为正三棱柱的底面边长为，高为2，则，所以正三棱柱的体积．（2）在正三棱柱中，由（1）知，，，设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为，有，即，令的中点为，连接，则，且，，，于是，解得，则圆锥的母线长，圆锥的底面圆面积，侧面积，三棱柱的表面积为，所以该几何体的表面积为：.21.在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：（1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？（2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：（1）由题意，可得，则，在中，由正弦定理，即，解得，因为，所以，所以为水平线，所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向．（2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，在中，可得，由正弦定理得，因为为锐角，所以，所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．22.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．（1）求角C的大小．（2）若，求的取值范