第14章三角形（压轴30题专练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）（解析版）

第14章三角形（压轴30题专练）一．选择题（共7小题）1．（2012•奉贤区模拟）如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是（）A．5 B．8 C．7 D．6【分析】连接OD，由题意可知OP＝DP＝OD，即△PDO为等边三角形，所以∠OPA＝∠PDB＝∠DPA﹣60°，推出△OPA≌△PDB，即可求出AP的长度．【解答】解：连接OD，∵PO＝PD，∴OP＝DP＝OD，∴∠DPO＝60°，∵等边△ABC，∴∠A＝∠B＝60°，AC＝AB＝9，∴∠OPA＝∠PDB＝∠DPA﹣60°，∴△OPA≌△PDB，∵AO＝3，∴AO＝PB＝3，∴AP＝6．故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，关键在于求证△OPA≌△PDB．2．（2011•松江区模拟）下列命题中，假命题是（）A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等 B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等 C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等 D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定定理对各选项分析论证得出正确选项．【解答】解：A、如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理边角边，是真命题．B、如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等．因为两边相等，其夹角不一定相等，所以两三角形不一定全等，故是假命题．C、如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理角边角，是真命题．D、如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等．两角相等，则根据三角和内角和定理可推出三个角分别相等，有一边相等，所以符合判定定理角边角，是真命题．故选：B．【点评】此题考查的是全等三角形的判定，关键是每个选项是否符合全等三角形的判定定理．3．（2006•南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（）A．d＞h B．d＜h C．d＝h D．无法确定【分析】如图，连接BP，过点P做PD⊥BC，PE⊥AB，分别交于BC，AB于点D，E，则△ABC分成两个三角形：△BPC和△BPA，根据两三角形面积之和等于等边三角形的面积可推得：d＝h．【解答】解：如图，连接BP，过点P做PD⊥BC，PE⊥AB，分别交BC，AB于点D，E，∴S△ABC＝S△BPC+S△BPA＝BC•PD+AB•PE＝BC•PD+BC•PE＝BC（PD+PE）＝d•BC＝h•BC∴d＝h．故选：C．【点评】本题通过作辅助线，把等边三角形分成两部分，利用三角形的面积公式求得d＝h．4．（2005•包头）如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（）A．只有①和②相等 B．只有③和④相等 C．只有①和④相等 D．①和②，③和④分别相等【分析】根据三角形的面积公式来计算即可．【解答】解：小矩形的长为a，宽为b，则①中的阴影部分为两个底边长为a，高为b的三角形，∴S＝×a•b×2＝ab；②中的阴影部分为一个底边长为a，高为2b的三角形，∴S＝×a•2b＝ab；③中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，∴S＝×a•b＝ab；④中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，∴S＝×a•b＝ab．∴①和②，③和④分别相等．故选：D．【点评】此题主要考查三角形面积公式的综合应用，关键是如何确定三角形的底边和高的长度．5．（2004•重庆）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作AB的平行线．找到所有的格点即可．即有5个．【解答】解：满足条件的C点有5个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．故选：A．【点评】此题主要是注意：根据两条平行线间的距离处处相等，只需在两侧各找一个符合条件的点，再作平行线，即可找到所有符合条件的点．6．（2003•上海）如图，已知AC平分∠PAQ，点B、D分别在边AP、AQ上．如果添加一个条件后可推出AB＝AD，那么该条件不可以是（）A．BD⊥AC B．BC＝DC C．∠ACB＝∠ACD D．∠ABC＝∠ADC【分析】首先分析选项添加的条件，再根据判定方法判断．【解答】解：添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加D选项以后是ASA证明三角形全等．故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．7．（1997•上海）在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．斜三角形【分析】因为∠A﹣∠B＝90°，即∠A＝90°+∠B，那么∠A一定大于90°，即为钝角三角形．【解答】解：在△ABC中，∵∠A﹣∠B＝90°，∴∠A＝90°+∠B＞90°（∠B肯定大于0），那么△ABC是钝角三角形．故选：B．【点评】此题较简单，关键是明白三角形的内角和是180°．二．填空题（共12小题）8．（2013•上海模拟）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3，且1＜BP3＜（反射角等于入射角），则P1C的取值范围是1＜P1C＜．【分析】首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P3B的代数式表示P1C的式子，然后由1＜BP3＜，即可求出P1C长的取值范围．【解答】解：∵反射角等于入射角，∴∠P0P1C＝∠P2P1A＝∠P2P3B，又∵∠C＝∠A＝∠B＝60°，∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，∴＝＝，设P1C＝x，P2A＝y，则P1A＝2﹣x，P2B＝2﹣y．∴＝＝，∴，∴x＝（2+P3B）．又∵1＜BP3＜，∴1＜x＜，即P1C长的取值范围是：1＜P1C＜．故答案为：1＜P1C．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，在解题时要根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键，难度较大．9．（2015•安徽模拟）将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是，（或介于和之间的任意两个实数）（写出2个）．【分析】根据等边三角形的性质，最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径，根据等边三角形的性质求出高线，然后写出即可．【解答】解：如图，EF∥BC时，EF为最短面径，此时，（）2＝，即＝，解得EF＝，等边三角形的高AD是最长的面径，AD＝×2＝，所以，它的面径长可以是，（或介于和之间的任意两个实数）．故答案为：，（或介于和之间的任意两个实数）．【点评】本题考查了等边三角形的性质，读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的面径是解题的关键．10．