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文档简介

浙江省嘉兴市2024届高考数学五模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设是等差数列,且公差不为零,其前项和为.则“,”是“为递增数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.函数满足对任意都有成立,且函数的图象关于点对称,,则的值为()A.0 B.2 C.4 D.13.点在曲线上,过作轴垂线,设与曲线交于点,,且点的纵坐标始终为0,则称点为曲线上的“水平黄金点”,则曲线上的“水平黄金点”的个数为()A.0 B.1 C.2 D.34.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是5.()A. B. C. D.6.已知为正项等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则的值是()A.29 B.30 C.31 D.327.观察下列各式:,,,,,,,,根据以上规律,则()A. B. C. D.8.双曲线的右焦点为,过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的其中一个交点为,若,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.9.已知是等差数列的前项和,,,则()A.85 B. C.35 D.10.函数的图象大致是()A. B.C. D.11.已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位),则实数a=()A.-1 B.1 C.0 D.212.过点的直线与曲线交于两点,若,则直线的斜率为()A. B.C.或 D.或二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知关于的不等式对于任意恒成立,则实数的取值范围为_________.14.已知是同一球面上的四个点,其中平面,是正三角形,,则该球的表面积为______.15.双曲线的左右顶点为,以为直径作圆,为双曲线右支上不同于顶点的任一点,连接交圆于点,设直线的斜率分别为,若,则_____.16.函数的图像如图所示,则该函数的最小正周期为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,内角的对边分别是,已知.(1)求角的值;(2)若,,求的面积.18.(12分)在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人,余下的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占,统计成绩后得到如下列联表:分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45(1)请完成上面列联表;并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;(2)①按照分层抽样的方法,在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生,设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是,求的分布列(概率用组合数算式表示);②若将频率视为概率,从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.(下面的临界值表供参考)0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式其中)19.(12分)已知数列满足,且.(1)求证:数列是等差数列,并求出数列的通项公式;(2)求数列的前项和.20.(12分)函数,且恒成立.(1)求实数的集合;(2)当时,判断图象与图象的交点个数,并证明.(参考数据:)21.(12分)数列满足,是与的等差中项.(1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.22.(10分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】是等差数列,且公差不为零,其前项和为,充分性:,则对任意的恒成立,则,,若,则数列为单调递减数列,则必存在,使得当时,,则,不合乎题意;若,由且数列为单调递增数列,则对任意的,,合乎题意.所以,“,”“为递增数列”;必要性:设,当时,,此时,,但数列是递增数列.所以,“,”“为递增数列”.因此,“,”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键,属于中等题.2、C【解析】

根据函数的图象关于点对称可得为奇函数,结合可得是周期为4的周期函数,利用及可得所求的值.【详解】因为函数的图象关于点对称,所以的图象关于原点对称,所以为上的奇函数.由可得,故,故是周期为4的周期函数.因为,所以.因为,故,所以.故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函数满足,那么是周期为的周期函数,本题属于中档题.3、C【解析】

设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,,则单调递减;当时,,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.4、D【解析】

通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.5、A【解析】

分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可.【详解】解:,故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.6、B【解析】

设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质,求出公比,再由等比数列的求和公式,计算即可得到所求.【详解】设正项等比数列的公比为q,则a4=16q3,a7=16q6,a4与a7的等差中项为,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(负值舍去),则有S5===1.故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查等差数列的性质,考查运算能力,属于中档题.7、B【解析】

每个式子的值依次构成一个数列,然后归纳出数列的递推关系后再计算.【详解】以及数列的应用根据题设条件,设数字,,,,,,,构成一个数列,可得数列满足,则,,.故选:B.【点睛】本题主要考查归纳推理,解题关键是通过数列的项归纳出递推关系,从而可确定数列的一些项.8、D【解析】

根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点,再利用,求出点,因为点在双曲线上,及,代入整理及得,又已知,即可求出离心率.【详解】由题意可知,代入得:,代入双曲线方程整理得:,又因为,即可得到,故选:D.【点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算,离心率问题关键寻求关于,,的方程或不等式,由此计算双曲线的离心率或范围,属于中档题.9、B【解析】

