广东省汕头市潮南阳光实验学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

2023-2024学年度第一学期期末试卷八年级数学（时间：120分钟分值：120分）一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1．下列各式：，，，，其中分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列运算一定正确的是（

）A． B． C． D．3．一个正多边形的每一个内角是，则从这个正多边形的一个顶点出发可作（

）条对角线．A．5 B．4 C．3 D．24．若，则的值为（）A． B． C． D．25．在直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为（

）A． B． C． D．6．“某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（）A．每天比原计划多修，结果延期10天完成B．每天比原计划多修，结果提前10天完成C．每天比原计划少修，结果延期10天完成D．每天比原计划少修，结果提前10天完成7．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（）A． B．C． D．8．关于x的方程＝1的解为正数，则a的取值范围是A．a＞－2 B．a＞－2且a≠－1 C．a＞2 D．a＞2且a≠39．如图，已知，若点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，…，以此类推，则的度数是（）A． B． C． D．10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共7题，每题4分，共28分）11．如图，在正六边形中，的延长线与的延长线交于点，则的度数为．12．一种流感病毒的直径约为0.00000056米，数0.00000056用科学记数法表示为。13．若分解因式的结果是，则的值为．14．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据运算法则求出等式中x的值．若，那么x＝．15．如图，等边△ABC中，点分别在上，且，连接交于点，则的度数为．16．如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是.（用含的式子表示）17．如图，一面镜子斜固定在地面上，且点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为．三、解答题（共3题，每题6分，共18分）18．计算：(1)因式分解：；(2)解方程：．19．下面是一位同学化简代数式的解答过程：解：原式

①

②

③(1)这位同学的解答，在第_______步出现错误．(2)请你写出正确的解答过程，并求出当时，原式的值．20．如图，，，点是，的交点，过点作于点．(1)求证：；(2)若，求的长．四、解答题（共3题，每题8分，共24分）21．如图，的三个顶点的坐标分别为、、．(1)画出关于轴对称的（点、、关于轴的对称点分别为、、），并直接写出点、、的坐标；(2)若连接、，则四边形的面积为__________；22．某市某学校2018年在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.（1）求购买一个甲种足球，一个乙种足球各需多少元？（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，如果此次购买甲，乙两种足球的费用不超过2950元，那么这所学校买多少个乙种足球？23．已知一个多边形的边数为．(1)若，求这个多边形的内角和；(2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的倍多，求这个多边形对角线的总条数．五、解答题（共2题，每题10分，共20分）24．如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．请你观察图形，解答下列问题．（1）由尺规作图可证得，依据是____________；（2）求证：；（3）若，，求∠ACB的度数．25．（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断：，，之间的等量关系为；（2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长；（3）如图③，是的中线，是的中线，且，判断线段与线段的数量关系，并证明．

