专题06 二次函数的应用-2024年中考数学二轮复习讲练测（浙江新中考专用）

第第页专题06二次函数的应用目录题型01二次函数的应用-运动类题型02二次函数的应用-经济类题型03二次函数的应用-面积类题型04二次函数的应用-拱桥类题型01二次函数的应用-运动类1．（2023春•渑池县月考）物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（）A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③【答案】D【解析】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，∴函数解析式为，把h＝30代入解析式得，，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选D．2．（2024•杭州模拟）为了准备体育中考，教练对小明扔实心球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系后发现实心球与地面的高度y（m）和离运动员出手点的水平距离x（m）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是10m．【答案】10m．【解析】解：令y＝0（x＞0），则x＝10，故答案为：10m．3．（2023•拱墅区校级模拟）公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行16m才能停下．【答案】16．【解析】解：s＝16t﹣4t2＝﹣4（t﹣2）2+16，∵﹣4＜0，∴当t＝2时，s最大，∴当t＝2时，汽车停下来，滑行了16m．故答案为：16．4.（2024春•温州月考）某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+30t+1，则这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为6s．【答案】6．【解析】解：h＝﹣t2+30t+1＝﹣（t﹣6）2+91，∵﹣＜0∴这个二次函数图象开口向下．∴当t＝6时，升到最高点．故答案为：6．5．（2024•宁波模拟）如图，将球从点O的正上方3m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．（1）若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度．（2）若小球的正前方4m（OC＝4m）处有一个截面为长方形的球筐CDEF，其中CD为2m，DE为1m，若要使小球落人筐中，求b的取值范围．【答案】（1）小球达到的最大高度为m；（2）要使小球落人筐中，b的取值范围为：≤b≤．【解析】解：（1）∵小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度，∴抛物线的对称轴为：直线x＝1．∴﹣＝1．解得：b＝．由题意得：抛物线上点A的坐标为（0，3）．∴c＝3．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3．当x＝1时，y＝﹣++3＝．答：小球达到的最大高度为m；（2）由题意得：点F的坐标为（4，1），点E的坐标为（6，1）．∵抛物线上点A的坐标为（0，3），∴c＝3．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+bx+3．①抛物线经过点（4，1）．﹣×42+4b+3＝1．解得：b＝．①抛物线经过点（6，1）．﹣×62+6b+3＝1．解得：b＝．∴要使小球落人筐中，b的取值范围为：≤b≤．6．（2023秋•萧山区月考）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在O处将球垫偏，之后又在A、B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1、C2、C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点，点B的横坐标为，抛物线C1表达式为y＝ax2﹣2ax和抛物线C3表达式为y＝2ax2+bx（a≠0）．（1）求抛物线C1的函数表达式；（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？【答案】（1）；（2）最大高度未达到要求，理由见解析；（3）1.75米．【解析】解：（1）∵抛物线C1表达式为y＝ax2﹣2ax，且经过点，∴，解得：，∴抛物线C1的函数表达式为：；（2）最大高度未达到要求，理由如下：由（1）得，抛物线C1的函数表达式为，∵，∴抛物线C1的顶点坐标为，∵O处离地面的距离为1米，∴球在运动中离地面的最大高度为，∴最大高度未达到要求；（3）解：由（1）可知，，∵抛物线C3表达式为y＝﹣x2+bx，∴对称轴为直线，顶点坐标为，∵球在运动中离地面的最大高度达到要求，∴，∴b≥2或b≤﹣2，∵对称轴在x轴负半轴，∴b＜0，∴b≤﹣2，∵点B的横坐标为，∴，∴当b＝﹣2时，yB有最小值，最小值为，∴点B离地面的高度至少为（米）．7．（2024•湖州一模）某校风雨操场使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为x（米）（x≥0），与地面的高度为y（米），y与x的对应数据如表所示．x（米）00.411.6⋯y（米）22.162.252.16⋯（1）球经发球机发出后，最高点离地面2.25米；求y与x的函数解析式；（2）发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，y与x≥0）之间满足函数关系．①为确保球在米高度时能接到球，求球拍的接球位置与发球机的水平距离是多少米；②通过计算判断第一、二次发球后飞行过程中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米．【答案】（1）2.25；y与x的函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2.25；（2）①球拍的接球位置与发球机的水平距离是2米；②两球的高度差不能超过1米．【解析】解：（1）由题意，抛物线的对称轴是直线x＝＝1．∴当x＝1时，y＝2.25，即顶点为（1，2.25）．