高斯小学奥数五年级上册含答案-工程问题

第二十三讲工程问题

我们这一讲要学习的问题叫做工程问题.先来看下面的这个例子，假设一条地铁线有15

千米长，工程队每个月可以修3千米，同学们肯定马上就能看出，共需要5个月的时间修好整

条地铁.

在这个例子中，总长度15千米叫做这个工程问题的工作总量，5个月即为工作时间，

而工程队每个月修3千米就叫做工作效率.同学们，你们能看出来这和我们以前学过的哪一

类应用题很类似吗？没错，就是行程问题！上面的例子很容易转化成这样一个行程问题：两

地相距15千米，某人行走的速度为每小时3千米，那么从一地走到另一地需要5小时.

虽然工程问题看起来和行程问题很类似，但工程问题有它自己独特的解法.在工程问题

中，经常无法从题目中找到工作总量，此时可以把工作总量设为单位“1”.例如：一个工

程队5天修完一段公路，我们就可以把修这段公路的工作总量设为单位“1”，那么工程队

每天就能修完公路的1，那么每天完成的工作量就是“』"，而“!”就是这个工程队的工

555

作效率.

||所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量.

如同速度在行程问题中的核心地位，工程问题中工作效率、工作时间和工作总量这三个

量中最为关键的量也是工作效率.因此，如何求出每一个工作者的工作效率，是同学们分析

问题时的重点.

练一练：

1.李师傅要完成一批零件，他预计用6个小时完成了整个工作.则以这批零件的总量为

单位“1”，李师傅的工作效率是,如果李师傅工作了2个小时，那么他完成

了全部工作的分之,

2.明明用了10个小时完成了写大字的作业，那么明明3个小时能完成作业的分之

,如果这时他写好了30个大字，那么他总共要写个大字.

3.吃饭的时候，妈妈给小高盛了一碗米饭，小高发现自己用了5分钟就吃掉了半碗，如

果以一碗米饭为单位“1”，那么小高吃米饭的效率是,那么小高分钟能

吃掉2碗的米饭.

5

4.阿呆和阿瓜两个人打扫屋子，阿呆自己打扫50分钟能打扫完，阿瓜75分钟能打扫完，

那么阿呆每分钟能完成全部工作的分之,阿瓜每分钟能完成全部工作的

分之，如果两个人同时工作的话，那么每分钟能完成全部工作的分

之.

5.阿萍为邻居家的温奶奶修厕所，用30天可以修好，阿萍的效率是.阿萍工作了

10天之后，修厕所的技术上了一个台阶，效率变成了之前的2倍.她还需要

天就可以把厕所修好.

在完成一项工作时，很多时候依靠个人的力量是无法完成的，或者不能完成得很快、很

好，这时就需要多个人合作来完成.俗话说：“众人拾柴火焰高”，团队的智慧是远远超过

个人的.

当多人合作的时候，完成的工作总量就是这些人工作量的总和，“总工效”就是他们每

个人的工作效率之和.

例题1.

一条公路，甲队单独去修需要20天完成，乙队单独去修需要30天完成.那么：

(1)甲、乙两队一起修，共需要多少天完成？

(2)如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了5天才修完，那么

乙队一共修了多少天？

「分析」题目中己知甲、乙的工作时间，如果我们把工作总量设为单位“1”,那么利用工程

问题的基本关系式：工作总量+工作时间=工作效率，马上可以求出甲、乙两队的工作效率，

那么两人合作的效率是多少？

第(2)问中，甲队独修了5天，那么甲队独修的工作量是多少？其余的工作由两人合

作完成，那两人还需要合作几天？

练习1.

有一堆排骨，老虎单独吃需要10分钟，狮子单独吃需要15分钟.那么：

(1)老虎和狮子一起互不影响地吃这堆排骨，需要多少分钟吃完？

(2)如果老虎和狮子一起吃了3分钟后，老虎就把狮子赶走了，剩下的排骨可以让老虎单

独吃儿分钟？

在例题1中，单独与合作划分得很清楚，单独做的时候只要找那个人对应的工效和工作

量，就能算出那个人单独的工作时间，而合作的时候，只要找到工效和与对应的工作量就能

求出合作时间.然而有些时候，单独与合作的界线并不是那么清楚，需要我们自己找到.

