2024年中考数学一轮复习全国版知识点19 二次函数在实际生活中应用含答案

2024年中考数学一轮复习全国版知识点19二次函数在实际生活中应用含答案一、选择题天津12．【2023•天津12题】如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】设AB边长为xm，矩形菜园的面积为ym2,则BC边长为长为(40−2x)由题意得y＝x(40−2x)=−2x2+40x=−2（x﹣10）∴AB的长不可以为6m.结论①错误；菜园ABCD面积的最大值为200m2.结论③正确；当y＝−2（x﹣10）2+200时，解得x＝8或x＝12，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，结论②正确（或可画出二次函数的草图，在图上画直线y=192，与抛物线有两个交点，则方程有两个根）综上，正确结论的个数是2，故选C．浙江省9．【2023·丽水】一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（）A．5 B．10 C．1 D．2【答案】D【解析】令h＝0，得10t﹣5t2＝0，解得t＝0或t＝2，∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒.二、填空题山东省15．【2023·滨州】某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距离也为3m，那么水管的设计高度应为．【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得相应的函数值，即为所求的答案．【答案】94m【解析】由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，∴设这段抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2∵该抛物线过点（3，0），∴0＝a（3﹣1）2+3，解得：a=−34．∴y=−34（x﹣1）2+3．∵当x＝0时，y=−34×（0﹣1）2+3=−34【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键．辽宁省15．【2023·沈阳】如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝m时，羊圈的面积最大．【分析】根据题意和图形，可以写出面积与AB的长之间的函数关系式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质，即可得到当AB为何值时，羊圈的面积最大．【答案】15【解析】设AB为xm，面积为Sm2，由题意可得：S＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450，∴当x＝15时，S取得最大值，即AB＝15m时，羊圈的面积最大，【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．三、解答题贵州省24.【2023·贵州】如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．解：（1）抛物线的对称轴与y轴重合，设抛物线的解析式为.，，，.将，代入，得：，解得，抛物线的解析式为.（2）抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，当时，，.作点B关于y轴的对称点，则，，.当，，A共线时，拉杆长度之和最短.设直线的解析式为，将，代入，得，解得，直线的解析式为.当时，，点的坐标为，位置如下图所示：（3）中，抛物线开口向下.当时，在范围内，当时，y取最小值，最小值为：则，解得，.当时，在范围内，当时，y取最小值，最小值为：则，解得，.综上可知，或.的取值范围为．甘肃省23.【2023·兰州23题】一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．解：（1）根据题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，故可设抛物线的表达式为y＝a（x－1）2+k，代入（0，10）和（3，7）的坐标，得a+k=10,4a+k∴y关于x的函数表达式为y＝－（x－1）2+11或y＝－x2+2x+10.（2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0，得﹣x2+2x+10＝0.解得x=11+1或x=−∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（11+1）m陕西省25．【2023·陕西】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，S2（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．【分析】（1）由题意知抛物线的顶点P（6，4），设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+（2）令y＝3可得x＝3或x＝9，故BC＝6（m），S1＝AB•BC＝18（m2）；再比较S1，S2的大小即可．解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，解得：a=−1∴y=−19（x﹣6）2+4=−19x∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+在y=−19x2+令y＝3得：3=−19x2+43x，解得∴BC＝9﹣3＝6（m），∴S1＝AB•BC＝3×6＝18（m2）；∵18＞122，∴S1＞S2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．河北省23．【2023·河北23题】嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y=−1（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．解：（1）∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，∴C1的最高点坐标为（3，2）．∵点A（6，1）在抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2上，∴1＝a（6﹣3）2+2．∴a=−1∴抛物线C1：y=−19（x﹣3）当x＝0时，c＝1.（2）∵嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，∴此时，点A的坐标范围是（5，1）～（7，1）．当经过（5，1）时，1=−18×25+n当经过（7，1）时，1=−18×49+n∴175≤n∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5．浙江省22．【2023·温州】一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？解:（1）由题意，得抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得36a+3＝0，解得a=−1∴抛物线的函数表达式为y=−112（x﹣2）2+当x＝0时，y=8（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112（x﹣2﹣m）把点（0，2.25）代入得2.25=−112（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．山东省20.【2023·潍坊】工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？【分析】连接，分别交于点，交于点，先判断出四边形是矩形，从而可得，再判断出四边形和四边形都是矩形，从而可得米，，然后设矩形的面积为平方米，米，则米，米，利用矩形的面积公式可得关于的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得．解：如图，连接，分别交于点，交于点，，，米，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，，，，，四边形是矩形，，四边形和四边形都是矩形，米，，和都是等腰直角三角形，，，设矩形的面积为平方米，米，则米，米，米，米，，又，与之间的距离为2米，米，，由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，取得最大值，最大值为，答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米．【点评】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．22.