专题01计算问题（数与式、方程组与不等式组的解法）-2024年中考数学二轮复习讲练测（浙江新中考专用）

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考点要求命题预测数与式的相关运算中考中，数与式的相关运算主要考查实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算;而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考查又占了大多数，同时试题难度并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现;但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分.方程与不等式的相关运算方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考查.涉及本考点的重点有:由实际问题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的定义、解法及跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等.不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等式(组)及不等式(组)的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程(组)和不等式(组)的相关概念、性质、解法及应用.一、单选题1．（2023·浙江·中考真题）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、，故错误；B、，故错误；C、，故错误；D、，故正确；故选D．2．（2023·浙江杭州·中考真题）分解因式：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】．故选A．3．（2023·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A．，原计算错误，不符合题意；B．，原计算错误，不符合题意；C．，原计算正确，符合题意；D．，原计算错误，不符合题意；故选C．4．（2023·浙江台州·中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，而，，∴大小在3与4之间的是，故选C．5．（2023·浙江宁波·中考真题）据中国宁波网消息：2023年一季度宁波全市实现地区生产总值380180000000元，同比增长4.5%．数380180000000用科学记数法表示为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】，共有位数字，，故选B．6．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意；当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意；当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意；当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意；故选A．7．（2023·浙江·中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由数轴得：，，故选项A不符合题意；∵，∴，故选项B不符合题意；∵，，∴，故选项C不符合题意；∵，，∴，故选项D符合题意；故选D．8．（2023·浙江台州·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】，．在数轴上表示如图所示：

．故选B．9．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组的解集是（

）A． B．无解 C． D．【答案】D【解析】解不等式，解得，解不等式，解得，不等数组的解集为．故选D．10．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】∵，，∴∵∴A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选B．二、填空题11．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，因式分解后有一个因式为，∴这个多项式可以是（答案不唯一）；故答案为：（答案不唯一）．12．（2023·浙江温州·中考真题）不等式组的解是．【答案】/【解析】解不等式组：由①得，；由②得，所以，．故答案为：．13．（2023·浙江绍兴·中考真题）方程的解是．【答案】【解析】去分母，得：，化系数为1，得：．检验：当时，，∴是原分式方程的解．故答案为：．14．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是．先化简，再求值：，其中解：原式【答案】5【解析】依题意得：，即，去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括号得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，故答案为：5．15．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为．【答案】/【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵即，∴，解得，经检验是方程的解，故答案为：．16．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．

（1）若，则图1阴影部分的面积是；（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是．【答案】【解析】（1），图1阴影部分的面积是，故答案为：．（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为，∴，，即∴（负值舍去）∵，．解得：∵①∴，∴，∴②联立①②解得：（为负数舍去）或∴，图2阴影部分的面积是.故答案为：．三、解答题17．（2023·浙江温州·中考真题）计算：(1)．(2)．【解析】（1）．（2）．18．（2023·浙江嘉兴·中考真题）（1）解不等式：．（2）已知，求的值．【解析】（1）解：移项，得，解得，；（2）解：∵，∴原式，，．19．（2023·浙江宁波·中考真题）计算：(1)．(2)．【解析】（1）解：；（2）解：．20．（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值．【解析】．当时，原式．21．（2023·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组【答案】【解析】，解不等式①，得，解不等式②，得，所以原不等式组的解是．22．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误：(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；(2)写出你的解答过程．【解析】（1）解：划线如图所示：（2）解：，，，，．23．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①；②；③；④．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【解析】中，①时，，方程有两个相等的实数根；②时，，方程有两个不相等的实数根；③时，，方程有两个不相等的实数根；④时，，方程没有实数根；因此可选择②或③．选择②时，，，，，；选择③时，，，，，．24．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下：小丁：解：去分母，得去括号，得合并同类项，得解得∴原方程的解是小迪：解：去分母，得去括号得合并同类项得解得经检验，是方程的增根，原方程无解你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】都错误，见解析【解析】小丁和小迪的解法都错误；解：去分母，得，去括号，得，解得，，经检验：是方程的解．25．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：(1)写出的结果．(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【解析】（1）；（2）；（3）．26．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…．(1)尝试：___________．(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．【解析】（1）解：∵，，，，∴，，故答案为：6；（2）由题意得：，故答案为：n；（3）．考点一数与式的相关运算题型01实数的混合运算1．实数熟记实数的分类：实数：或实数：2．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．3．实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．4．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．5．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”①运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．②运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．③运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．6．熟记特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．1．（2023·浙江舟山·模拟预测）以下四个数中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∵负数小于零，∴，∵，∴，∴最大的数是，故选．2．（2023·浙江杭州·二模），．【答案】/【解析】，故答案为：，．3．（2023·浙江·一模）若，则的值是．【答案】【解析】∵，∴，，∴，，∴．故答案为：．4．（2023·浙江湖州·一模）计算：．【答案】【解析】．5．（2023·浙江衢州·三模）计算：【答案】【解析】．题型02二次根式的性质及运算1．二次根式有意义的条件（1）判断二次根式，熟记概念：形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零（3）二次根式具有非负性，即（a≥0）是一个非负数．2．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）3．熟记最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．4．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．5．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．6．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．6．二次根式中，字母的取值范围是．【答案】【解析】∵二次根式有意义，∴，解得：，故答案为：．7．（2023·浙江金华·一模）计算的结果等于．【答案】【解析】原式．故答案为：．8．若最简根式与是同类二次根式，则．【答案】2【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得，故答案为：2．9．（2023·浙江·模拟预测）婷婷对“化简：”的解答过程如下：解：原式．试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程：若有错误，请写出正确的解答过程．【解析】婷婷的解答过程正确，另外解答如下：．10．（2023·浙江嘉兴·二模）化简：，以下是小曹同学的解答过程．思考并完成以下任务．解：原式