例2.现在要修筑一条公路，如果甲、乙两个工程队同时施工，20天可以完成.如果两队合

作15天之后，剩下的全都由乙来完成，则还需要15天才能完成.那么如果这条路全部都由

甲队来修，需要多少天才能完成？

「分析」实际工作的30天中，前15天是两队合作，后15天是乙队独做，每天的工作效率

不一样.那我们可以分别计算前15天与后15天的工作总量，进而计算出甲和乙的工作效率.

练2.现在要修筑一条公路，如果乙工程队单独修，需要18天完成.如果两队合作10天之

后，剩下的全都由乙来完成，则还需要6天才能完成.那么如果这条路全部都由甲队来修,

需要多少天才能完成？

例题3.

有一条公路，甲队独修需12天，乙队独修需15天.现在让2个队合修，但中间甲队有别的

任务离开了，结果从头到尾用了10天才把这条公路修完.请问：甲队参与修路多少天？

「分析」我们可以把两队分开来计算.甲队最“懒”，干了几天就走了；乙队最听话，完完

整整地做了10天，由此我们可以求出乙队的工作总量，进而求出甲的工作总量和工作时间.

练习3.

有一堆煤，甲车单独运需要10天运完，乙车单独运需要40天运完.乙车先开始运，若干天

后甲车加入，到运完时乙车一共运了12天.那么乙车开始后几天甲车才加入？

例题4.

有一批待加工的零件，甲单独做需要4天完成，乙单独做需要5天完成，如果两人合作，那

么完成任务时甲比乙多做20个零件.这批零件共有多少个？

「分析」到完成时甲乙各完成了这批零件的几分之几？20个零件占了这批零件的几分之

几？

练习4.

甲、乙两工程队修一条路，如果让甲队单独修，需要8天完成；如果让乙队单独修，需

要6天完成.现在两队合修，修完后，甲队比乙队少修了50米.这条路有多长？

在生活当中，有时候会出现“倒班”，也就是几个人轮流工作，而不是同时工作.这种

类型的工程问题应该怎么解决呢?

例题5.

(1)单独完成一项工程，甲需要15天，乙需要10天.现在两人按甲、乙、甲、乙、…的

顺序，一人一天轮流工作.那么完成这项工作需要几天？

(2)单独完成一项工程，甲需要15天，乙需要6天.现在两人按甲、乙、甲、乙、…的顺

序，一人一天轮流工作.那么完成这项工作需要几天？

(3)单独完成一项工程，甲需要15天，乙需要12天.现在两人按甲、乙、甲、乙、…的

顺序，一人一天轮流工作.那么完成这项工作需要几天？

「分析」甲乙轮流工作，以2天为一周期，每个周期完成的工作量都是相同的.到最后完成

工作需要几个周期呢？

很多大型的工程中，都包含着多个小型的工程.比如中国的南水北调工程就分为东线工

程、中线工程和西线工程.在工程问题中，这种整体与部分之间的关系是值得注意的.

例题6.

搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.现有两个相同的

仓库4和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，中途又转向

帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，那么丙帮助甲搬了多少小时？

「分析」我们可以把这两个仓库看成一个大的仓库，那么甲乙丙三人在合作搬运这个大仓库

的货物，而且是同时开始，同时结束.那么搬运的时间能不能算出来？

曼哈顿工程

曼哈顿工程是第二次世界大战期间美国陆军自1942年起开发核武器计划的代号。曼哈

顿工程的负责人为美国物理学家J・罗伯特・奥本海默。

爱因斯坦与奥本海默

1941年12月7日，日本偷袭美国珍珠港。此后不久，美国正式成为第二次世界大战参

战国。与此同时，美国国家科学院在以往研究成果的基础上递交的研制核武器申请得到了批

准。1942年夏，面对希特勒德国笊及疑产量令人担心的增长，美国秘密拨款共25亿美元,

加紧开发核武器。美国陆军方面的计划主管LeslieRichardGroves将计划命名为曼哈顿计划。

计划主要在新墨西哥州LosAlamos附近的一个专为此项目开辟的绝密研究中心进行。在奥

本海默领导下，大批物理学家和技术人员参加了这一计•划，高峰时期参加者人数逾10万人。

1945年7月16日，第一颗原子弹试验成功，爆炸当量相当于2万1千吨三硝基甲苯

(TNT)。

由于当时欧洲的两个主要轴心国均已战败，原子弹投放的目标转向了日本。1945年8

月6日美国向广岛投放了称为小男孩的原子弹,8月9日又向长崎投放了称为胖子的原子弹。

数天后，日本宣布投降，第二次世界大战宣告结束。

作业1.小山羊和老鹿在吃仓库里的草，2个小时可以吃完.如果只有老鹿吃的话，3个小

时可以吃完.如果只有小山羊吃的话，几个小时可以吃完？

作业2.厨房里有一些包子，阿呆一个人需要10分钟吃完，阿瓜一个人需要15分钟吃完.如

果两个人一块吃，到吃完时阿呆比阿瓜多吃10个包子.厨房里本来有多少个包子？

作业3.春天的时候，学校组织同学去果园给果树浇水，甲班的学生单独去做需要12天完

成，乙班的学生单独去做需要15天完成，如果两个班共同做了4天，那么乙班独自做

完剩下的工作需要多少天？

作业4.有一项工作，甲单独做需要5天完成，乙单独做需要12天完成，丙单独做需要15

天完成，现在三个人一起做这项工作，中间的时候甲离开了，结果用了4天完成了全部

的工作，那么甲离开了多少天？

作业5.一个水池，有甲、乙两个进水口，如果打开甲进水口一个小时，然后打开乙进水口

一个小时;再打开甲进水口一个小时，……，这样需要15个小时才能注满水池.如果

单独打开甲进水口需要16个小时能注满整个水池.那么先打开乙进水口一个小时，再

打开甲进水口一个小时，……，按照这样的顺序来注水，需要多长时间把水池注满？

第二十三讲工程问题

例题1.答案：(1)12；(2)9.详解：(1)1+f—+—1=12(天)；(2)甲队后面这5

(3020)

天完成的工作量是‘，那么前面合作的时间内一共完成3,需要3+(-L+-L)=9天,

444(3020J

乙队一共修了9天.

例题2.答案：30.详解：首先可知甲乙两队合作的效率是」■.合作15天后，还剩下

20

1--LX15=L.那么乙的效率是2+15=-5-,甲的效率是_L-_L=_L.甲单独修需要

204460206030

30天.

例题3.答案：4.详解：乙队从始至终都在做，所以乙做了10天.从整体中把乙队修的去

掉，就是甲队修的.所以甲队修了整条公路的1—-!~xlO=L,甲修了J_+J_=4天.

153312

例题4.答案：180.详解：两人合做用1+/_L+_L)=空天，这段时间甲做了型xL=2,

149949

乙做了I—9=M利用我们已经学过的量率对应，20+但-a=i8()个.

99199)

2

例题5.答案：(1)12；(2)9；(3)13-.详解：(1)以甲1天、乙1天为一个周期，一

5

个周期内完成的工作量是那么需要6个周期，即12天完成这项工作；

151()6

(2)以甲1天、乙1天为一个周期，一个周期内完成的工作量是上1+上1二，7.4个周

15630

期后还剩1-，7、4=上1没有完成，接下来甲再工作1天正好完成.共需要2x4+l=9天;

3015

3

(3)以甲1天、乙1天为一个周期，一个周期内完成的工作量是上1+上1=3.6个周

151220

期后还剩l-』x6=，没有完成.甲再工作1天后还剩乙还需要

201010153(

上1+」I=一?天，共需要2x6+l+±2=132*天.

3012555

例题6.答案：3.详解：设两个仓库的容量都是“1”，那么甲、乙、丙每个小时的工作效

率分别是L、l和-L考虑到甲乙丙同时工作，可求出需要24,+-!~+-!~]=8小

1012151101215)

时将两个仓库的货物搬完.这段时间内甲搬了L1x8=?4,那么剩下的11是丙帮甲搬的，

1055

需要1+工=3小时.

515

练习1.答案：(1)6；(2)5.详解：(1)1=6；(2)合吃3分钟后还剩1-」X3=L,

11015j62

剩下的老虎要吃5分钟.

练习2.答案：90.详解：乙队单独工作的6天完成了，x6=!，那么两队合作10天完成

183

了J2每天可完成9±+io=1_L.那么甲队每天可完成I上一2|_=I」_,单独做需要90天.

3315151890

练习3.答案：5.详解：乙队一共运了」1-xl2=3,那么剩下的7,是甲队运的，需要7

401010

天.这说明甲队共工作了7天，是在乙队开始后5天加入的.

练习4.答案：350.详解：两队合作需要1+仕+"=丝天.甲队修了这条路的巴1=2,