（2011•张家界）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，∠BAD＝20°，则∠C＝70°．【分析】由已知条件，利用等边三角形三线合一的性质进行求解．【解答】解：∵AB＝CA，∴△ABC是等腰三角形，∵D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，∵∠BAD＝20°．∴∠C＝90°﹣20°＝70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；利用三线合一是正确解答本题的关键．11．（2009•清远）如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝30°．【分析】本题实际上是全等三角形的性质以及根据三角形内角和等于180°来求角的度数．【解答】解：∵△ABC≌△A1B1C1，∴∠C1＝∠C，又∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∴∠C1＝∠C＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了全等三角形的性质；解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．12．（2008•海南）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，∠A＝∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是∠B＝∠B1或∠C＝∠C1或AC＝A1C1（答案不唯一）．【分析】根据全等三角形的判定（有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS）可得当AC＝A1C1时可得△ABC≌△A1B1C1．根据全等三角形的判定（有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA）可得当∠B＝∠B1或∠C＝∠C1（AAS）△ABC≌△A1B1C1．【解答】解：添加AC＝A1C1；∠B＝∠B1；∠C＝∠C1后可分别根据SAS、ASA、AAS判定ABC≌△A1B1C1，故填AC＝A1C1；∠B＝∠B1；∠C＝∠C1．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．（2005•中山）如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有4对．【分析】根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AO平分∠BAC，∴△ODA≌△OEA，∴∠B＝∠C，AD＝AE，∴△ADC≌△AEB，∴AB＝AC，∴△OAC≌△OAB，∴△COE≌△OBD．故填4．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；提出猜想，验证猜想是解决几何问题的基本方法，做题时要注意从已知条件开始思考结合全等的判定方法逐一判断，做到不重不漏，由易到难．14．（2003•江西）已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，在小方格的顶点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使△ABC的面积为3个平方单位．则这样的点C共有6个．【分析】首先在AB的两侧各找一个点，使得三角形的面积是3．再根据两条平行线间的距离相等，过两侧的点作AB的平行线，交了几个格点就有几个点．【解答】解：如图，符合条件的点有6个．【点评】此类题注意方法：找对两个点，借助平行线进一步找到所有的点．15．（2002•烟台）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角的度数为15或75°．【分析】因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案．【解答】解：（1）当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD＝AB，根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30°，此时底角为75°；（2）当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD＝AB，根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30°，此时顶角是150°，底角为15°．故其底角为15°或75°．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质；正确的分类讨论是解答本题的关键．16．（1999•重庆）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BP＝CE，BD＝CP，则∠DPE＝70度．【分析】此题先判定△DBP与△PCE全等，得出∠BDP与∠EPC相等，再根据三角形的内角和定理求∠DPE的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠DBP＝∠ECP＝70°，又∵BP＝CE，BD＝CP，∴△DBP≌△PCE，∴∠BDP＝∠EPC，又∵∠DBP＝70°，∴∠DPB+∠BDP＝110°，∴∠DPE＝180°﹣（∠DPB+∠EPC）＝180°﹣（∠DPB+∠BDP）＝70°．【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用题目中隐含的条件平角解题是解决本题得到关键．17．（2013•高新区模拟）如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管8根．【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，∴∠GEF＝∠FGE＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为：8．【点评】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．18．（2009•湘潭）如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，已知DF∥BC，EF∥AB，请补充一个条件：AF＝FC或DF＝EC或AD＝FE或F为AC中点或DF为中位线或EF为中位线或DE∥AC，使△ADF≌△FEC．【分析】要使△ADF≌△FEC，现有条件是两平行线，可得三角形中两角对应相等，根据全等三角形的判定方法还需边对应相等，于是答案可得．【解答】解：若添加AF＝FC，已知DF∥BC，EF∥AB，得出∠ADF＝∠ABC＝∠FEC，∠AFD＝∠C，可以根据AAS来判定其全等，同理添加DF＝EC，或AD＝FC，均可以利用AAS来判定其全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．19．（2000•昆明）已知：如图，AC＝DC，∠1＝∠2，请添加一个已知条件：BC＝EC，使△ABC≌△DEC．【分析】已知给出了∠1＝∠2，可得三角形中一对应角相等，又有一边对应相等，根据边角边判定定理，补充BC＝AC可得△ABC≌△DEC答案可得．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠BCA＝∠ECD，又AC＝DC，添加BC＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS）．故填BC＝EC．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．