①

②

③任务：(1)小曹的解答过程是从第几步开始出错的，请指出错误的原因；(2)请尝试写出正确的化简过程．【解析】（1）解：∵，∴小曹的解答过程是从第①步开始出错的，错误原因是：；（2）解：．题型03整式的混合运算及化简求值一．整式的加减1.几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．整式的加减实质上就是合并同类项．【规律方法】整式的加减步骤及注意问题（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．2．整式的加减—化简求值给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．二．幂的运算及性质：1.同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．2．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）3．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．四、整式的乘法1．单项式乘单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．2．单项式乘多项式（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．3．多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．五、乘法公式1．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．2．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）3．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．4．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．六、整式的除法（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．11．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知代数式的值是3，则代数式的值是．【答案】7【解析】∵，∴故答案为：712．（2023·浙江杭州·二模）已知，，，当，时，．【答案】【解析】∵，，，当，时∴∴故答案为：．13．（2023·浙江·模拟预测）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是．【答案】【解析】依题意，设，∴，∴，∴，∴；故答案为：．14．（2023·浙江杭州·二模）尝试：当时，．当时，．当时，．……小滨给出了猜想和证明，请判断是否正确，若有错误请给出正确解答．猜想：．证明：，所以．所以因为，所以．所以等式不成立，结论错误．【解析】猜想正确，证明错误，证明：，左边，右边，所以左边右边，所以等式成立，结论正确．15．（2023·浙江嘉兴·一模）对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表：x012340381524350381524观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1．(1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；(2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值；(3)若代数式参照代数式取值延后，求的值．【解析】（1）解：根据题意，（2）解：设相应的延后值为k，得：，化简得：，，解得，当时，成立，∴相应的延后值是3．（3）解：设相应的延后值为m，得：，化简得：，，将代入，可得∴．题型04因式分解一．因式分解-提公因式法1、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．2、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．二．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．三．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）16．（23·24九年级上·浙江金华·开学考试）分解因式：．【答案】【解析】，故答案为：．17．（2023·浙江衢州·一模）分解因式：【答案】【解析】，故答案为：．18．（2023·浙江杭州·三模）分解因式：．【答案】【解析】．故答案为：．19．（2023·浙江嘉兴·一模）因式分解．小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．小禾的解法：①②③小禾的检验：当时，∵∴分解因式错误．任务：(1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因．(2)请尝试写出正确的因式分解过程．【解析】（1）解：小禾的解答是从第①步开始出错的，应为；（2）解：．20．（2023·浙江·模拟预测）若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长．【解析】设a、b分别为两条直角边长，则斜边长，由于a、b、c均为正整数，故，不妨设，依题意有，即，两边平方并整理得：，则，∴，由于a、b为正整数，，故或，解得：或，所以，这个直角三角形三边的长为或．题型05分式的混合运算及化简求值1.分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．2．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．3．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．4．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．5．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．②注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．③注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．6．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题①化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．②代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．21．（2023·浙江绍兴·一模）若分式的值为0，则的值是.【答案】2【解析】∵分式的值为0，∴，解得，故答案为：2．22．（2023·浙江舟山·模拟预测）的计算结果为（

