数学强化班(武忠祥)-高数第九章-多元函数积分学

PAGEPAGE219第九章多元积分学及其应用第一节三重积分1定义.2性质:3计算:1)直角坐标:i)先一后二;ii)先二后一.2)柱坐标:3)球坐标:4)利奇偶性若积分域关于坐标面对称,关于有奇偶性,则5)利用变量的对称性.题型一计算三重积分例9.1计算,其中由所确定.解原式.例9.2计算,其中由和所确定.解法1原式解法2设，则.由于与的计算方法完全一样，以下仅以说明其三种较简单的计算方法：方法1直角坐标下先二后一：（其中）.方法2由形心计算公式得（其中为的形心坐标）方法3利奇偶性.注意关于平面上下对称，则从而有.例9.3计算,其中由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面和平面，所围的立体.解法1解法2例9.4计算,解（奇偶性）（变量对称性）例9.5设连续,,其中由,所确定.求.解..题型二更换三重积分次序例9.6计算解先交换和的次序，则.第二节对弧长的线积分（第一类线积分）计算方法1．直接法：1)若，，则.2)若，，则3)若，，则2.利用奇偶性.1)若积分曲线关于轴对称,则.2)若积分曲线关于轴对称,则3．利用对称性若积分曲线关于直线对称,则=特别的题型计算对弧长的线积分例9.7设是椭圆，其周长为，则解（奇偶性）例9.8计算,其中为解:其中计算积分可以用直接法，以下介绍两种简单方法方法1（奇偶性）方法2（形心公式）例9.9计算,其中为双纽线解双纽线的极坐标方程为例9.10计算,其中为。解法1:直接法参数方程为：,解法2:对称性.（对称性）第三节对坐标的线积分(第二类线积分)1.计算方法(平面)1)直接法;2)格林公式.3)补线用格林公式4)利用线积分与路径无关（1）判定:.（2）计算:改换路径;利用原函数,其中,求原函数方法:①偏积分;②凑微分.2.两类线积分的联系:.题型计算对坐标的线积分例9．11计算.其中为从到的曲线段.分析由于，则本题中的线积分与路径无关.解法1改换路径，点为点。原式.也可将路径改换为另一折线、，其中点为点，则原式.解法2利用原函数，由于则.故.例9.12设为椭圆沿逆时针方向,则.解由格林公式得其中是由围成的椭圆域，为其面积，该椭圆方程可改写为，则其面积.故.例9.13计算,其中为正常数,为从点沿曲线到点的弧.解补线段，则，其中为与围成的半圆域，则例9.14计算,其中(1)为的正向;(2)为的正向.解（1），由格林公式得（其中为曲线所围圆域）.（2），此时不能直接用格林公式，因为在点条件不满足.因此，作以为中心的圆且取顺时针方向，在和围成的环形域上用格林公式得，即.则（这里用了格林公式）.注：由本题可看出，对线积分，除原点外，有连续一阶偏导数，且.此时有以下结论：1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零.2）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等.事实上，线积分都属于这个类型.例9.15计算,其中是以为中心,为半径的圆周取逆时针方向.解本题中的，除原点外，和都有连续一阶偏导数，且.由例8.19的讨论知，以下应分点在曲线所围区域之内以和之外两种情况进行计算.（1）若，则点不在曲线围成区域内，则.（2）若，则点在曲线所围区域内，由例8.19中的讨论知，此时沿绕原点的任一分段光滑闭曲线的积分相等，根据本题被积函数分母之特点，我们选为椭圆且取逆时针方向，则例9.16已知曲线积分(常数),其中有连续导数且.是绕(0,0)一周的任一分段光滑正向闭曲线,试求及.(，)例9.17设有二阶连续导数,,且其中是右半平面内任一分段光滑简单闭曲线,求解由题设条件知，在处，即.令，则.这是关于的一阶线性方程，由通解公式知.由知，.于是.由知，，则.例9.18计算,其中弧为连结与点的线段的下方的任意分段光滑简单曲线,且该曲线与线段所围图形面积为2,解法1补线段，则直线的方程为：，则故解法2,其中故例9.19设圆周的逆时针方向,为连续正值函数,试证:.证由格林公式知由于区域关于对称，则，于是.原题得证. 例9.20计算,其中是曲线从轴正向往z轴负向看去为顺时针方向。解法1直接法曲线的参数方程为：，则解法2斯托克斯公式;解法3化为平面线积分.将代入原积分得（为）第四节对面积的面积分(第一类面积分)计算方法1.直接法:设曲面,2.利用奇偶性若曲面关于面对称,则3．利用对称性题型计算对面积的面积分例9.21设曲面则解原式（奇偶性，为在第一卦限的部分）计算积分有以下三种方法：方法1=方法2方法3（形心公式）则原式例9.22计算,其中为锥面被圆柱面所截下的部分.解（奇偶性）.则.例9.23计算,其中为柱面夹在和()之间的部分.解法1，（奇偶性）其中为在面前侧的部分，方程为，则，则（）.故.解法2例9.24计算,其中为球面.解.例9.25计算,其中为球面.解.由于球面关于平面对称，则则.事实上，计算还有一个较为简单的方法，利用形心计算公式得第五节对坐标的面积分（第二类面积分）1．计算方法1)直接法:设曲面,2)高斯公式:3)补面用高斯公式.2.两类面积分的联系题型计算对坐标的面积分例9.26计算,其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧.解设依次为的上、下底和圆柱面部分，则故原式例9.27计算,其中是曲面()的上侧.解取为圆域的下侧，记为由和所围成的区域，则由高斯公式得：，而，故.例9.28计算,其中1)为的上侧.2)为上半椭球面的上侧.解1）2）其中为上半球面的下侧，为面上介于与之间的平面域的下侧。例9.29设有连续一阶导数,计算.其中为由,所确定区域表面外侧.解由高斯公式得例9.30设半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有其中函数在内具有连续一阶导数,且,求.解由题设及高斯公式得，其中是由围成的有界闭区域.由的任意性知，即.于是.由于，则，.故第六节多元函数积分的应用几所几所量何形体求平面板空间体曲线曲面几何度量面积:体积:弧长面积质量质心转动惯量变力作功:力..2.通量:向量场:通量:题型一求几何量例9.31计算曲面和所围立体体积.解法1:利用二重积分;解法2:利用三重积分()例9.32求柱面被平面所截部分的面积.解法1利用面积分解法2利用线积分例9.33设半径为的球面的球心在定球面上,问当为何值时,球面在定球面内部的那部分面积最大？解:=，其中，题型二计算物理量例9.34设均匀平面薄板由的确定，求该薄板关于过的重心和点的直线的转动惯量.解设的重心为，则，.过点和的直线方程为.点到直线的距离为.则关于直线的转动惯量为例9.35设有半径为的球体,是球表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比(比例系数),求球体重心位置.解设所考虑的球体的球心为，坐标为，点为原点，则球面方程为，设的重心位置为，由对称性知.则.而，，故.例9.36求底半径为,高为,密度为的均匀柱体对底面圆直径的转动惯量.解法1.解法2.而，故.例9.37设位于点的质点对质点的引力大小为为质点与之间的距离),质点沿曲线自运动到,求在此运动过程中质点对质点的引力所作的功.解:..例9.38在变力的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限点,问当取何值时,力所作的功最大?并求的最大值.解:.第七节场论初步1.梯度:1)定义:2)计算.2.散度:没有向量场