【2023·威海】城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：【分析】先以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，设设抛物线的解析式为，把代入，求得，即，再求出点D的坐标，即可求解．解：如图，建立平面直角坐标系，由题意知：，，∵抛物线的最高点B，∴设抛物线的解析式为，把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为，令，则，解得：，∴，∴(米)，答：步行通道的宽的长约为3.2米．【点评】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题的关键．21．【2023·菏泽】某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？【分析】（1）设垂直于墙的边为x米，根据矩形面积公式得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，由二次函数性质可得答案；（2）设购买牡丹m株，根据学校计划购买费用不超过5万元，列不等式可解得答案．解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，∵﹣3＜0，∴当x＝20时，S取最大值1200，∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，∵学校计划购买费用不超过5万元，∴25m+15（2400﹣m）≤50000，解得m≤1400，∴最多可以购买1400株牡丹．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．23．【2023·临沂】综合与实践：问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：售价（元/盆）日销售量（盆）模型建立（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．拓广应用（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，①要想每天获得400元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？解:（1）根据销售单价从小到大排列得下表：售价（元/盆）1820222630日销售量（盆）5450463830（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数；设销售量为y盆，售价为x元，y＝kx+b，把（18，54），（20，50）代入得：18k+b=5420k+b=50，解得k=−2∴y＝﹣2x+90；（3）①∵每天获得400元的利润，∴（x﹣15）（﹣2x+90）＝400，解得x＝25或x＝35，∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；②设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w取最大值450，∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．湖北省22．【2023·仙桃】某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）1≤x≤3031≤x≤60日销售价（元/件）0.5x+3550日销售量（件）124﹣2x（1≤x≤60，x为整数）设该商品的日销售利润为w元．（1）直接写出w与x的函数关系式；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？【分析】（1）分1≤x≤30和31≤x≤60两种情况利用“利润＝每千克的利润×销售量”列出函数关系式；（2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出1≤x≤30的函数最大值和31≤x≤60的函数最大值，比较得出结果．解：（1）当1≤x≤30时，w＝（0.5x+35﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，当31≤x≤60时，w＝（50﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，∴w与x的函数关系式w=−故答案为：w=−（2）当1≤x≤30时，w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，∵﹣1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480，∵﹣40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240，∵1296＞1240，∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．【点评】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是弄清数量关系，列出函数表达式．22．【2023·武汉】某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表．飞行时间t/s02468…飞行水平距离x/m010203040…飞行高度y/m022405464…探究发现x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；（2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；问题解决：（1）令二次函数y＝0代入函数解析式即可求解；（2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，则飞机相对于安全线的飞行高度y′=−12t解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，设x＝kt，y＝ax2+bx，由题意得：10＝2k，4a+2b=2216a+4b=40解得：k＝5，a=−1∴x=5t，y=−问题解决：（1）依题意，得−1解得，1＝0（舍），t2＝24，当t＝24时，x＝120．答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m．（2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y=−1∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26．在y=−1当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；当t＝26，y′＝0时，n＝26．∴12.5＜n＜26．答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m．【点评】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．【2023·随州】为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p=mx+n，1≤x＜20，且x为整数30，20≤x≤30，且x为整数销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第（1）m＝，n＝；（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？【分析】（1）用待定系数法可得m，n的值；（2）由销售额W＝pq，分两种情况可得答案；（3）分两种情况，结合（2）可列出方程解得答案．解：（1）把（5，50），（10，40）代入p＝mx+n得：5m+n=5010m+n=40，解得m=−2∴p＝﹣2x+60（1≤x＜20），故答案为：﹣2，60；（2）当1≤x＜20时，W＝pq＝（﹣2x+60）（x+10）＝﹣2x2+40x+600；当20≤x≤30时，W＝pq＝30（x+10）＝30x+300；∴W=−2（3）在W＝﹣2x2+40x+600中，令W＝1000得：﹣2x2+40x+600＝1000，整理得x2﹣20x+200＝0，方程无实数解；由30x+300＞1000得x＞2313∵x整数，∴x可取24，25，26，27，28，29，30，∴销售额超过1000元的共有7天．【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．22．【2023·黄冈】加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．（1）当x＝m2时，y＝35元/m2；（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？