第7章三角函数（单元提升卷）

第7章三角函数（单元提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，16题每题4分，712题每题5分，1．已知函数，其中在，，上是严格增函数，则的最大值为．【分析】由整体代入法得函数的单调递增区间，对比，，即可得解．【解答】解：由于函数满足的单调递增区间为，，解得，；故函数的单调递增区间为，；故，；故，，即的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于基础题．2．若将函数向右平移个单位后其图像关于轴对称，则．【分析】根据三角函数的图像变换及三角函数的性质求解即可．【解答】解：函数向右平移个单位后，得到函数的图像，此时函数图像关于轴对称，则，，即，，又，所以时，．故答案为：．【点评】本题考查三角函数图像的变换及三角函数的性质，属于基础题．3．函数，，的增区间为．【分析】由，，求得的范围，令，即可求得函数的单调增区间．【解答】解：由，，可得，令，解得，即函数在，的单调增区间为．故答案为：．（开闭均可）．【点评】本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于基础题．4．函数，的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的解析式为．【分析】直接利用函数的性质求出函数的解析式．【解答】解：函数，的振幅是2，最小正周期是，所以；；初始相位是，故解析式为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数的函数的关系式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5．已知函数，，，的部分图象如图所示，则的解析式是．【分析】由函数图象可知的值，周期，由周期公式可解得的值，由点，在函数图象上，可得：，结合范围，可求的值，即可得解．【解答】解：由函数图象可知：，周期，由周期公式可得：，由点，在函数图象上，可得：，解得：，，又，从而可得：，可得：，故答案为：．【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．6．将的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得的图象，则．【分析】直接利用三角函数的关系式的平移变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】解：函数的图象向下平移1个单位后，得到的图象，再向右平移个单位，得到的图象，所以，故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．函数的定义域为，，．【分析】根据函数，可得，再结合余弦函数的图象，求得的范围．【解答】解：根据函数，可得，可得，故函数的定义域为，，，故答案为：，，．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题．8．已知函数，，函数的对称中心与对称轴的最小距离为，则．【分析】由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．【解答】解：函数，，函数的对称中心与对称轴的最小距离为，．再根据，，令，可得，故，故答案为：．【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题．9．如图所示为函数的部分图象，其中，则．【分析】由题意，由图可得间的纵向距离为4，故可由勾股定理计算间的横向距离，即半个周期，进而得，再利用函数图象过点，且此点在减区间上，代入函数解析式即可求出值．【解答】解：由图可知函数的振幅为2，半周期为间的横向距离，，，即，，由图象知函数过点，，或，，，．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，由的部分图象确定其解析式的方法，三角函数周期，是中档题．10．已知函数，若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则实数的值所组成的集合为．【分析】直接利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．【解答】解：．将函数的图像向左平移个单位，得到，所得图像关于轴对称，故函数为偶函数，所以，解得．故实数的值所组成的集合为．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．11．已知函数的部分图象如图所示，若，则．【分析】先利用函数的图象确定函数的最小正周期，从而得到的值，利用最高点的坐标求出的值，从而得到，然后利用角的变换，将所求解的角转化为，再利用同角三角函数关系以及两角差的余弦公式求解即可．【解答】解：设的最小正周期为，则有，故，所以，因为，所以，当时，则，不符合题意；当时，则，又，所以，故，则，因为，所以，又因为，所以，故，所以．故答案为：．【点评】本题考查了由的部分图象确定其解析式，同角三角函数关系的应用，两角和差公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12．函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，写出所有真命题的序号①②③．①的一个周期为；②的图象关于对称；③是的一个零点；④在，上严格递减．【分析】根据三角函数的平移变换求出的解析式，结合函数的性质分别判断即可．【解答】解：由题意函数的图象向左平移个单位后，得函数，故，的最小正周期是，是的一个周期，①正确；由，解得：，，当时，，②正确；令，解得：，令，则，即是的一个零点，③正确；由，解得：，故在，上单调递增，④错误，故答案为：①②③．【点评】本题考查了函数的单调性，周期，对称性以及零点问题，是中档题．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。13．我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”．而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行扫线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条和邻“平行曲线”与直线相交于、两点，且，已知命题：①；②函数在，上有4048个零点，则以下判断正确的是A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【分析】求解函数的周期，推出，然后求解函数的零点个数．