）A．1 B．2 C．2 D．【答案】B【解析】解:，故选B23．（2023·浙江温州·三模）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选D．24．（2023·浙江温州·三模）(1)计算：．(2)化简：．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；25．（2023·浙江杭州·二模）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：(1)老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第步开始出现错误；乙同学的解答从第步开始出现错误；(2)请重新写出此题的正确解答过程．甲同学乙同学第一步第二步第三步第一步第二步第三步【解析】（1）解：甲同学的解答从第二步开始出现错误，错误原因是未遵守去括号法则，当括号前面是减号时，去括号，括号内的加号变减号，减号变加号，所以第二步分子中的“”应为“”；乙同学的解答从第二步开始出现错误，错误原因是与等式混淆，丢掉了分母；故答案为：二；二；（2）解：原式．题型06科学记数法与近似数1．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．科学记数法—表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律x的取值范围表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整数的位数﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）26．（2022·浙江金华·一模）根据（浙江省）金华市第七次人口普查主要数据公报显示，兰溪市常住人口为574801人，574801这个数用科学记数法（精确到万位）表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】；故选D．27．（2023·浙江绍兴·模拟预测）据绍兴市文化广电旅游局提供的数据表明，“五一”假期全市共接待游客人次，用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故选C．28．2023年2月婺城区第十届人民代表大会审议通过的政府工作报告中指出，2022年实现地区生产总值元．数用科学记数法表示为．【答案】【解析】．故答案为：．29．（2023·浙江杭州·一模）某平台进行“天宫课堂”中国空间站全程直播．某一时刻观看人数达到人．用科学记数法表示．【答案】【解析】．故答案为：．30．（2022·浙江丽水·二模）2021年全国第7次人口普查，丽水市常住人口为2507396人，数2507396用科学记数法表示为．【答案】【解析】2507396＝2.507396×106．故答案为：2.507396×106．考点二方程与不等式的相关运算题型01解一元一次方程1.解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．2.解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．3.在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．1．（2023·浙江温州·一模）解方程，以下去分母正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，去分母得，，故选A．2．（2023·浙江温州·一模）将方程去分母，结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】将方程去分母得：；故选A．3．已知一次函数（a、b是常数），x与y的部分对应值如下表：则方程的解是．xm012y02n6【答案】【解析】将代入得：，解得：，∴一次函数表达式为，把代入得：，解得：；把代入得：，∴把，代入得：，解得：．故答案为：．4．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数m，n，．若，则x的值为．【答案】1【解析】∵，∴，解得：，故答案为：1．题型02解二元一次方程组及其应用1．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．2．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．6．（2023·浙江台州·中考真题）解方程组：【答案】【解析】①+②，得．∴．把代入①，得．∴这个方程组的解是．7．已知代数式与是同类项，那么的值分别是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵代数式与是同类项，∴，解得，故选C．8．（23·24九年级上·浙江温州·开学考试）如图是小慧用列表法研究关于x，y的二元一次方程整数解的规律，如图是小慧列表的部分内容．由表可知m，n的值分别为（）x﹣10125y﹣7﹣31mnA．3，9 B．3，17 C．5，9 D．5，17【答案】D【解析】将和代入得，，解得：，则原方程为，则，当时，，即，当时，，即，故选D．9．用消元法解方程组时，两位同学的消元方法如下：小吴解法：由，得．小严解法：由②，得③把①代入③，得．(1)上述两位同学的消元过程是否有误，请判断．(2)请选择一种你喜欢的方法，解出方程组．【解析】（1）解：小吴有错误，小严正确．（2）解：方法一：由，得，解得，把代入①，得：，解得：．所以原方程组的解是．方法二：由②，得把①代入③，得，解得：，把代入①得：，解得：，所以原方程组的解是．10．若与有相同的解，求a、b的值．【答案】的值为，的值为3【解析】关于、的方程组与有相同的解，∴方程与方程的解相同，联立两方程得：，解得，将代入方程与方程得，解得．的值为，的值为3．题型03解分式方程1．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．2．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．11．（2023·浙江绍兴·中考真题）方程的解是．【答案】【解析】去分母，得：，化系数为1，得：．检验：当时，，∴是原分式方程的解．故答案为：．12．（1）先化简再求值：，其中；（2）解方程：．