人教A版高中数学选修44练习第2讲参数方程讲末检测

第二讲参数方程一、选择题1.下列点不在直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－\f(\r(2),2)t,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)上的是()A.(－1，2) B.(2，－1)C.(3，－2) D.(－3，2)解析直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.答案D2.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.eq\r(14) B.2eq\r(14)C.eq\r(2) D.2eq\r(2)解析由题意得，直线l的普通方程为x－y－4＝0，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心到直线l的距离d＝eq\f(|2－0－4|,\r(2))＝eq\r(2)，直线l被圆C截得的弦长为2eq\r(22－（\r(2)）2)＝2eq\r(2).答案D3.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()A.两个圆 B.两条直线C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线解析∵(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，∴ρ＝1或θ＝π(ρ≥0).ρ＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，θ＝π(ρ≥0)表示x轴的负半轴，是一条射线，故选C.答案C4.在极坐标系中，已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，则过点P且平行于极轴的直线的方程是()A.ρsinθ＝1 B.ρsinθ＝eq\r(3)C.ρcosθ＝1 D.ρcosθ＝eq\r(3)解析因点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，得x＝ρcosθ＝2coseq\f(π,6)＝eq\r(3)，y＝ρsinθ＝2sineq\f(π,6)＝1，即(eq\r(3)，1)，过点(eq\r(3)，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1，选A.答案A5.已知O为原点，当θ＝－eq\f(π,6)时，参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝9sinθ))(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析当θ＝－eq\f(π,6)时，x＝eq\f(3\r(3),2)，y＝－eq\f(9,2)，∴kOA＝tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\r(3)，且0≤α＜π，因些α＝eq\f(2,3)π.答案C6.若直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3t，,y＝2－4t))(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为()A.－eq\f(4,5) B.－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析由题意知，直线l的普通方程为4x＋3y－10＝0.设l的倾斜角为θ，则tanθ＝－eq\f(4,3).由eq\f(1,cos2θ)＝1＋tan2θ知cos2θ＝eq\f(9,25).∵eq\f(π,2)<θ<π，∴cosθ＝－eq\f(3,5)，故选B.答案B7.椭圆eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)的离心率是()A.eq\f(\r(7),4) B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(\r(7),2) D.eq\f(\r(7),5)解析椭圆eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝4sinθ))的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1，∴e＝eq\f(\r(7),4).故选A.答案A8.若直线y＝x－b与曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosθ，,y＝sinθ))θ∈[0，2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是()A.(2－eq\r(2)，1) B.[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]C.(－∞，2－eq\r(2))∪(2＋eq\r(2)，＋∞) D.(2－eq\r(2)，2＋eq\r(2))解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosθ，,y＝sinθ))消去θ，得(x－2)2＋y2＝1.将y＝x－b代入(*)，化简得2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，依题意，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)＞0.解之得2－eq\r(2)＜b＜2＋eq\r(2).答案D9.参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(1＋sinθ),y＝cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(θ,2)))))(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是()A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))D.抛物线的一部分，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))解析由y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(θ,2)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)),2)＝eq\f(1＋sinθ,2)，可得sinθ＝2y－1，由x＝eq\r(1＋sinθ)得x2－1＝sinθ，∴参数方程可化为普通方程x2＝2y.又x＝eq\r(1＋sinθ)∈[0，eq\r(2)]，故选D.答案D10.已知直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)t，,y＝2－t))(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是()A.4＋eq\r(3) B.2(2＋eq\r(3))C.4(2＋eq\r(3)) D.8＋eq\r(3)解析将直线l参数方程化为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),2)t′,y＝2＋\f(1,2)t′))(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋eq\r(3))t′＋16＝0，设其两根为t1′，t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋eq\r(3))，t1′t2′＝16＞0.由此知在l上两点P1，P2都在A(0，2)的下方，则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋eq\r(3)).答案C二、填空题11.双曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tanφ，,y＝secφ))(φ是参数)的渐近线方程为________.解析化参数方程为普通方程，得y2－x2＝1.故其渐近线为y＝±x，即x±y＝0.答案x±y＝012.在极坐标系中，直线过点(1，0)且与直线θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)垂直，则直线极坐标方程为________.解析由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝eq\f(π,3)的斜率是eq\r(3)，所求直线是过点(1，0)，且斜率是－eq\f(1,\r(3))，所以直线方程为y＝－eq\f(1,\r(3))(x－1)，化为极坐标方程ρsinθ＝－eq\f(1,\r(3))(ρcosθ－1)化简得2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1.答案2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或2ρcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1、))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρcosθ＋\r(3)ρsinθ＝1))13.已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝3＋t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.解析直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，联立两方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))所以公共点为(1，2).所以公共点的极径为ρ＝eq\r(22＋1)＝eq\r(5).答案eq\r(5)14.已知P为椭圆4x2＋y2＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________.解析由4x2＋y2＝4，得x2＋eq\f(y2,4)＝1.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)，则|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ.∵0≤sin2φ≤1，∴1≤1＋3sin2φ≤4，∴1≤|OP|≤2.答案[1，2]三、解答题15.已知椭圆的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)，求椭圆上一点P到直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－3t,y＝2＋2t))(t为参数)的最短距离.解由题意，得P(3cosθ，2sinθ)，直线：2x＋3y－10＝0.d＝eq\f(|6cosθ＋6sinθ－10|,\r(13))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－10)),\r(13))，而6eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－10∈[－6eq\r(2)－10，6eq\r(2)－10].∴eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－10)),\r(13))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10－6\r(2),\r(13))，\f(10＋6\r(2),\r(13)))).∴dmin＝eq\f(10－6\r(2),\r(13)).即椭圆上的点到直线的最短距离为eq\f(10－6\r(2),\r(13)).16.已知圆O的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝2sinθ))(θ为参数，0≤θ＜2π).(1)求圆心和半径；(2)若圆O上点M对应的参数θ＝eq\f(5π,3)，求点M的坐标.解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝2sinθ))(0≤θ＜2π)，平方得x2＋y2＝4，∴圆心O(0，0)，半径r＝2.(2)当θ＝eq\f(5,3)π时，x＝2cosθ＝1，y＝2sinθ＝－eq\r(3).∴点M的坐标为(1，－eq\r(3)).17.已知动点P、Q都在曲线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝2sint))(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α).M的轨迹的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα＋cos2α，,y＝sinα＋sin2α))(α为参数，0＜α＜2π).(2)M点到坐标原点的距离d＝eq\r(x2＋y2)＝2＋2cosα(0＜α＜2π).当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点.18.在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)写出直线l的参数方程；并将曲线C的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C与直线相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围.解(1)直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋tcosα,y＝2＋tsinα))(t为参数).∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，所以C：x2＋y2＝4x.(2)直线l的参数方程为eq\