∴球经发球机发出后，最高点离地面2.25米，故答案为：2.25；设y与x的函数解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25，将（0，2）代入y＝a（x﹣1）2+2.25，解得a＝﹣，∴y与x的函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2.25；（2）①当y＝时，﹣x2+x+＝，整理得：x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（舍去），∴球拍的接球位置与发球机的水平距离是2米；②球的高度差为﹣（x﹣1）2+﹣（﹣x2+x+）＝﹣x2+x+2+x2﹣x﹣＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，球的高度差最大值为米，∵＜1，∴两球的高度差不能超过1米．8.（2023秋•浙江期中）如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．（2）通过计算判断此球能否过网．（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离．【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）此球能过网；（3）乙与球网的水平距离为2米．【解析】解：（1）根据题意，抛物线顶点坐标为（4，2），与y轴交点坐标为（0，1），设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+2，把（0，1）代入得：1＝16a+2，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣4）2+2＝﹣x2+x+1；∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+1；（2）在y＝﹣x2+x+1中，令x＝5得y＝﹣++1＝1.9375，∵1.9375＞1.55，∴此球能过网；（3）在y＝﹣x2+x+1中，令y＝得：＝﹣x2+x+1，解得x＝1（舍去）或x＝7，∵7﹣5＝2（米），∴乙与球网的水平距离为2米．9．（2024•海宁市校级模拟）汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离y（m）与刹车时间的速度x（m/s）有以下关系式：y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）．某车辆测试结果如下：当车速为10m/s时，刹车距离y为3m；当车速为15m/s，刹车距离y为7.5m．（1）求出a，b的值；（2）行车记录仪记录了该车行驶一段路程的过程，汽车在刹车前匀速行驶了20s，然后刹车直至停下．测得刹车距离为5m，问：记录仪中汽车行驶路程为多少米？【答案】（1）a的值是，b的值是﹣；（2）记录仪中汽车行驶路程为250米．【解析】解：（1）∵刹车距离y（m）与刹车时间的速度x（m/s）有以下关系式：y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）．某车辆测试结果如下：当车速为10m/s时，刹车距离y为3m；当车速为15m/s，刹车距离y为7.5m，∴，解得，即a的值是，b的值是﹣；（2）当y＝5时，5＝x2﹣x，解得x1＝﹣10（不合题意，舍去），x2＝，20×＝250（米），答：记录仪中汽车行驶路程为250米．10．（2023•鹿城区校级模拟）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：s/m…912151821…h/m…4.24.854.84.2…（1）根据表中数据预测足球落地时，s＝30m；（2）求h关于s的函数解析式；（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．【答案】（1）30；（2）h＝﹣（s﹣15）2+5＝﹣s2+s．（3）①不成功，理由见解答部分；②此过程守门员的最小速度为m/s．【解析】解：（1）由表格可知，s＝9时和s＝21时，h相等，s＝12时，s＝18时，h相等，抛物线关于s＝15对称，∵当s＝0时，h＝0，∴s＝30时，h＝0，故答案为：30．（2）由（1）知，抛物线关于s＝15对称，设h＝a（s﹣15）2+5，把（12，4.8）代入上述解析式，∴a（12﹣15）2+5＝4.8，解得a＝﹣，∴h＝﹣（s﹣15）2+5＝﹣s2+s．（3）①不成功，理由如下：若守门员选择面对足球后退，设ts时，足球位于守门员正上方，则球的水平距离为15t＝28﹣（8﹣2.5t），解得t＝1.6，∴s＝15×1.6＝24m，∴h＝﹣（24﹣15）2+5＝3.2m，∵3.2＞2.5，∴若守门员选择面对足球后退，则守门不成功；②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为vm/s，且ts时，足球位于守门员正上方，则有15t＝28﹣（8﹣vt），解得t＝s，∴s＝15•＝m，代入上述解析式可得，h＝﹣•（）2+•＝1.8，解得v＝或v＝85．∴此过程守门员的最小速度为m/s．题型02二次函数的应用-经济类1．（2022秋•龙湾区期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（）A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）【答案】C【解析】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x），故选：C．2．（2024•镇海区校级模拟）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．【答案】（1）y关于x的函数关系式为：y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；（3）为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围为：50≤x≤52．【解析】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740．∴y关于x的函数关系式为：y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10x2+1140x﹣29600．∴抛物线的对称轴为：x＝﹣＝57．