【解答】解：由题意可得：，所以，所以，所以①不正确．函数图像，在一个周期内，只有一个零点，所以函数在，上有4048个周期，因此，函数有4048个零点，所以②正确．故选：．【点评】本题考查正切函数的图象与性质的应用，是基础题．14．对于函数，给出下列结论：（1）函数的图像关于点对称；（2）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；则下列说法正确的是A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误【分析】（1）利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数解析式可得，利用正弦函数的性质即可判断；（2）利用函数的图象变换即可判断．【解答】解：（1），因为，所以函数的图像不关于点对称，错误；（2）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，正确．故选：．【点评】本题考查了二倍角公式，两角差的正弦公式的应用，考查了正弦函数的性质，函数的图象变换，属于基础题．15．将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意化简，可得，结合的周期，算出的最小值．【解答】解：函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像；若，则，即，根据函数的周期，当，时，，此时，达到最小值．综上所述，的最小值是1．故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质、三角函数的周期性等知识，考查了计算能力、概念理解能力，属于基础题．16．已知函数，，的部分图像如图所示．若，则的最大值为A．2 B． C．4 D．【分析】根据图象先求出，然后根据函数过点和在单调递减得到，代入函数解析式，利用两角和与差的正弦公式即可求解．【解答】解：由图可知，，，则，，又，且在单调递减，，，，，又，，，．故的最大值为．故选：．【点评】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题78分，1719题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。17．已知函数．（1）当时，用五点法作出函数一个周期内的图像；（2）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．【分析】（1）化简，列表，描点，平滑曲线连接即可；（2）利用三角函数单调性求参数取值范围即可．【解答】解：（1），当时，，列表00200作图（2）由（1）得，因为，所以，又函数在区间上是严格增函数，所以，即，解得，，又，解得，所以的取值范围为．【点评】本题主要考查了由部分函数的性质求解函数的解析式，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．18．已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（1）求的解析式和周期．（2）当时，求的值域．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，从而求得它的周期（2）当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得当时，的值域．【解答】解：（1）由题意可得，．根据图象上一个最低点为，可得，，，可得，，故它的周期为．（2）当时，，，故当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为2，故函数的值域为，．【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．19．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若函数的图像是由函数的图像向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，求函数的单调递增区间．【分析】（1）先利用同角三角函数关系式、二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简，然后由三角函数的周期计算公式求解即可；（2）利用三角函数的图象变换求出函数的解析式，然后由正弦函数的单调递增区间，列式求解即可．【解答】解：（1）函数，所以的最小正周期为；（2）函数的图像向右平移个单位长度，可得函数，再向上平移1个单位长度，可得函数，令，解得，故函数的单调递增区间为，．【点评】本题考查了同角三角函数关系式、二倍角公式以及辅助角公式的应用，三角函数的周期计算公式的应用，三角函数图象变换的应用，正弦函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20．已知函数．（1）求函数的振幅、频率、初始相位，以及在，上的增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数，当，且时，有，求的值．【分析】（1）根据函数解析式，利用振幅、频率、初始相位的定义，正弦函数的增区间，得出结论．（2）由题意利用函数的图象变换规律，三角恒等变换，得到的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得的值．【解答】解：（1）对于函数，它的振幅为，频率，初始相位，在，上，它的增区间为和．（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数，当，且时，有，即，．再根据的图象的对称性，，，故．【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．21．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形．（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值；（3）若的最小值为，求的取值．【分析】（1）直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的图象的应用求出函数的关系式；（2）利用（1）的结论，进一步利用角的变换求出结果