新定义与规律性探索选题压轴（解析版）-2024年中考《数学》热点题型归纳与变式演练（全国卷）

第第页考前特训01新定义与规律性探索选题压轴一、单选题1．对于两个正整数a，，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；……依次类推，若，则下列说法①当时，；

②当时，；③点一定在抛物线上；④当，2，3，…，n时，对应b的值分别为，，，…，，若则n的值为42：其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据题意，首先找出a，b之间的关系式，然后逐个分析找出规律，即可得解.【详解】由题意得，且,,则当时,,∴①正确.当时,或,∴②错误.将P的坐标代入抛物线得,∴式子成立，③正确.当时,.当时,.当时,.当时,.即，，，，∴.∴④错误.故选:.【点睛】本题考查了规律性探索问题，解题时需要分析题意，学会转化，灵活变形.2．数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；第2圈有8个点，即到；第3圈有16个点，即到，；依次类推，第n圈，；由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确；是在第23圈上，且，即，故B选项正确；第n圈，，所以，故C、D选项不正确；故选B．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．3．规定：，．例如，．下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根据题中的规定逐项判断出各选项的结论正确与否即可．【详解】解：①若，即，解得：，则，故①正确；②若，则，故②正确；③若，则，即（无解）或，解得：，即能使已知等式成立的x的值存在，故③错误；④式子，此式子表示数轴上一个点到和的距离之和，当这个点所表示的数在与3之间时，的最小值是7，故④正确．综上，正确的所有结论是：①②④．故选：B．【点睛】本题以新规定为载体，主要考查了绝对值的意义和化简、整式的加减以及一元一次方程的求解等知识，正确理解新运算法则是解题的关键．4．已知两个非负实数满足，，则下列式子正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用整式的加法法则以及不等式的性质进行求解即可．【详解】解：，，由得：，故A选项错误，不符合题意；由①得：，将代入②得：，整理得：，故B选项错误，不符合题意；为非负实数，，，故C选项错误，不符合题意；，，，，故D选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了整式的加减、不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算法则以及不等式的性质是解题的关键．5．对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查数字的变化类，根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．【详解】解：由题意可得，因为，，所以，以此类推，得，，，，，，，……∵，∴，故选：D．6．表示由四个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组，表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记，第个数组的四个数之和为（为正整数）.下列说法：①可以是奇数，也可以是偶数；②的最小值是；③若，则.其中正确的个数（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义运算分别进行运算即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键.【详解】解：根据题意可知，，，，，∴，∴是偶数，故错误；∵，∴的最小值是，∴的最小值是，又∵为正整数，∴的最小值为20，故正确；∵，∴，∴，故正确；故选：C.7．已知非负实数满足，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了解不等式，完全平方公式，非负数的性质，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据，通过解不等式及完全平方公式的运算进行判断即可．【详解】由得．，又为非负实数，解得，又，易得，A项、B项错误，C项正确．当时，；当时，由题可知，即．由得，即，D项错误．故选：C8．潼铜在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序的数：，称为数列．计算，将这三个数的最小值称为数列的最佳值．例如，对于数列，因为，所以数列的最佳值为．潼铜进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列的最佳值为；数列的最佳值为1；…经过研究，潼铜发现，对于“”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为；…．根据以上材料，下列说法正确的个数有①数列的最佳值为；②将“，，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列取得最佳值最小值的数列为；③将2，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，则满足条件的值有4个．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】C【分析】本题是一道数与式中的新定义问题，理解最佳值的定义以及正确的分类讨论是解题的关键．根据题中对最佳值的定义，结合分类讨论的思想可解决问题．【详解】解：①，，，且，这个数列的最佳值是，故①正确；②把“，，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得以下数列：（1），2，；（2），，2；（3）2，，；（4）2，，；（5），，2；（6），2，；（1），，，此数列的最佳值为；（2），，，此数列的最佳值为；（3），，此数列的最佳值为；（4），，，此数列的最佳值为1；（5），，，这个数列的最佳值是；（6），，，这个数列的最佳值是；，取得最佳值最小值的数列为：（2）（6），故②不正确；③分类讨论的思想同②，经计算当或10或11时，若干数列中，有数列的最佳值为1．故③错误．故选：C9．定义一个运算，下列说法正确的有（

）个①；②若，则或2；③；④若，则．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据所给新定义逐项列式计算即可，判断②时注意分式的分母不能为0，判断③时注意裂项相消，判断④时注意分和两种情况，利用等式的性质求解．【详解】解：①，故①正确；②，则，化简得，解得或，根据得，，故②错误；③，故③正确；④若，则，当时，，，，当时，，，，，故④错误；综上可知，正确的是①③，故选B．【点睛】本题考查新定义运算，涉及解分式方程，等式的性质，有理数的混合运算等，解题的关键是理解新定义的运算法则．10．如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由，得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再依次类推得到点的坐标．【详解】解：，点的坐标为，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，同理可得：，，…，，故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点的坐标找出规律．11．如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点处，按顺时针方向移动这枚跳棋2023次．移动规则是：第次移动个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在处）．按这样的规则，在这2023次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（

）

A．、 B．、 C．、、 D．、、【答案】C【分析】设顶点分别是0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了次后走过的总格数是，然后根据题目中所给的第次移动个顶点得规则，可得到不等式，即可得到答案．【详解】解：设顶点分别是0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了次后走过的总格数是，所以应停在格，这时为整数，且使，分别取时，，发现第2，4，5格没有停棋，若，设（）代入可得：，由此可知，停棋的情形与相同，所以第2，4，5格没有停棋，即顶点、、棋子不可能停到，故选：C．【点睛】本题主要考查了整式加减的探究规律，解题的关键是弄清题意，总结归纳出题目中的规律．12．定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“关联函数”，这对对称的点称为“关联点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“关联函数”，点与点则为一对“关联点”．已知函数和互为“关联函数”，则n不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设在，则在上，得出，求得最大值为，即可求解．【详解】解：设在，则在上，∴∴∴当时，的最大值为,故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．已知一列数的和，且，则的值是(