∵﹣10＜0，44≤x≤52，∴当x＝52时，w有最大值，最大值为：（52﹣40）×（﹣10×52+740）＝2640；答：纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；（3）∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，∴w﹣200≥2200．∴﹣10x2+1140x﹣29600﹣200≥2200．当﹣10x2+1140x﹣29600﹣200＝2200时，﹣10x2+1140x﹣32000＝0．x2﹣114x+3200＝0，（x﹣50）（x﹣64）＝0．∴x1＝50，x2＝64．∵﹣10＜0，44≤x≤52，∴为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52．答：为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围为：50≤x≤52．3．（2023秋•鄞州区校级月考）傣族泼水节是流行于云南省傣族人民聚居地的传统节日，是国家级非物质文化遗产之一，又名“浴佛节”．泼水节临近，某超市购进了某品牌塑料脸盆，进价为每个8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每个塑料脸盆的售价是9元时，每天的销售量为105个；当每个塑料脸盆的售价是11元时，每天的销售量为95个．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该商店销售该品牌塑料脸盆每天获得425元的利润，则每个塑料脸盆的售价为多少元？（3）设该商店销售该品牌塑料脸盆每天获利w（元），当每个塑料脸盆的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，由题意可知：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），即每个塑料脸盆的售价为13元；（3）w＝y（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x为整数，当x＜19时，w随x的增大而增大，∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．4．（2023秋•衢州月考）2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？（3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y与x之间的关系式为：y＝﹣2x+220（40≤x≤72）；（2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元；（3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润是2432元．【解析】解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由图象可得，当x＝50时，y＝120；x＝60时，y＝100，∴，解得：，∵销售单价不低于成本价且不高于成本价的1.8倍，∴40≤x≤72∴y与x之间的关系式为：y＝﹣2x+220（40≤x≤72）；（2）根据题意得：（x﹣40）（﹣2x+220）＝2400，整理得：x2﹣150x+5600＝0，解得x＝70或x＝80，∵40≤x≤72，∴x＝70，答：每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元；（3）设该商家每天获得的利润为w元，则w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，∵﹣2＜0，40≤x≤72，∴当x＝72时，w最大，最大值为2432，答：当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润是2432元．题型03二次函数的应用-面积类1．（2023秋•瑞安市期末）某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为22m（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（）A．52m2 B．48m2 C．45m2 D．41m2【答案】B【解析】解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为22+2﹣3x＝（24﹣3x）米，则总面积S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴当x＝4时，能建成的饲养室面积最大为48平方米，故选：B．2．（2022秋•临海市期末）如图1是一扇铝合金窗框，窗框可以看成由如图2所示的两个矩形组成，现用长am的铝合金窗材料做成窗框（不考虑材料加工时的损耗，不计材料的厚度），则当窗框的长AB为m时，窗框的采光面积最大（用含a的式子表示）．【答案】．【解析】解：设AB为xm，窗框的采光面积为Sm2，则CD＝EF＝AB＝xm，，∴窗框的采光面积，∵，∴当时，S取最大值为，即当AB为m时，窗框的采光面积最大．故答案为：．3．（2023•朝阳区二模）如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长AB＝3m，BC＝4m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m，在该抛物线与AD之间的区域内装有一扇矩形窗户FGHK，点G、H在边AD上，点F、K在该抛物线上．按如图所示建立平面直角坐标系．若GH＝2m，则矩形窗户的宽FG的长为m．【答案】．【解析】解：设抛物线表达式为y＝ax2+c，由图象可知：E（0，4），点D（2，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4，∵GH＝2，∴H（1，3），当x＝1时，y＝﹣×12+4＝，∴FG＝HK＝﹣3＝（m），∴矩形窗户的宽FG的长为m，故答案为：．4．（2023秋•萧山区月考）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39m．（篱笆的宽度忽略不计）（1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，说明理由．