【解析】（1），∵，∴原式；（2）去分母，得，移项、合并同类项，得，化系数为1，得，经检验，是原分式方程的解．13．（2023·浙江杭州·二模）小汪解答“解分式方程：”的过程如下，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．解：去分母得：…①，去括号得：…②，移项得：…③，合并同类项得：…④，系数化为1得：…⑤，∴是原分式方程的解．【解析】错误步骤的序号为①，去分母得：去括号得：移项得：…③，合并同类项得：…④，检验：当时，，∴是原分式方程的解．14．（2023·浙江杭州·一模）若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率．已知b，p，则a＝．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，解得：；经检验，符合题意．故答案为：．15．（2023·浙江宁波·二模）某超市按照一种定价法则来制定商品的售价：商品的成本价a元，工商局限价b元，以及定价系数来确定定价c，a、b、c满足关系式，经验表明，最佳定价系数k恰好使得，据此可得，最佳定价系数k的值等于．【答案】【解析】∵，∴，∴，即：，解得：或（不合题意，舍去）；经检验，是原方程的解；∴．故答案为：．题型04根据分式方程解的情况求值分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．16．若关于x的方程无解，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】C【解析】去分母得x﹣1＝m﹣（x﹣3），整理得m﹣2x＝﹣4，∵关于x的方程无解，∴x﹣3＝0，即x＝3，∴m﹣2×3＝﹣4，∴m＝2．故选C．17．若实数为不大于的非负整数，则使关于的分式方程的解为整数的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解分式方程得，实数为不大于的非负整数，，，，，，，，显然解的分子只能是2的倍数，从而a只能取偶数；∴当时，；当时，，方程无解，故舍去；当时，；当时，，使关于的分式方程的解为整数的概率为，故选．18．若关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是．【答案】且【解析】去分母得：，去括号得：，移项得：合并同类项得：，解得：，∵分式方程的解是负数，，，∴，且，即，解得：且∴且．故答案为：且．19．（2023·浙江·模拟预测）已知关于的方程的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解．【解析】两边同乘,得，若，若，由题意，知，解得，当时，，当时，，若方程有两不等实根，则其中一个为增根，当时，，，当时，，．20．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围.【解析】原方程可化为①，（1）当时，，，符合题意；（2）当是方程①的根时，，，此时方程①为，，解得另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，，且，即，得，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k的取值范围是：或或．题型05解一元一次不等式1.不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．2.解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．21．不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，不等式的两边都除以得：，故选B．22．（2023·浙江·三模）若关于的不等式的解为，则的值可以取（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵关于的不等式的解为，∴，∴，故选D．二、填空题23．（2023·浙江·模拟预测）不等式对任意的实数x都能成立，则a的条件为．【答案】【解析】∵，∴，要使任意的实数x都能成立，则解得：，故答案为：．24．（2023·浙江绍兴·模拟预测）（1）计算：；（2）解不等式：．【解析】（1）原式；（2），去括号，得，移项，得，合并同类项，得．25．小英解不等式的过程如下，其中有一个步骤出现错误，并写出正确的解答过程．解：去分母得：；①，去括号得：；②，移项得：；③，合并同类项得：；④，两边都除以得：；⑤．【解析】由题目中的解答过程可知，第①步出错了，去分母，得：，去括号，得：，移项及合并同类项，得：，系数化为1，得：．题型06解一元一次不等式组1.不等式组解集的确定有两种方法：1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．2.解一元一次不等式组的一般步骤：1）求出不等式组中各不等式的解集.2）将各不等式的解决在数轴上表示出来.3）在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.26．（23·24九年级上·浙江温州·开学考试）不等式组的解是．【答案】【解析】，由①得，；由②得，∴不等式组的解集为．故答案为：．27．解不等式组：．【解析】解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．28．（2023·浙江宁波·一模）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来；（2）计算：．【解析】（1）解不等式①得：，解不等式②得：，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示，∴原不等式组的解集为．（2）．29．（2023·浙江·模拟预测）已知关于的不等式组恰好有四个整数解，则实数的取值范围是．【答案】【解析】解不等式组得，则，∵该不等式组的解集恰好有四个整数解，∴四个整数解为4、5、6、7，∴，故答案为：．30．若不等式组无解，则的取值范围是．【答案】【解析】∵解①得，解②，∵不等式组无解，根据大大小小无解找，得，故答案为：．题型07解一元二次方程1．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．2．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法