2022-2023学年高二物理竞赛课件：晶体中电子的波函数和能量谱值

晶体中电子的波函数和能量谱值

晶体中电子的波函数和能量谱值

多体问题

多电子问题

单电子问题晶体是一个包含大量的原子核、内层电子和外层电子（价电子）的体系。通常把原子核和内层电子看成一个整体，称为离子心（或原子实）。电子之间、离子心之间、电子和离子心之间存在库仑相互作用。因而，实际晶体是一个多体系统.绝热近似：电子的质量比原子核小的多，电子运动快，离子心整体运动慢。可把两者分开考虑。即假设离子心和价电子相互独立，二者之间不交换能量，因而称为绝热近似。晶体中电子的波函数和能量谱值

多体问题

多电子问题

单电子问题多电子近似：在绝热近似前提下，假设离子心固定在平衡位置，大量价电子在离子心势场中运动。将多体问题化为多电子问题。单电子近似：把每个电子的运动单独考虑，认为电子在离子心势场和其它所有电子的平均势场中运动。这个势场与晶格具有相同的周期性,称为周期性势场。(VIP)晶体中的电子在与晶格有相同周期性的周期性势场中运动讨论晶体中的电子状态，也就是确定电子的波函数

和能量谱值.晶体的一维单电子薛定谔方程:

其中V(x)是与晶格具有相同周期性的势函数，是本征函数，E是能量本征值。求解单电子的薛定谔方程。晶体的三维单电子薛定谔方程：每一个能带包含的能级数（或者说共有化状态数），与孤立原子能级的简并度有关。例如s能级没有简并（不计自旋），N个原子结合成晶体后，s能级分裂为N个十分靠近的能级，形成一个能带，这个能带中共有N个共有化状态。P能级是三度简并的，便分裂成3N个十分靠近的能级，形成的能带中共有3N个共有化状态。实际的晶体，N是一个很大的数因此能级靠得很近，所以每一个能带中的能级可视为连续的，或称为“准连续”。3.3金刚石：以及锗（Ge），硅（Si）碳原子有6个电子，1s2，2s2，2p2，4个外层电子为价电子，原子结合为晶体时，内层电子态变化不大，对晶体性质影响不明显，则只考虑价电子状态的变化。2s、2p能级构成sp3杂化轨道：由1个s态和3个p态组成。根据泡里不相容原理，考虑自旋，则2s能级有N个电子态，可容纳2N个电子；2p能级有3N个电子态，可容纳6N个电子。3.36N金刚石，以及锗（Ge），硅（Si）具有相同的晶体结构：金刚石结构

碳原子有6个电子，1s2，2s2，2p2，4个外层电子为价电子，原子结合为晶体时，内层电子态变化不大，对晶体性质影响不明显，则只考虑价电子状态的变化。2s、2p能级构成sp3杂化轨道：由1个s态和3个p态组成。根据泡里不相容原理，考虑自旋，则2s能级有N个电子态，可容纳2N个电子；2p能级有3N个电子态，可容纳6N个电子。金刚石结构价电子能带示意图所以，许多实际晶体的能带不一定同孤立原子的某个能级相当，即不一定能区分s能级和p能级所过渡的能带。金刚石和Ge、Si，它们的原子都有4个价电子，2个s电子，2个p电子，组成晶体后，由于轨道杂化的结果，其价电子形成的能带如下图所示。空带导带满带价带定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用，使能级分裂形成能带。定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动，其能量不连续形成能带。能带（energyband）包括允带和禁带。允带（allowedband）：允许电子能量存在的能量范围。禁带（forbiddenband）：不允许电子能量存在的能量范围。允带又分为空带、满带、导带、价带。空带（emptyband）：未被电子占据的允带。满带（filledband）：允带中的能量状态（能级）均被电子占据。导带（conductionband）：电子未占满的允带（有部分电子。）价带（valenceband）:被价电子占据的允带（低温下通常被价电子占满）。总结：能带的特点

1：形成能带后，电子态数目保持不变，每个电子态不再属于个别原子，而是延展于整个晶体。2：电子的能带结构由它们所在势场决定，因而与组成晶体的原子结构和晶体结构有关，同晶体中原子数目无关。当晶体中原子数目增加时，只增加每个能带中的电子态数，使能带中子能级的密集程度增加，对能带结构，如允带和禁带的宽度及相对位置无影响。3：处于低能级的内壳层电子共有化运动弱，所以能级分裂小，能带较窄；处于高能级的外壳层电子共有化运动强，能级分裂大，因而能带较宽。4：每个能带都是共有化电子可能的能