（2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）设AB的长为xm，则BC的长为（60﹣3x）m，根据题意得：x（60﹣3x）＝252，解得x＝6或x＝14，当x＝6时，BC＝60﹣18＝42＞39，舍去；当x＝14时，BC＝60﹣42＝18＜39，满足题意，∴花园面积可能是252m2，此时边AB长为14m；（2）设AB的长为xm，菜园面积为ym2，由题意得：y＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300，∵﹣3＜0，∴当x＜10时，y随x的增大而增大，∵x≤8，∴当x＝8时，y最大，最大值为288．答：该菜园面积的最大值为288平方米．5．（2023•海淀区校级模拟）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2（1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）设AE＝a，由题意得：AE•AD＝2BE•BC∵AD＝BC∴BE＝a，AB＝由题意可得：2x+3a+2×a＝160∴a＝40﹣x∴y＝AB•BC＝ax＝（40﹣x）x∴y＝﹣x2+60x（0＜x＜80）令y＝1500得：﹣x2+60x＝1500化简得：x2﹣80x+2000＝0∵△＝802﹣4×2000＝6400﹣8000＜0∴方程无解答：不存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2（2）∵y＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣40）2+1200∴当x＝40时，y有最大值，最大值是1200m2．题型04二次函数的应用-拱桥类1．（2023秋•西湖区校级期中）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．【答案】（1）此桥拱截面所在抛物线的表达式为；（2）此船不能通过桥洞．理由见解析．【解析】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6，把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，解得，∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；（2）此船不能通过，理由：当y＝2+3＝5时，，解得x＝5或x＝15，∵15﹣5＝10＜12，∴此船不能通过桥洞．2．（2022秋•临海市期末）如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为x轴、中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水柱高度y（单位：m）与水柱距离喷水池中心的水平距离x（单位：m）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2m时，达到最大高度3.61m，此时水柱刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高2.61m．（1）求如图2所示抛物线的解析式．（2）为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用（p，0）表示．（仅考虑y轴右侧的情况）．①求p的取值范围；②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时p的值5．【答案】（1）；（2）①3.8≤p≤5.8；②5．【解析】解：（1）由题意可知，该抛物线的顶点坐标为（2，3.61），点A（0，2.61），设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3.61，将点A（0，2.61）代入，可得2.61＝a（0﹣2）2+3.61，解得，∴该抛物线的解析式为；（2）①对于抛物线，当y＝0时，可有，解得x＝5.8或x＝﹣1.8（舍去），根据题意，喷水头向中心线沿直线滑动，若要求喷水柱最高点不能超过中心线，如下图，则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，此时抛物线解析式为，令y＝0，即有，解得x＝3.8或x＝﹣3.8（舍去），∴p的取值范围为3.8≤p≤5.8；②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为km，则抛物线解析式为，当水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，即此时抛物线经过点（0，3.25），将点（0，3.25）代入抛物线，可得，解得k＝0.8或k＝3.2（滑动距离超出①中范围，舍去），∴此时抛物线解析式为，令y＝0，即有，解得x＝5或x＝﹣2.6（舍去），∴此时喷头位置为（5，0）．故答案为：5．3．（2024•兰州模拟）如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计．深安黄河大桥主拱形OAB呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连．如图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆CD到原点O的水平距离OC＝26m，吊杆EF到原点O的水平距离OE＝134m，且CD＝EF，主拱形离桥面的距离y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝﹣0.006（x﹣h）2+k，其对称轴为直线x＝h．（1）求OH的长度；（2）求主拱形到桥面的最大高度AH的长．【答案】（1）OH的长度为80m；（2）主拱形到桥面的最大高度AH的长为38.4m．【解析】解：（1）由题意得，其对称轴为直线x＝＝80，即h＝80，OH＝80m，答：OH的长度为80m；（2）∵h＝80，∴y＝﹣0.006（x﹣80）2+k，∵直线x＝80是其对称轴，∴B（160，0），将B点代入函数y＝﹣0.006（x﹣80）2+k，得，﹣0.006（160﹣80）2+k＝0，解得：k＝38.4，∴y＝﹣0.006（x﹣80）2+38.4，∴A（80，38.4），即AH＝38.4m，答：主拱形到桥面的最大高度AH的长为38.4m．