参考答案与解析

1．A【分析】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式；判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式；【详解】是分式的只有：故选：A．2．D【分析】本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘除法法则，根据，，，逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，故A选项不符合题意，，故B选项不符合题意，，故C选项不符合题意，，故D选项符合题意，故选：D．3．A【分析】先求出正多边形的外角，利用外角和除以外角度数，求出正多边形的边数，利用从一顶点对角线条数公式计算即可．【详解】一个正多边形的每一个内角是，一个正多边形的每一个外角是180º-135º=45º，正多边形的边数：360÷45=8，从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作对角线的条数为：8−3=5，故选择：A．【点睛】本题考查了多边形的对角线,多边形内角与外角的关系，利用多边形外角和除以外角的度数可得正多边形的边数，会利用边数减3解决问题是关键．.4．C【分析】根据分式的特点将化简为6x=5y，然后左右两边同时除以3化为的形式，最后系数化1即可求解．【详解】解：根据题意，将分式化简为6x=5y∴故答案为：C．【点睛】本题主要考查分式的化简以及分式变形，解题关键是对分式定义和性质的理解．5．A【分析】先根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出的坐标，再根据点坐标平移规律求出的坐标即可．【详解】解：∵点关于x轴的对称点为，∴的坐标为，∵将点向左平移3个单位得到点，∴的坐标为，即，故选A．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移和轴对称，正确求出的坐标是解题的关键．6．B【分析】本题主要考查分式的实际运用．根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解．【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修，∵方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．故选：B．7．C【分析】本题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．直接利用因式分解的定义分析得出答案．【详解】A、，是多项式乘以单项式，故此选项错误；B、不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、，从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；D、，不符合因式分解的定义，故此选项错误．故选：C．8．B【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整数方程的解，由分式方程的解为正数和原方程最简公分母≠0，确定出a的范围即可．【详解】解：去分母得：a+1=x-1，解得：x=a+2，由分式方程的解为正数，得到a+2＞0且a+2≠1，解得：a＞-2且a≠-1．故选：B．【点睛】本题考查分式方程的解，表示出方程的解，建立关于a的不等式是求解本题的关键．9．B【分析】此题考查了三角形的外角的性质、三角形的内角和定理以及角平分线定义，由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律，注意三角形外角与内角之间的联系是解题的关键．【详解】解：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，同理，同理：，，由此可发现规律，∴，故选：．10．D【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质及角平分线的定义可以得到②正确；由直角三角形的性质和角平分线定义可以得到③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF正确．【详解】解：由已知可得：∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故①正确；∵EFBC，∴∠AEF=∠ABC，∴∠EBO=∠AEF，故②正确；由已知得：∠OCB=∠OCD，∴∠DOC+∠OCB＝∠DOC+∠OCD＝90°，故③正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON＝OD＝OM＝m，∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF=AE⋅OM+AF⋅OD=OD⋅(AE+AF)=mn，故④正确；故选D．【点睛】本题考查角平分线的综合应用，熟练掌握角平分线的定义及性质定理、三角形内角和定理、直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积的求法是解题关键．11．30度##【分析】根据正六边形可得，，从而得到，，得到，根据三角形内外角和关系即可得到答案；【详解】解：∵六边形是正六边形，∴，，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查正六边形的性质，三角形内外角关系，解题的关键根据正六边形得到相应角度的关系．12．【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】数0.00000056用科学记数法表示为．故答案为：．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则把展开进而求出m、n的值，然后代值计算即可．【详解】解：，∵分解因式的结果是，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．14．-2【分析】根据题意，将化为，解方程即可．【详解】解：，∴，即，解得，经检验，是原方程的解．故答案为．【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意将二阶行列式转化为分式方程是解题关键，注意分式方程解得后，需要检验．15．120°【分析】易证△ABN≌△BCM，可得∠ABN=∠BCM，从而有∠OBC+∠OCB=60°，根据三角形内角和定理即可得到结论．【详解】在△ABN和△BCM中，∵，∴△ABN≌△BCM，∴∠ABN=∠BCM，∴∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABN=60°，∴∠BOC=180°－（∠OBC+∠OCB）=180°－60°=120°．故答案为120°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．16．【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明BD：DC=2：3，设△ABC的面积为S．则S△ADC=S，S△BEC=S，构建方程即可解决问题；【详解】解：作于，于平分，于，于，，设的面积为.则，，的面积比的面积大，的面积比的面积大，，.【点睛】此题考查三角形的面积，角平分线的性质定理，三角形的中线，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．17．【分析】作出PD关于直线OA对称的线段，所以最短路线为三点共线且时最短，过P作好垂线构建矩形，再利用等腰三角形的性质可得答案．【详解】解：作点关于的对称点，当时，光线经过的路径长最短，∴，作于F，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴为等边三角形，∴，∴．故答案为4．18．(1)(2)【分析】本题考查了因式分解，解方式方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．（1）先提取公因式，再用平方差公式分解；（2）去分母化为整式方程求解即可．【详解】（1）；（2）两边都乘以，得解得，检验：当时，，∴是原方程的解．19．(1)①(2)，．【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】（1）解：第①步出现错误，故答案为：①；（2）解：，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．20．(1)见解析；(2)16【分析】（1）证明，可得，即可解答．（2）根据等腰三角形的性质，可得，即可解答．【详解】（1）证明：在与中，，，，；（2）解：由（1）知，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟知性质是解题的关键．21．(1)见解析(2)12【分析】（1）本题主要考查在平面直角坐标系中点关于坐标轴对称的问题，解答本题的关键在于掌握点关于坐标轴对称的点的特征．（2）本题主要考查在平面直角坐标系中求面积，用坐标表示出四边形的边长即可求解．【详解】（1）解：点关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得、、．在平面直角坐标系中描出，如图：（2）连接、，如图，∵，∴四边形为矩形，又∵，，∴．22．（1）买一个甲足球需要50元，买一个乙足球需要70元；（2）最多可以买22个乙足球．【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，根据：购买足球数=，购买甲种足球的数量=2×购买乙种足球数量，列出方程求解即可；（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，根据：购买甲足球费用+购买乙足球费用≤2950，列出不等式，求解得结论．【详解】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，由=2×，解得：x=50经检验x=50是原方程的解，所以50+20=70（元）答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元．（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，则购买（50-y）个甲种足球，50×（50-y）+70y≤2950，解得：y≤22.5，因为y是正整数，所以y=22．由题意可得，最多可购买22个乙种足球．答：这所学校最多可购买22个乙种足球．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．理解题意，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．解分式方程注意验根．23．(1)；(2)．【分析】（）直接根据多边形的内角和公式计算即可求解；（）根据题意，求出每个外角的度数，再用外角和除以外角的度数得到边数，代入多边形对角线的总条数计算公式求解即可；本题考查了求多边形内角和，求多边形对角线的总条数，掌握多边形内角和计算公式和多边形对角线的总条数计算公式是解题的关键．【详解】（1）解：多边形的内角和，答：这个多边形的内角和为；（2）解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，，解得，∴，∴这个多边形对角线的总条数，答：这个多边形对角线的总条数为．24．（1）SSS；（2）见解析；