将已知条件转化为的形式,求得,由此求得.【详解】设公差为,则,所以,,,.故选:B【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算,考查等差数列前项和的计算,属于基础题.10、A【解析】

根据复合函数的单调性,同增异减以及采用排除法,可得结果.【详解】当时,,由在递增,所以在递增又是增函数,所以在递增,故排除B、C当时,若,则所以在递减,而是增函数所以在递减,所以A正确,D错误故选:A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断,关键在于对复合函数单调性的理解,记住常用的结论:增+增=增,增-减=增,减+减=减,复合函数单调性同增异减,属中档题.11、B【解析】

化简得到z=a-1+a+1【详解】z=1+ia+i=a-1+a+1i为纯虚数,故a-1=0故选:B.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数,意在考查学生的计算能力.12、A【解析】

利用切割线定理求得,利用勾股定理求得圆心到弦的距离,从而求得,结合,求得直线的倾斜角为,进而求得的斜率.【详解】曲线为圆的上半部分,圆心为,半径为.设与曲线相切于点,则所以到弦的距离为,,所以,由于,所以直线的倾斜角为,斜率为.故选:A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立,设,求出在内的最小值,即可求出的取值范围.【详解】解:由题可知,不等式对于任意恒成立,即,又因为,,对任意恒成立,设,其中,由不等式,可得:,则,当时等号成立,又因为在内有解,,则,即:,所以实数的取值范围:.故答案为:.【点睛】本题考查不等式恒成立问题,利用分离参数法和构造函数,通过求新函数的最值求出参数范围,考查转化思想和计算能力.14、【解析】

求得等边三角形的外接圆半径,利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径,进而求得外接球的表面积.【详解】设是等边三角形的外心,则球心在其正上方处.设,由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径,所以外接球的表面积为.故答案为:【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算,属于基础题.15、【解析】

根据双曲线上的点的坐标关系得,交圆于点,所以,建立等式,两式作商即可得解.【详解】设,交圆于点,所以易知:即.故答案为:【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系,涉及双曲线中的部分定值结论,若能熟记常见二级结论,此题可以简化计算.16、【解析】

根据图象利用,先求出的值,结合求出,然后利用周期公式进行求解即可.【详解】解:由,得,,,则,,,即,则函数的最小正周期,故答案为:8【点睛】本题主要考查三角函数周期的求解,结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】

(1)由已知条件和正弦定理进行边角互化得,再根据余弦定理可求得值.(2)由正弦定理得,,代入得,运用三角形的面积公式可求得其值.【详解】(1)由及正弦定理得,即由余弦定理得,,.(2)设外接圆的半径为,则由正弦定理得,,,.【点睛】本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式,关键在于熟练地运用其公式,合理地选择进行边角互化,属于基础题.18、(1)填表见解析;有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”(2)①详见解析②期望;方差【解析】

(1)完成列联表,代入数据即可判断;(2)利用分层抽样可得的取值,进而得到概率,列出分布列;根据分析知,计算出期望与方差.【详解】(1)分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.(2)①由分层抽样知,需要从不足120分的学生中抽取人,的可能取值为0,1,2,3,4,,,,,所以,的分布列:②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人,此人每周上线时间不少于5小时的概率为,设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人,这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为,则,故,.【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题,属于基础题.19、(1)证明见解析,;(2).【解析】

(1)将等式变形为,进而可证明出是等差数列,确定数列的首项和公差,可求得的表达式,进而可得出数列的通项公式;(2)利用错位相减法可求得数列的前项和.【详解】(1)因为,所以,即,所以数列是等差数列,且公差,其首项所以,解得;(2),①,②①②,得,所以.【点睛】本题考查利用递推公式证明等差数列,同时也考查了错位相减法求和,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20、(1);(2)2个,证明见解析【解析】

(1)要恒成立,只要的最小值大于或等于零即可,所以只要讨论求解看是否有最小值;(2)将图像与图像的交点个数转化为方程实数解的个数问题,然后构造函数,再利用导数讨论此函数零点的个数.【详解】(1)的定义域为,因为,1°当时,在上单调递减,时,使得,与条件矛盾;2°当时,由,得;由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,即有,由恒成立,所以恒成立,令,若;若;而时,,要使恒成立,故.(2)原问题转化为方程实根个数问题,当时,图象与图象

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