4．（2023•越城区三模）设计“脚手架”支杆的长度材料1为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED和矩形ABCD构成．已知矩形的长BC＝12米，宽AB＝3米，抛物线最高点E到地面BC的距离为7米．材料2冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱PQ和MM，如图所示．材料3为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN．搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，如图所示．问题解决任务1确定大棚形状按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线AED的函数表达式．任务2尝试计算间距若两根支撑柱PQ，MN的高度均为6米，求两根支撑柱PQ．MN之间的水平距离．任务3探索最优方案为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN．搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，求出“脚手架”三根支杆PQPN，MN的长度之和的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+7；（2）6米；（3）米．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12（米），∴点A（﹣6，3），点D（6，3），根据题意和图象可得，顶点E的坐标为（0，7），∴可设抛物线AED的解析式为：y＝ax2+7，把点A（﹣6，3）代入解析式可得：36a2+7＝3，解得：a＝﹣，抛物线AED的解析式为：y＝﹣x2+7；（2）当y＝6时，﹣x2+7＝6，解得x＝±3，∵3﹣（﹣3）＝3+3＝6（米），∴两根支撑柱之间的水平距离为6米；（3）设N点坐标为（m，﹣m2+7），PQ、PN、MN的长度之和为w米，则PN＝2m，PQ＝MN＝﹣m2+7，∴w＝2m+2（﹣m2+7）＝﹣m2+2m+14＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，当m＝时，w有最大值，最大值为，∴“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和w的最大值为米．5．（2024•台州一模）图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段AC，线段BD，曲线AB，曲线CD围成的封闭图形，且AC∥BD，BD在x轴上，曲线AB与曲线CD关于y轴对称．已知曲线CD是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：（p为常数，8≤p≤40）．（1）当p＝10时，求曲线AB的函数解析式．（2）如图3，用三段塑料管EF，FG，EH围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，E，F分别在曲线CD，曲线AB上，G，H在x轴上．①记EF＝70米时所需的塑料管总长度为L1，EF＝60米时所需的塑料管总长度为L2．若L1＜L2，求p的取值范围．②当EF与AC的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值．【答案】（1）；（2）；②当EF与AC的差为20m时，三段塑料管总长度最大，最大值为110m．【解析】解：（1）当p＝10时，C坐标为（10，40），由对称得点A坐标为（﹣10，40），∴抛物线AB的解析式为：；（2）①根据题意，设E1（35，y1），E2（30，y2），∵L1＜L2，∴35+y1＜30+y2，即：，化简得：65﹣2p＞20，∴，∴；②解：设EF﹣AC＝2d，三段塑料管总长度为L，根据题意可得：，∴，化简得：，当d＝10时，L有最大值110，∴当EF与AC的差为20m时，三段塑料管总长度最大，最大值为110m．（限时60分钟）一．选择题（共8小题）1．（2024•西安模拟）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（）A．160W B．180W C．200W D．220W【答案】D【解析】解：由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为P＝aI2+bI，把（1，165），（4，0）代入得：，解得：∴抛物线解析式为P＝﹣55I2+220I＝﹣55（I﹣2）2+220，∵﹣55＜0，∴当I＝2时，P取最大值220，∴变阻器R消耗的电功率P最大为220W；故选：D．2．（2024•阳泉模拟）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列说法正确的是（）A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球的飞行高度可以达到25m D．小球从飞出到落地要用4s【答案】D【解析】解：20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3，即h＝15时所用的时间，∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误；h＝20t﹣5t2＝20﹣5（2﹣t）2，∴对称轴直线为：t＝2，最大值为20，故D错误；∴t＝3时，h＝15，此时小球继续下降，故B错误；∵当h＝0时，t1＝0，t2＝4，∴t2﹣t1＝4，∴小球从飞出到落地要用4s，故C正确．故选：D．3．（2024•梅县区一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的解析式是h＝﹣5t2+30t（0≤t≤6），则小球到达最高高度时，运动的时间是（）A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒【答案】C【解析】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，∵﹣5＜0，0≤t≤6，∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，∴小球运动3秒时，小球达到最高高度，故选：C．