安徽省淮南市寿县广岩初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

2023-2024学年度九年级第一学期期末质量监测数学·试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．二次函数y＝﹣（x＋2）2＋1的顶点坐标是（

）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）2．若，则的值为（）A． B． C． D．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

4．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为144．AE＝13．则DE的长为（）A．2 B． C．4 D．56．若函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，sinB=，tanC=2，AB=3，则AC的长为（

）

A． B． C． D．29．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于(

)A．55° B．70° C．110° D．125°10．如图，二次函数图象与x轴交于，对称轴为直线，与y轴的交点B在和（不包括这两个点），下列结论：①当时，；②；③当时，；④．其中正确的结论是（

）．

A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若点在反比例函数的图像上，则a的值为．12．小明沿着坡度为的坡面向上走了米，此时小明上升的垂直高度为米．13．如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则圆O的半径为．14．抛物线的顶点坐标为．（1）：（2）若抛物线向下平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：sin230°+tan60°•tan30°﹣cos245°．16．已知抛物线（为常数）．（1）若抛物线与轴只有一个公共点，求的值；（2）点与在抛物线上，求的值．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数图象交于点A和点B，两个点的横坐标分别为2、﹣3．（1）求反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出点P的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，-4)，B(3，-3)，C(1，-1)．(1)将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；(2)请将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）19．我国首艘国产航母“山东”号是保障国土安全，维护祖国统的又一利器．如图，一架歼15舰载机在航母正后方A点准备降落，此时在A测得航母舰首B的俯角为11.3°，舰尾C的俯角为14°，如果航空母舰长为315米且B比C高出10米，求舰载机相对舰尾C的高度（参考数据：sinl1.3°=0.22，sin14°=0.24，tanl1.3°=0.2，tan14°=0.25）20．如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE=5，EF=12，求BF的长．六、（本题满分12分）21．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，F是线段BD上一点，连接CF并延长CF，与AB交于点E，CF＝BF．（1）求证：CE⊥AB；（2）若CE＝12，BE＝8，求AB的长．七、（本题满分12分）22．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本．(1)求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；(2)如果该企业要使每天的销售利润不低于元，且每天的总成本不超过元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）八、（本题满分14分）23．如图，在中，，AC=BC=2，M是边AC的中点，于H.（1）求MH的长度；（2）求证：；（3）若D是边AB上的点，且为等腰三角形，直接写出AD的长.