【分析】（1）当200≤x≤600时，由待定系数法求出一次函数关系式，当600＜x≤700时，y＝40，再求出当y＝35时y的值，即可得出结论；（2）当200≤x≤600时，W=120（x﹣400）2+42000，由二次函数的性质得当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，再求出当600≤x≤700时，W＝﹣10x+50000，由一次函数的性质得当x＝700时，（3）根据2025年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可．解：（1）500【解析】当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系式为y＝kx+b，把（200，20），（600，40）代入得：200k+b=20600k+b=40，解得：k=120当600＜x≤700时，y＝40，∴当y＝35时，35=120解得：x＝500，故答案为：500；（2）当200≤x≤600时，W＝x（120x+10）+50（1000﹣x）=120（x∵120∴当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，此时，1000﹣x＝1000﹣400＝600，当600≤x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000，∵﹣10＜0，∴当x＝700时，W有最小值为：﹣10×700+50000＝43000，∵42000＜43000，∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；（3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30000（元），则甲种蔬菜的种植成本为42000﹣30000＝12000（元），由题意得：12000（1﹣10%）2+30000（1﹣a%）2＝28920，设a%＝m，整理得：（1﹣m）2＝0.64，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合题意，舍去），∴a%＝20%，∴a＝20，答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键：（1）用待定系数法正确求出一次函数关系式；（2）找出数量关系，正确求出二次函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．【2023·十堰】“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．（1）当x＝60时，p＝；（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．【分析】（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到p与x之间的函数关系式，把x＝60代入解析式计算即可；（2）根据每盒利润×销售盒数＝总利润可得W关于x的关系式，由二次函数性质可得答案；（3）根据题意，在正确的x的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合x的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确．解：（1）由题意可得，p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是p＝﹣10x+1000，当x＝60时，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50），故答案为：400．（2）由题意可得，W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，∴x≥50p≥350，即x≥50−10x+1000≥350，解得50≤∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8750，答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；（3）小强：∵50≤x≤65，设日销售额为y元，y＝x•p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x²+1000x＝﹣10（x﹣50）²+25000，当x＝50时，y值最大，此时y＝25000，当x＝65时，W值最大，此时W＝8750，∴小强正确．小红：当日销售利润不低于8000元时，即W≥8000，﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，∵50≤x≤65，∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．【点评】本题以一次函数为背景考查了一次函数的实际应用，考查学生对一次函数和不等式综合运用的能力，解决问题的关键是弄清题意，求出x的范围，在有效范围内求最值是本题容易出错的地方．四川省23．【2023·南充】某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2．（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费即可列出解析式，注意取值范围．（2）根据解析式系数a确定增减性，再结合x得取值范围选择合适的值得出最大值．（3）分类讨论当什么情况下A、B利润一样，什么情况下A利润大于B以及什么情况下A利润小于B即可得出结论．解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500，∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大，∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，从实际问题中抽象出数学问题是解题的关键．黑龙江26．【2023·大庆】某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF＝x米，BE＝y米．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出CF的长，即可求出BC的长，根据AF：BF＝3：4即可求出AF的长，再根据勾股定理求出AB的长，AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出FG、FH的长，根据矩形的性质求出ED＝BC＝2x米，BE＝IJ＝MN＝CD＝y米，最后根据制造窗户框的材料总长为16米列出方程即可得到y与x之间的函数关系式；（2）根据窗户的面积等于△ABC的面积加上矩形BCDE的面积计算，再根据配方法求二次函数的顶点坐标即可．解：（1）∵△ABC是等腰三角形，F是BC的中点，∴BF＝CF，AF⊥BC，AB＝AC，∵BF＝x米，∴CF＝x米，BC＝2BF＝2x米，∵AF：BF＝3：4，∴AF=3在Rt△AFB中，由勾股定理得AB=A∴AC=AB=5∵点G、H分别是边AB、AC的中点，∠AFB＝∠AFC＝90°，∴FG=12AB=∵四边形BCDE是矩形，∴ED＝BC＝2x米，BE＝CD＝y米，∵BE∥IJ∥MN∥CD，∴BE＝IJ＝MN＝CD＝y米，∵制造窗户框的材料总长为16米，∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD＝16米，∴54整理得y=−17由题意得x＞0−178（2）∵S△ABC=1设窗户的面积为W平方米，则W＝S△ABC+S矩形BCDE=3=−7=−7∵−72＜0当x=87米时，W最大，最大值为【点评】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，二次函数的应用，根据材料总长用含x的式子表示y，从而运用函数性质求最大值是解题的关键．河南省22．【2023·河南22题】小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．【分析】（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0可解得点P的坐标为（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得a的值是﹣0.4；（2）在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0可得x＝﹣22+1（舍去）或x＝22解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8，∴点P的坐标为（0，2.8）.把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8，解得：a＝﹣0.4，∴a的值是﹣0.4.（2）∵OA＝3m，CA＝2m，∴OC＝5m.∴C（5，0）.