4．（2023秋•青山区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），这个函数图象如图所示．则小球从第1s到第5s的运动路径长为（）A．20m B．30m C．40m D．50m【答案】C【解析】解：由题意得，第3s时小球达到最高点，此时小球距离地面45m，然后小球开始竖直下落，∴当t＝1时，h＝30﹣5＝25（m），当t＝5时，h＝30×5﹣5×52＝150﹣125＝25（m），∴从第1s到第5s运动路径长为45﹣25+45﹣25＝40（m），故选：C．5．（2023•蒲城县一模）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米【答案】C【解析】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为y＝ax2+16，由题意可知，B的坐标为（20，0），∴400a+16＝0，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+16，∴当x＝5时，y＝15．∴与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米，故选：C．6．（2023秋•石家庄期中）某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+30t+1．若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．6s B．7s C．8s D．9s【答案】A【解析】解：h＝﹣t2+30t+1＝﹣（t﹣6）2+91，∵﹣＜0∴这个二次函数图象开口向下．∴当t＝6时，升到最高点．故选：A．7．（2023秋•孝南区期中）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【解析】解：∵S＝﹣0.25t2+8t＝﹣0.25（t﹣16）2+64，﹣0.25＜0，∴当t＝16时，S取得最大值64，∴无人机着陆后滑行16秒才能停下来，故选：B．8．（2023•榆阳区二模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是（）A．米 B．10米 C．米 D．米【答案】A【解析】解：由于两盏警示灯E、F距离水面都是8米，因而两盏警示灯之间的水平距离就是直线y＝8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．故有，即x2＝80，解得，．所以两盏警示灯之间的水平距离为：（米）．故选：A．二．填空题（共6小题）9．（2023秋•如皋市期末）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天350元．【答案】350．【解析】解：设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，由题意得：y＝（180+10x﹣20）（50﹣x）＝﹣10x2+340x+8000＝﹣10（x﹣17）2+10890，∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当x＝17时，y有最大值，此时房间定价为180+10×17＝350（元）．∴若想要获得最大利润，房间定价为350元．故答案为：350．10．（2023秋•朝阳区期末）对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h，初速度v，抛出后所经历的时间t，这三个量之间有如下关系：h＝vt﹣gt2（其中g是重力加速度，g取10m/s2）．将一物体以v＝21m/s的初速度向上抛，当物体处在离抛出点18m高的地方时，t的值为或3．【答案】或3．【解析】解：把v＝21，h＝18代入h＝vt﹣gt2得，18＝21t﹣×10t2，整理得：5t2﹣21t+18＝0，解得t1＝，t2＝3，∴当物体处在离抛出点18m高的地方时，t的值为或3．故答案为：或3．11．（2023秋•陇西县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为2s．【答案】见试题解答内容【解析】解：根据题意得三角形面积为：S＝（8﹣2t）t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∵由以上函数图象知∴当t＝2时，△PBQ的面积最大为4cm2．12．（2023春•龙华区期中）如图，某小区规划在一块边长为x米的正方形场地上，铺设两条宽为1米的小路，其余部分铺设草坪，则草坪的面积y（米2）与正方形场地边长x（米）之间的关系式为y＝x2﹣2x+1．【答案】y＝x2﹣2x+1．【解析】解：由题意可得：y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故答案为：y＝x2﹣2x+1．13．（2022秋•浮山县期末）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为220W．【答案】220．【解析】解：由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为P＝aI2+bI，把（1，165），（4，0）代入得：，解得，∴抛物线解析式为P＝﹣55I2+220I＝﹣55（I﹣2）2+220，∵﹣55＜0，∴当I＝2时，P取最大值220，∴变阻器R消耗的电功率P最大为220W；故答案为：220．14．（2023秋•拱墅区月考）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为y＝﹣，宾馆利润最大利润是10240元．【答案】y＝﹣，10240．【解析】解：设设房价x元，宾馆的利润为y元，由题意得：y＝（x﹣40）（50﹣）＝﹣即：y＝﹣，∵y＝﹣＝﹣（x﹣360）2+10240a＝﹣＜0，抛物线开口向下，∴当x＝360时，y有最大值，为10240．此时房间定价为360元．∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．故答案为：y＝﹣，10240．三．解答题（共7小题）15．（2024•社旗县一模）一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为（4，8）．