参考答案与解析

1．B【分析】根据二次函数的性质直接求解．【详解】解：二次函数y＝﹣（x＋2）2＋1的顶点坐标是(﹣2，1)．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确掌握知识点是解题的关键.2．C【分析】根据等式的性质求出，代入所求式子中，即可求出答案．【详解】∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了等式的性质，分式的求值，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．3．B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．4．D【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=.故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．5．D【分析】由旋转性质得△ABF≌△ADE，再根据全等三角形的性质得到S正方形ABCD=S四边形AECF=144进而求得AD=12，再利用勾股定理求解DE即可．【详解】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△ADE，∴S△ABF=S△ADE，∴S正方形ABCD=S四边形AECF=144，∴AD=12，在Rt△ADE中，AE=13，AD=12，由勾股定理得：=5，故选：D．【点睛】本题考查旋转性质、全等三角形的性质、正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握旋转性质，得出S正方形ABCD=S四边形AECF是解答的关键．6．D【分析】根据已知函数y＝x2−2x＋b的图象与x轴有两个交点得出△＞0，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵函数y＝x2−2x＋b的图象与x轴有两个交点，∴方程x2−2x＋b＝0有两个不相等的实数根，即△＝（−2）2−4×1×b＝4−4b＞0，解得：b＜1，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题和解一元一次不等式，能根据题意得出不等式是解此题的关键．7．B【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【详解】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM=BM，∵AB=6，∴AM=3，在Rt△AOM中，；此时OM最短，所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（^$^$）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．8．B【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．9．B【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．故选B．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．10．B【分析】①先由抛物线的对称性求得抛物线与轴另一个交点的坐标为，从而可知当当时，；②设抛物线的解析式为，则，令得：．由抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两个点），可知；③由二次函数的最大值是，从而可知．④由，，从而求得．【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴令一个交点的坐标为，当时，，故①正确；②设抛物线的解析式为，则，令得：．抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两个点），．解得：，故②正确；③当时，函数有最大值，即，，故③正确；④，，，故④错误，综上分析可知，正确的有①②③．故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．11．3【分析】本题主要考查了求反比例函数值，根据反比例函数图象上的点一定满足其解析式，把点A坐标代入反比例函数解析式中求出a的值即可．【详解】解：把代入中得：，故答案为：3．12．【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据坡度求出坡角的度数，再根据坡角的正弦值即可求解，掌握坡度、坡角的定义是解题的关键．【详解】解：设坡角的度数为，∵坡度为，∴，∴，∴，∴垂直高度米，故答案为：．13．2【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，由勾股定理可计算出AC的长，根据面积关系，即可求得半径．【详解】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF∵⊙O为的内切圆，切点分别为D、E、F∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF在Rt△ABC中，由勾股定理得∴∵∴即∴OD=2即⊙O的半径为2故答案为：2【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理，图形的面积等知识，利用面积关系解答是关键．14．1【分析】（1）根据抛物线对称轴公式求解即可；（2）根据抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标结合图象求解．本题考查二次函数的图象性质，解题的关键是根据题意作出图象，根据二次函数的图象与现在求解．【详解】（1）抛物线的对称轴是直线．∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的对称轴是直线．∴．则．故答案为：1；（2）由（1）知抛物线的解析式为，平移后抛物线解析式为，如图，当直线与抛物线交点在x轴上方，直线与抛物线交点在x轴上或x轴下方满足题意．即，解得．故答案为：．15．．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．【详解】解：原式＝＝＝．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．16．（1）或；（2）4【分析】（1）根据题意得，即可求解；（2）将P（1，b），Q（3，b）代入抛物线表达式，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得，解得或；（2），在抛物线上，，解得：，【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．17．（1）；（2）点P的坐标是（0，3）或（0，﹣1）．【分析】（1）把点A和点B的横坐标代入一次函数解析式，得出A、B两点的坐标，进而得出反比例函数的解析式；（2）由一次函数解析式可以求得点C的坐标，然后根据三角形的面积公式来求点P的坐标．【详解】（1）∵y＝x+1，点A和点B的横坐标分别为2、﹣3，∴A（2，3），B（﹣3，﹣2），∴反比例函数的解析式为；（2）∵y＝x+1，∴C（0，1），∵△PAB的面积等于5，∴，解得：PC＝2，∴点P的坐标是（0，3）或（0，﹣1）．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用函数图象上点的坐标特征求得相关点的坐标，然后由坐标与图形的性质得到相关线段的长度是解题的关键．18．(1)画图见解析(2)画图见解析【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、CABC绕点O顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．19．舰载机相对舰尾C的高度为365米【分析】根据题意，将题中描述转化为数学语音，根据两直线平行内错角相等得到度数，再利用直角三角函数求解即可．【详解】如图，过A点作过B点的水平直线的垂线，它们相交于D点，延长AD与过C点的水平直线交于E点，那么线段AE的长度即为舰载机相对舰尾C的高度，再过A点的水平直线上取一点F，则AFBDCE，∴∠ABD=∠BAF，∠ACE=∠CAF，∠AEC=∠ADB=90°，∵由题意，可得∠BAF=11.3°，∠CAF=14°，∴∠ABD=11.3°，∠ACE=14°，设AE=x米，则AD=（x－10）米，∵在Rt△AEC中，tan∠ACE=，∴CE=（米）∵航空母舰的长为315米，∴BD＝4x＋315（米），∵在RtΔABD中，tan∠ABD＝∴tan11.3°=即，解得：x＝365经检验，x＝365使方程成立并且符合题意，则舰载机相对舰尾C的高度为365米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．20．（1）证明见解析；（2）BF=.【分析】（1）连接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）在Rt△AEF中，根据勾股定理求得AF=13，设⊙O的半径为r，则有OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，通过证明△OFD∽△AFE，根据相似三角形对应边成比例进而求得r的值即可得..【详解】解：（1）如图，∵DE⊥AC，∴∠AEF=90°连接OD，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB，∴∠DAE=∠ODA，∴OD∥AE，∴∠ODF=∠AEF=90°，∴OD⊥EF，∵点D在⊙O上，∴ED是⊙O的切线；（2）在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AF==13，设⊙O的半径为r，∴OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，由（1）知，OD∥AE，∴△OFD∽△AFE，∴，∴，∴r=，∴BF=13﹣r=.21．（1）见解析；（2）26【分析】（1）由C是的中点，可推出∠BAC=∠DBC，由CF=BF，可得∠FBC=∠BCF，则∠BAC=∠BCF，由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCF=90°，则∠ACF+∠BAC=90°，即可推出∠AEC=90°，即CE⊥AB；（2）连接OC，设⊙O的半径为，则OC=OB=，OE=OB-BE=-8，由（1）知，∠OEC=90°，则在Rt△OCE中，，，由此求解即可．【详解】解：（1）证明：∵C是的中点，∴，∴∠BAC=∠DBC，∵CF=BF，∴∠FBC=∠BCF，∴∠BAC=∠BCF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF+∠BAC=90°，∴∠AEC=90°，即CE⊥AB；（2）连接OC，设⊙O的半径为，则OC=OB=，OE=OB-BE=-8，由（1）知，