在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣22+1（舍去）或x＝22∵|7﹣5|＞|3.82﹣5|，∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式，掌握函数图象上点坐标的特征．内蒙古25.【2023·赤峰】乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：水平距离x/竖直高度y/（1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________；②求满足条件的抛物线解析式；（3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；②待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．解：（1）如图所示，（2）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，当时，，∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；故答案为：；．②设抛物线解析式为，将代入得，，解得：，∴抛物线解析式为；（3）∵当时，抛物线的解析式为，设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，∴平移后的抛物线的解析式为，依题意，当时，，即，解得：．答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．吉林省14.【2023·长春】年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面__________米．【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可．【答案】【解析】由题意可知：、、，设抛物线解析式为：，将代入解析式，解得：，，消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米，平移后的抛物线解析式为：，令，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．辽宁省23．【2023·抚顺、葫芦岛】电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中100≤x≤160，且x为整数），当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？【分析】（1）先设出函数解析式，然后根据待定系数法即可求出函数解析式；（2）将函数化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可得到利润的最大值．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，∵当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件，∴120k+b=80140k+b=40，解得k=−2即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+320；（2）设利润为w元，由题意可得：w＝（x﹣100）（﹣2x+320）＝﹣2（x﹣130）2+1800，∴当x＝130时，w取得最大值，此时w＝1800，答：当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是会用待定系数法求一次函数的解析式和会用二次函数的性质求最值．22.【2023·营口】某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？解：（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意可得：，解得：，经检验：是方程的解．答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元.（2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，整理得：，根据二次函数的性质得出：当时，利润最大，最大利润为：（元）．23．【2023·本溪】商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x（元）…506070…月销量y（台）…908070…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？【分析】（1）设月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式为y＝kx+b，把（50，90）和（60，80）代入解方程组即可得到结论；（2）设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．解:（1）设月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式为y＝kx+b，把（50，90）和（60，80）代入得90=50k+b80=60k+b解得k=−1b=140，∴y＝﹣x（2）设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+140）＝﹣x2+180x﹣5600＝﹣（x﹣90）2+2500，∴当护眼灯销售单价定为90元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2500元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是列出关系式，熟练掌握二次函数的性质，准确计算．江苏省26.【2023·宿迁】某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．（1）求两种商品的销售单价．（2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，根据题中售出种20件，种10件，销售总额为840元；售出种10件，种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案；（2）设利润为，根据题意，得到，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案．解：（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，则，解得，答：的销售单价为元、的销售单价为元；（2）种商品售价不低于种商品售价，，解得，即，设利润为，则，，在时能取到最大值，最大值为，当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．【点评】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．23．【2023·泰州】某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？（2）求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？【分析】（1）用销售量×利润计算即可；（2）根据一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元求出销售单价，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；（3）根据（2）中解析式，令y＝22100，解方程即可．解：（1）根据题意，当x＝800时，y＝800×（50﹣30）＝800×20＝16000，∴当一次性销售800千克时利润为16000元；（2）设一次性销售量在1000～1750kg之间时，销售价格为50﹣30﹣0.01（x﹣1000）＝﹣0.01x+30，∴y＝x（﹣0.01x+30）＝﹣0.01x2+30x＝﹣0.01（x2﹣3000）＝﹣0.01（x﹣1500）2+22500，∵﹣0.01＜0，1000≤x≤1750，∴当x＝1500时，y有最大值，最大值为22500，∴一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元；（3）由（2）知，当x＝1750时，y＝﹣0.01（1750﹣1500）2+22500＝16250＜22100，∴当一次性销售量在1000～1750kg之间时，利润为22100元，∴﹣0.01（x﹣1500）2+22500＝22100，解得x1＝1700，x2＝1300，∴当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意确定二次函数解析式．26.【2023·无锡】某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元/kg，不高于元/kg，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元/kg）之间的函数关系如图所示．