（1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；（2）小球在斜坡上的落点A的垂直高度为米；（3）若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x﹣4）2+8；（2）；（3）小球M能飞过这个广告牌．【解析】解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为（4，8），∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，把（0，0）代入得，0＝a（0﹣4）2+8，解得：a＝﹣，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+8；（2）联立方程组，解得或，∴A（7，），∴小球在斜坡上的落点A的垂直高度为米，故答案为：；（3）当x＝2时，y1＝x＝1，y2＝﹣（x﹣4）2+8＝6，∵6﹣1＞4，∴小球M能飞过这个广告牌．16．（2024•元谋县一模）云南地处高原环境，日照长，昼夜温差大，利于糖分积累，是著名的蓝莓产区，小李家今年种植的蓝莓喜获丰收，采摘上市15天全部销售完，小李对销售情况进行统计后发现，在该蓝莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y＝，蓝莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．（1）当5≤x≤15时，求m与x之间的函数关系式；（2）设日销售额w元，当5≤x≤10时，求w的最大值．【答案】（1）当5≤x≤15时，m与x之间的函数关系式为m＝﹣3x+90；（2）w的最大值为6000元．【解析】解：（1）当5≤x≤15时，设m与x之间的函数关系式为m＝kx+b，把（5，75），（15，45）代入m＝kx+b，得，解得，∴当5≤x≤15时，m与x之间的函数关系式为m＝﹣3x+90；（2）当5≤x≤10时，w＝my＝（﹣3x+90）10x＝﹣30x2+900x＝﹣30（x﹣15）2+6750，∵﹣30＜0，∴当x≤15时，w随x的增大而增大，∵5≤x≤10，∴当x＝10时，w有最大值，最大值为6000，∴w的最大值为6000元．17．（2024•东海县一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为60m的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃ABCD，其中EF∥AB，且墙长为30m．（1）设AB＝x（m），矩形花圃ABCD的面积为y（m2）．则y关于x的函数关系式为y＝﹣3x2+60x，x的取值范围为10≤x＜20；（2）求矩形花圃ABCD面积的最大值；（3）在（2）的情况下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入W1（单位：元）与种植面积的函数关系式为W1＝30S1；乙种鲜切花的年收入W2（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求CF的长．【答案】（1）y＝﹣3x2+60x，10≤x＜20；（2）矩形ABCD面积的最大值是300m2；（3）CF＝11m或18m．【解析】解：（1）由已知得：BC＝（60﹣3x）m，∴y＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x，∵墙长30m，∴0＜60﹣3x≤30，解得：10≤x＜20（m），∴x的取值范围是10≤x＜20；故答案为：y＝﹣3x2+60x，10≤x＜20；（2）∵y＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300，∴抛物线对称轴为x＝10，∵a＝﹣3＜0，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴x＝10时，y取最大值，最大值是300，∴矩形ABCD面积的最大值是300m2；（3）由（2）得：x＝10时，y取最大值，最大值是300，∴BC＝60﹣3x＝30m，设BF＝tm，则CF＝（30﹣t）m，∴矩形ABFE的面积为10tm2，矩形EFCD的面积为10（30﹣t）m2，∴W1＝30×10t＝300t，W2＝﹣100（30﹣t）2+320×10（30﹣t），根据题意得：300t﹣100（30﹣t）2+320×10（30﹣t）＝28800，解得：t1＝19，t2＝12，∴CF＝11m或18m．18．（2024•邹平市校级一模）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．（1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？（2）猪舍面积最大时，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少？【答案】（1）长为10m、宽为8m；（2）长为12m，宽为7m时，面积最大，最大值为84m2．【解析】解：（1）由题意，设矩形猪舍垂直于住房墙的边长为xm，则平行于墙的边长为（25﹣2x+1）m，由题意得：x（25﹣2x+1）＝80，整理得：x2﹣13x+40＝0，解得：x1＝5，x2＝8，当x＝5时，25﹣2x+1＝26﹣2×5＝16＞12，不符合题意，舍去；当x＝8时，26﹣2x＝10＜12，符合题意；∴所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2．（2）由题意，设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，则平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，∴猪舍面积S＝x（25﹣2x+1）＝﹣2x2+26x＝﹣2（x2﹣13x+）+＝﹣2（x﹣）2+．又∵25﹣2x+1≤12，25﹣2x+1＞0，∴7≤x＜13．∵﹣2＜0，∴当宽x＝7时，长为12，面积最大，最大值为84m2．答：长为12m，宽为7m时，面积最大，最大值为84m2．19．（2024•涧西区一模）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝1.8米，竖直高度EF＝1.1米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到