高考数学大二轮复习 能力升级练（二）平面向量与复数 理-人教版高三数学试题

能力升级练(二)平面向量与复数一、选择题1.下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2 B.i2(1-i)C.(1+i)2 D.i(1+i)解析i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数,排除A;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,排除B;(1+i)2=2i,2i是纯虚数.故选C.答案C2.设z=11+i+i(i为虚数单位),则|z|=(A.12 B.22 C.解析因为z=11+i+i=1-i(1+i)(1-i)+i答案B3.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是()A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·a解析对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.答案B4.(2019北京通州二模)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|b|=1,|2a-b|=1,则|a|=()A.12 B.1 C.2解析由题意得a·b=|a|×1×12=|a|2,又|∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4|a|2-2|a|+1=1,即4|a|2-2|a|=0,又|a|≠0,解得|a|=12答案A5.(2019河北石家庄二模)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为()A.π3 B.2π3 C.5π解析设|b|=1,则|a+b|=|a-b|=2.由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,故以a、b为邻边的平行四边形是矩形,且|a|=3,设向量a+b与a的夹角为θ,则cosθ=a·(a+b)|答案D6.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(1,m),若实数λ满足a+b=λc,则λ+m等于()A.5 B.6 C.7 D.8解析由题意知(5,5)=(λ,λm),即λ=5,λm答案B7.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=(A.BC B.12AD C.AD解析如图,EB+FC=EC+CB答案C8.(2019河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λμ=(A.233 B.33解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为∠DAB=60°,所以设D点的坐标为(m,3m)(m≠0).AD=(m,3m)=λAB+μAC=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),则λ=m,且μ=32m所以λμ答案A9.(2019福建普通高中质量检查)若复数z满足(1+i)z=|3+i|,则在复平面内,z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由题意,得z=(3)2+121+i=2(答案A二、填空题10.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.

解析∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则得λ=μ,1=2答案111.(2019陕西西安八校联考)若a+bii(a,b∈R)与(2-i)2解析∵a+bii=(a+bi)(-i)-i2=b-ai,(2-i)2=4-4i-1=3-4i,a+bii答案-712.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b),若A,B,C三点共线,则a,b的关系式为.

解析由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,b-1),∵A,B,C三点共线,∴AB∥AC.∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.答案a+b=213.(2019广东佛山二模)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D为BC的中点,E在斜边AC上,若AE=2EC,则DE·AC=.

解析如图,以B为坐标原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),所以AC=(-1,2).因为D为BC的中点,所以D(0,1),因为AE=2EC,所以E13所以DE=13,13,所以DE·AC答案1三、解答题14.计算1+i1解原式=(=i6+6=-1+i.15.(2019山东潍坊摸底)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cosB,-sinB),且m·n=-35(1)求sinA的值;(2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA在BC解(1)由m·n=-35得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35所以cosA=-35.因为0<A<所以s