（1）求关于的函数表达式：（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解；（2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，，进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解．解：（1）当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，∴解得：∴，当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，解得：∴，（2）设利润为，当时，∵在范围内，随着的增大而增大，当时，取得最大值为；当时，∴当时，w取得最大值为，当销售价格为元时，利润最大为．【点评】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．一、选择题北京3.【2023·北京3题】如图，，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C甘肃省2.【2023·兰州2题】如图，直线与相交于点O，则（）A. B. C. D.【答案】B10.【2023·兰州10题】我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，，∴.∴.∵，C为的中点，∴．云南省3．【2023·云南】如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（）A．145° B．65° C．55° D．35°【答案】D广西7．【2023·广西7题】如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（）A．160° B．150° C．140° D．130°【分析】由平行线的性质，即可得到∠B＝∠A＝130°．【答案】D【解析】∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∴AC∥BD.∴∠B＝∠A＝130°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由题意得到AC∥BD．陕西省3．【2023·陕西】如图，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，则∠2的度数为（）A．36° B．46° C．72° D．82°【答案】A河北省15．【2023·河北15题】如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D，E，G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（）A．42° B．43° C．44° D．45°【答案】C【解析】如图，延长BG，∵∠ADE＝146°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°．∵∠α＝∠ADB+∠AHD，∴∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝50°﹣34°＝16°．∵l1∥l2，∴∠GIF＝∠AHD＝16°．∵∠EGF＝∠β+∠GIF，∴∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝60°﹣16°＝44°．浙江省7．【2023·金华】如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（）A．120° B．125° C．130° D．135°【答案】C山东省5．【2023·泰安】把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数等于（）A．65° B．55° C．45° D．60°【答案】B3．【2023·东营】如图，AB∥CD，点E在线段BC上（不与点B，C重合），连接DE．若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B＝（）A．10° B．20° C．40° D．60°【答案】B5.【2023·日照】在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（）．A. B. C. D.【答案】B3．【2023·菏泽】一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解析】如图，由题意得：∠CAD＝60°，∵AB∥DE，∠1＝20°，∴∠3＝∠1＝20°，∴∠2＝∠CAD﹣∠3＝40°．故选：B．5．【2023·济宁】如图，a，b是直尺的两边，a∥b，把三角板的直角顶点放在直尺的b边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】B2．【2023·临沂】如图中用量角器测得∠ABC的度数是（）A．50° B．80° C．130° D．150°【答案】C5．【2023·临沂】在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（）A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定【答案】C9．【2023·甘肃省卷9题】如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（）图1A．60° B．70° C．80° D．85°【答案】B【解析】如图，∵BM⊥CD，∴∠CBM＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵∠ABE＝∠FBM，∴∠ABE＝∠FBM＝20°，∴∠EBC＝20°+50°＝70°．8．【2023•枣庄】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为（）A．14° B．16° C．24° D．26°【分析】由多边形的外角和可求得∠BCD＝60°，∠ABC＝120°，再由平行线的性质可得∠BDC＝∠1＝44°，由三角形的外角性质可求得∠3的度数，即可求∠2的度数．【答案】B【解析】如图，∵太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∴∠BCD＝360°÷6＝60°，EF∥BD，∠ABC＝120°.∴∠BDC＝∠1＝44°.∵∠3是△BCD的外角，∴∠3＝∠BDC+∠BCD＝104°.∴∠2＝∠ABC﹣∠3＝16°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．湖南省6．【2023·长沙6题】如图，直线m∥直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C5．【2023·张家界】如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．70° B．50° C．40° D．140°【分析】由平角的定义可得∠BEF＝140°，由角平分线的定义可得∠BEG＝∠FEG＝70°，再利用两直线平行，内错角相等即可求解．【答案】A【解析】∵∠1＝40°，∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠FEG＝70°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEG＝70°．【点评】本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键．4．【2023·岳阳】已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C5．【2023·邵阳】如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2的大小为（）A．40° B．50° C．70° D．130°【答案】B6．【2023·怀化】如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．30° B．60° C．100° D．120°【答案】B湖北省5.【2023·鄂州】如图，直线，于点E．若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B7．【2023·恩施州】将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n，∠1＝20°，则∠2＝（）A．40° B．30° C．20° D．15°【分析】由题意可得∠3＝30°，∠A＝90°，从而可得∠ABC＝50°，由平行线的性质可得∠ADE＝∠ABC＝50°，再由三角形的内角和即可求∠2．