三．解答题（共11小题）20．（2008•杭州）如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE＝∠CBF；（2）证明：AE＝BF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC＝S△ABG，求∠ACB的取值范围．【分析】（1）证得△ACP≌△BCP即可；（2）加上（1）的结论，证得△ACE≌△BCF即可；（3）假设存在点P，能使得S△ABC＝S△ABG，由（2）得到的AE＝BF，则新三角形ABG也为等腰三角形，根据底边都为AB，面积相等，得到高相等，所以AC＝AE，即三角形ACE为等腰三角形，则底角∠ACB为锐角，即可得到∠ACB的取值范围．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，∴AC＝BC，∠ACP＝∠BCP．又∵CP＝CP，∴△ACP≌△BCP．∴∠CAP＝∠CBP，即∠CAE＝∠CBF．（2）证明：∵在△ACE与△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（ASA）．∴AE＝BF．（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，∴S△ABC＝S△ABG．∴AE＝AC．①当∠ACB为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；②当∠ACB为锐角时，∠CAH＝90°﹣∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE＝AC，只需使∠ACB＝∠CEA，此时，∠CAE＝180°﹣2∠ACB，只须180°﹣2∠ACB＜90°﹣∠ACB，解得：60°＜∠ACB＜90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．需注意已证得条件在以后证明中的应用，以及分情况进行讨论等情况．21．（2007•常州）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．【分析】（1）关键是证出CE＝AF，可由AE＝AB，AC＝BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE＝∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF＝60°，从而得出∠BAC＝60°，同理可得∠ACB＝60°，那么∠ABC＝60°．因而△ABC是等边三角形．【解答】证明：（1）∵BF＝AC，AB＝AE（已知）∴FA＝EC（等量加等量和相等）．∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF＝DE（等边三角形的性质）．又∵AE＝CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC（对应角相等），∵∠BCA＝∠EDC+∠DEC＝∠FEA+∠DEC＝∠DEF（等量代换），△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF＝60°（等边三角形的性质），∴∠BCA＝60°（等量代换），由△AEF≌△CDE，得∠EFA＝∠DEC，∵∠DEC+∠FEC＝60°，∴∠EFA+∠FEC＝60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC＝∠EFA+∠FEC＝60°，∴△ABC中，AB＝BC（等角对等边）．∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．【点评】本题利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性质，还有三角形的外角等不相邻的两个内角之和，等边三角形的判定（三个角都是60°，那么就是等边三角形）．22．（1997•上海）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：AD＝AF．【分析】由AB＝AC，根据等边对等角的性质，可得∠B＝∠C，又由DE⊥BC，根据等角的余角相等，可得∠F＝∠ADF，又由等角对等边，可证得AD＝AF．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∠B+∠BDE＝90°，∵∠ADF＝∠BDE，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23．（2017春•杨浦区校级期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q＝6；（2）如图2，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+CN＝MN；此时＝；（3）点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．【分析】（1）构建全等三角形来实现线段的转换．延长AC至E，使CE＝BM，连接DE．根据题意得到∠MBD＝∠NCD＝90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB＝CE，BD＝DC，因此两三角形全等，那么DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．三角形MDN和EDN中，有DM＝DE，∠EDN＝∠MDN＝60°，有一条公共边，因此两三角形全等，MN＝NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE＝CN+CE，因此NM＝BM+CN．可根据L的值确定与Q的值；（2）如果DM＝DN，∠DMN＝∠DNM，因为BD＝DC，那么∠DBC＝∠DCB＝30°，也就有∠MBD＝∠NCD＝60+30＝90°，直角三角形MBD、NCD中，因为BD＝CD，DM＝DN，根据HL定理，两三角形全等．那么BM＝NC，∠BMD＝∠DNC＝60°，三角形NCD中，∠NDC＝30°，DN＝2NC，在三角形DNM中，DM＝DN，∠MDN＝60°，因此三角形DMN是个等边三角形，因此MN＝DN＝2NC＝NC+BM，三角形AMN的周长Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+MB+NC＝AB+AC＝2AB，三角形ABC的周长L＝3AB，因此Q：L＝2：3．（3）如果DM≠DN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换．延长AC至E，使CE＝BM，连接DE．（1）中我们已经得出，∠MBD＝∠NCD＝90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB＝CE，BD＝DC，因此两三角形全等，那么DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．三角形MDN和EDN中，有DM＝DE，∠EDN＝∠MDN＝60°，有一条公共边，因此两三角形全等，MN＝NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE＝CN+CE，因此NM＝BM+CN．Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的．【解答】（1）解：如图2，延长AC至E，使CE＝BM，连接DE，∵BD＝CD，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，在△MBD与△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE．∴∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．