)A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】设，则可推出，从而得到，，故，从而得到．【详解】解：设，∵，∴∴∴∴即∴故选：D【点睛】本题考查整式的加减法，推导是解题的关键．14．我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，抽象概括出相应的数字规律，n条直线将平面最多分成部分，进而得到，再进行求解即可．【详解】解：∵1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，∴n条直线将平面最多分成部分，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是得到．15．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点与点都是函数图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时n的值，进而可得n的取值范围．【详解】解：由题意得：二次函数的图象上的顶点坐标为：，∵y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，∴二次函数的图象与以坐标为的正方形有交点，当二次函数恰好经过时，则，解得：或（舍去）；如当二次函数恰好经过时，则，解得或（舍去）；∴当时，二次函数的图象存在“n阶方点”，故选D．二、填空题16．已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为．【答案】【分析】先找到规律的值每6个一循环，再求出，由，可得．【详解】解：，，，，，，，…，∴的值每6个一循环，∵，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每6个一循环是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作，使，再以为直角边作，使，再以为直角边作，使……按此规律进行下去，点的坐标是．【答案】【分析】先通过解直角三角形依次求…各点的坐标，再从其中找出规律，然后运用规律即可解答．【详解】解：如图：过作轴，∵的坐标为（1，0），∴，∵，∴，∴的坐标为，∵，∴，∵，，∴，∴的坐标为，同理可得：的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x轴正半轴上，其横坐标为，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为，纵坐标为，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为，纵坐标为，与第四点方位相同的点在x轴负半轴上，其横坐标为，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为，纵坐标为，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为，纵坐标为，∵，∴点的方位与点的方位相同，在x轴上，其横坐标为，纵坐标为0，∴点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律探索、解直角三角形等知识点，求出前面7个点的坐标并发现规律是解答本题的关键．18．对于一个四位自然数N，其千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，，，，，所以6345是“坎数”．若N为“坎数”，且，当为9的倍数时，则所有満足条件的N的最大值为．【答案】8154【分析】根据“坎数”的定义可以得到，可得出，根据当为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，所以可知，则可知，，故，则最大的值为，，即可求解．【详解】解：根据“坎数”的定义可以得到，∴，∵为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，，∴，∴，∴，∴，，∴，当，时，N有最大值，∴，∴N的最大值为8154，故答案为：8154．【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过给出的“坎数”的定义求出对应的各个数位的数字的关系，通过给出的式子，求出对应的数字的结果，从而求出最后的解．19．在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是，丙的三张牌上的数字是．【答案】【分析】根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙丙的三张牌数字和相同进行分配即可．【详解】解：已知红桃有数字共计张牌甲的三张牌数字之和为的情况有、、三种组合，张牌中共有个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数，甲最多只能有一个奇数，只有符合，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，乙的三张牌数字为，丙的三张牌数字为，故答案为：；【点睛】本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键．20．已知两个正数，，可按规则扩充为一个新数在，，三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依此继续扩充下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若，，按上述规则操作三次，扩充所得的数是；（2）若，按上述规则操作五次后扩充所得的数为（，为正整数），则．【答案】【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解；（2）根据，根据新定义重复进行计算，找到规律即可求解．【详解】解：（1）依题意，第一次扩充得到，第二次扩充：，，第三次扩充：，，故答案为：．（2）依题意，第一次扩充得到：∵∴第二次扩充得到：第三次扩充得到，，第四次扩充得到，第五次扩充得到，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义运算，整式的规律问题，因式分解的应用，找到规律是解题的关键．21．若规定符号的意义：．（1）计算：．（2）若，则，的值为．【答案】58或15【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）由题意求得或，根据新定义化简所求式子后整体代入即可得解．【详解】解∶（1）根据题中的新定义得∶原式；（2）∵，∴，得，∴或，当时，，当时．故答案为∶（1）5；（1）8或15．【点睛】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．22．我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“”，所有的偶数记为“”，则前行如图②，前行如图③，求前行“”的个数为．【答案】【分析】先根据给出的图②和图③找出出现“”规律，然后根据规律即可得解．【详解】观察图②和图③可知，前行中包含个前行的图形，中间三角形中的数字均为，前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍，即前行中“”的个数为（个），同理可知前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍，即前行中“”的个数为（个），前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍，即前行中“”的个数为（个），故答案为：．【点睛】本题考查了数字规律探究计算，根据给出的图②和图③找出出现“”规律是解题关键．23．设实数，这个小数从小数点后，以1开头一直写到得到的，那么小数点后第位的数字是．【答案】【分析】首先确定一位数，以及二位数的个数，判断排的右边第个数字是第几个三位数的数字，从而确定．【详解】解：从到都是一位数，共有个；从到共有个数，都是二位数，则数字是由依次写下正整数～是的前位数；则以后是三位数，，，则最后一位是从开始的三位数的第个数，即是，的第二个数是．故答案为：．【点睛】本题考查了数字的变化规律，正确确定第个数字是第几个三位数的数字是关键．24．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“差中数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是．【答案】【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和数的整除，求一个“差中数”根据定义列出方程即可求出m，而求能被11整除“差中数”的最大值则先根据数的特征设千位为9，再根据“差中数”的特征求出，根据各数位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可解得．【详解】