【答案】A【解析】如图，由题意得：∠3＝30°，∠A＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠3＝50°，∵m∥n，∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝40°．【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．5．【2023·黄冈】如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（）A．55° B．45° C．35° D．25°【答案】C2．【2023·随州】如图，直线l1∥l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1＝60°，则∠2为（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C8．【2023·宜昌】如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．110° B．70° C．40° D．30°【分析】根据平行线的性质得到∠3＝∠1＝70°，三角形的外角的性质得到∠3＝∠4+∠5＝70°，由∠2＝∠5即可解答．【答案】C【解析】如图，由题意得，∠4＝30°，a∥b，∴∠3＝∠1＝70°，∵∠3＝∠4+∠5＝70°，∴∠5＝40°，∴∠2＝∠5＝40°．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题关键．7．【2023·荆州】如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是（）A．80° B．76° C．66° D．56°【分析】延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK∥AB，得到GK∥CD，推出∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，得到∠EGF＝∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性质得到∠EMB＝33°，∠DNF＝33°，即可求出∠EGF的度数．【答案】C【解析】延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK∥AB，∵AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，∴∠KGM+∠KGN＝∠EMB+∠DNF，∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF，∵∠ABE＝80°，∠E＝47°，∴∠EMB＝∠ABE﹣∠E＝33°，同理：∠DNF＝33°，∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF＝33°+33°＝66°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是通过作辅助线，由平行线的性质，得到∠EGF＝∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性质求出∠EMB、∠DNF的度数，即可解决问题．内蒙古4．【2023·包头】如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．32° B．58° C．74° D．75°【答案】C四川省2．【2023•乐山】下面几何体中，是圆柱的为（）A．B． C． D．【答案】C2．【2023·巴中】如图所示图形中为圆柱的是（）A．B． C． D．【答案】B3．【2023·重庆B卷】如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝63°，则∠2的度数为（）A．27° B．53° C．63° D．117°【答案】C3．【2023·泸州】如图，AB∥CD，若∠D＝55°，则∠1的度数为（）A．125° B．135° C．145° D．155°【答案】A4．【2023·自贡】如图，某人沿路线A→B→C→D行走，AB与CD方向相同，∠1＝128°，则∠2＝（）A．52° B．118° C．128° D．138°【答案】C5．【2023·宜宾】如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（）A．40° B．32° C．24° D．16°【答案】D5．【2023·重庆A卷】如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．50° D．55°【答案】A7．【2023·凉山州】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（）A．165° B．155° C．105° D．90°【分析】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝45°，∠4＝60°，从而可求解．【答案】C【解析】∵在水中平行的光线，在空气中也是平行的，∠1＝45°，∠2＝120°，∴∠3＝∠1＝45°，∠4＝180°﹣∠2＝60°，∴∠3+∠4＝105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．4．【2023·德阳】如图，直线AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点M，N，∠BMN的平分线MF交CD于点F，∠MNF＝40°，则∠DFM＝（）A．70° B．110° C．120° D．140°【答案】B4．【2023·雅安】如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．65° B．25° C．35° D．45°【答案】B山西省7．【2023•山西7题】如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】C【解析】∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°.∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°.∵∠POF＝∠2＝30°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．河南省4．【2023·河南4题】如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（）​A．30° B．50° C．60° D．80°【答案】B黑龙江6．【2023·绥化】将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．55° B．65° C．70° D．75°【分析】由题意可求得∠BAC＝115°，再由平行线的性质可求得∠ACD的度数，结合平角的定义即可求∠3．【答案】C【解析】如图，由题意可得：∠CAE＝90°，∠ACF＝45°，∵∠1＝25°，∴∠BAC＝∠1+∠CAE＝115°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝65°，∴∠3＝180°﹣∠ACD﹣∠ACF＝70°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．4．【2023·齐齐哈尔】如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°，则∠2的度数是（）A．135° B．105° C．95° D．75°【答案】B辽宁省7．【2023·抚顺、葫芦岛】如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．∠1＝122°，则∠2的度数为（）A．48° B．58° C．68° D．78°【答案】B4.【2023·营口】如图，是的平分线，，，则的度数是（）A.50° B.40° C.35° D.45°【答案】B3.【2023·大连】如图，直线，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B6．【2023·本溪】如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝108°，则∠2的度数为（）A．52° B．62° C．72° D．82°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠2+∠3＝180°，由∠1＝∠3，得出∠1+∠3＝180°，即可得答案．【答案】C【解析】如图,∵CD∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝108°，∴∠2＝72°．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行