在△MDN与△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE＝NC+BM，∵△AMN的周长Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+（NC+BM）＝（AM+BM）+（AN+NC）＝AB+AC＝2AB，等边△ABC的周长L＝3AB＝9，即AB＝3，则Q＝6；（2）解：如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．此时＝；（3）猜想：（2）中的结论仍然成立，证明：如图，延长AC至E，使CE＝BM，连接DE，∵BD＝CD，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，在△MBD与△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE．∴∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．在△MDN与△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE＝NC+BM，∵△AMN的周长Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+（NC+BM）＝（AM+BM）+（AN+NC）＝AB+AC＝2AB，等边△ABC的周长L＝3AB，∴＝．故答案为：（1）6；（2）BM+NC＝MN；【点评】此题考查了三角形全等的判定及性质，题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24．（2021秋•浦东新区期中）如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．（1）求证：BD＝CD．（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．【分析】（1）根据∠A＝120°，∠C＝20°，可得∠ABC的度数，再根据BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠C＝20°，进而可得结论；（2）如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，证明△ABE≌△AFE，可得BE＝EF＝FC，进而可得AB+BE＝AC；（3）如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，结合（1）和AE是∠BAC的外角平分线，可得FE＝AF＝AC，进而可得结论BE﹣AB＝AC．【解答】（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝ABC＝20°，∴∠DBC＝∠C＝20°，∴BD＝CD；（2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，∴∠FEC＝∠DBC＝20°，∴∠FEC＝∠C＝20°，∴∠AFE＝40°，FE＝FC，∴∠AFE＝∠ABC，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS），∴BE＝EF，∴BE＝EF＝FC，∴AB+BE＝AF+FC＝AC；（3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下：如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，∴∠AFC＝∠DBC＝20°，∴∠AFC＝∠C＝20°，∴AF＝AC，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠EAB＝（180°﹣∠ABC）＝30°，∵∠ABC＝40°，∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，∴∠E＝∠FAE＝10°，∴FE＝AF，∴FE＝AF＝AC，∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．25．（2020春•浦东新区期末）阅读并填空：如图：根据六年级第二学期学过的用直尺、圆规作线段中点的方法，画出了线段AB的中点C，请说明这种方法正确的理由．解：连接AE、BE、AF、BF．在△AEF和△BEF中，EF＝EF（公共边），AE＝BE（画弧时所取的半径相等），AF＝BF（画弧时所取的半径相等）．所以△AEF≌△BEF（SSS）．所以∠AEF＝∠BEF（全等三角形的对应角相等）．又AE＝BE，所以AC＝BC（等腰三角形三线合一）．即点C是线段AB的中点．【分析】根据SSS证△AEF≌△BEF，推出∠AEF＝∠BEF，根据等腰三角形性质求出即可．【解答】解：在△AEF和△BEF中，，∴△AEF≌△BEF（SSS），∴∠AEF＝∠BEF（全等三角形的对应角相等），∵AE＝BE，∴AC＝BC（等腰三角形的三线合一），∴C是线段AB的中点．故答案为：公共边，AE、BE，AF、BF，S．S．S，全等三角形对应角相等，等腰三角形三线合一．【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出∠AEF＝∠BEF是解此题的关键．26．（2019春•浦东新区期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，试说明BD＝CE的理由．解：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C（等边对等角）．因为AD＝AE，所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．在△ABE与△ACD中，∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，AB＝AC所以△ABE≌△ACD（AAS）所以BE＝CD（全等三角形对应边相等），所以BD＝CE（等式性质）．即BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质、以及全等三角形的判定方法AAS即可解决问题．【解答】解：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C（等边对等角）．因为AD＝AE，所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．在△ABE与△ACD中，所以△ABE≌△ACD（AAS），所以（全等三角形对应边相等），所以BD＝CE（等式性质）．即BD＝CE．故答案为∠B＝∠C，AD＝AE，∠B＝∠C，AAS，BE＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．27．（2007•牡丹江）已知四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证AE+CF＝EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【分析】根据已知可以利用SAS证明△ABE≌△CBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE＝∠CBF＝30°，△BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF＝EF．同理图2可证明是成立的，图3不成立．【解答】解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，AE＝CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF；∵∠ABC＝120°，∠MB