2023-2024学年西南大学附中高二数学下期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年西南大学附中高二数学下期期中考试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若随机变量服从正态分布，，则实数等于（

）A． B．0 C．1 D．22．已知函数的定义域内R，则实数m的取值范围是（

）A．B．C．D．3．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为.已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（

）A．162 B．166 C．170 D．1744．将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为（）A． B． C． D．5．已知函数满足，且的导函数，则的解集为A． B． C． D．6．若某射击手每次射击击中目标的概率为（），每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则的值为（

）A． B． C． D．7．定义；各位数字之和为9的四位数叫“好运数”，比如1008，2205，则所有“好运数”的个数为（

）A．165 B．162 C．156 D．1448．已知函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，且，则（

）A． B． C． D．二、多项选择题；本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的是（

）A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B．某人解答5个问题，答对题数为X，若，则C．在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等D．已知一系列样本点（，2，3…）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则10．已知函数，则（

）A．有两个极值点，B．有三个零点C．点是的对称中心D．在区间上有最大值，则a的取值范围为11．现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（

）A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是B．第二次抽到红球的概率是C．如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为D．小明获得块月饼的概率是三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．从名男生和名女生中，选出名代表，要求名代表中既有男生又有女生的选法有种.13．的展开式中项的系数为.14．已知关于x的不等式在上有解.则实数k的取值范围为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式以及前项和；(2)若，求数列的前项和.16．某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供4种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4，每个学生只能从4种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：课程数学1数学2数学3数学4合计选课人数3605405403601800用分层抽样的方法从这1800名学生中插取10人进行分析.(1)选出的10名学生中，选择数学1、数学2、数学3、数学4的各有几人？从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；(2)从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为，选择数学1的人数为，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.17．已知椭圆E：（），经过点，离心率为，圆O以椭圆的短轴为直径.(1)求椭圆E的标准方程和圆O的方程；(2)设P为椭圆的左顶点，过点P作两条相互垂直的直线，，设直线与椭圆E的另一个交点为Q，直线交圆O于A，B两点，求面积的最大值.18．已知函数.(1)若，求函数在处的切线方程；(2)若函数在上单调递减，求的取值范围；(3)若函数有两个极值点，，求证：.19．阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：知识卡片1：一般地，如果两数在区间上的图象连续不断，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点（，2，…，n），作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数的图象连续不断且恒有，那么定积分表示由直线，，和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积.知识卡片2：一般地，如果在区间上的图象连续不断，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如，如图所示，对于函数（），从几何上看，定积分的值为由直线，，和曲线所围成的区域即曲边梯形的面积，根据微积分基本定理可得.(1)求下列定积分：①；②；③；④.(2)已知，计算：①；②(3)当，时，有如下表达式：.计算：1．B【分析】根据正态分布的对称性计算．【详解】由题意，解得．故选：B．2．D【分析】根据函数的解析式可得分母不为0，等价于函数的图象与轴没有交点，利用导数求的最值可得出实数m的取值范围．【详解】函数的定义域内R，则恒成立，令，则，时，；时，，在上单调递减，在上单调递增，，时，，则有，得，所以实数m的取值范围是.故选：D3．B【分析】根据样本中心落在回归方程上，由已知条件求得，进而求得回归方程，令，则可以估计该学生的身高.【详解】根据题意，得，，，由在上，得，即，故，令，得，即该学生身高约为166cm.故选：B.4．D【分析】先求出将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人共有多少种分法，再求出甲、乙、丙分到同一个地区的分法数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则有3人分到一个地区，分配方法共有种，其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有，故所求的概率为，故选：D5．D【详解】试题分析：令，则，所以函数在定义域上为单调递减函数，因为，所以，即，根据函数在定义域上单调递减，可知，故选D.考点：函数的单调性与导数的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数，利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.6．D【分析】根据条件，利用次相互独立重复试验恰好发生次的概率公式，即可求出结果.【详解】因为射击手每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果相互独立，由题可得，即，解得或（舍），故选：D.7．A【分析】根据定义分类讨论首位数字，结合计数原理计算即可.【详解】因为各位数字之和为9的四位数叫好运数，所以按首位数字分别计算：当首位数字为9，则剩余三个数字分别为0，0，0，共有1个好运数；当首位数字为8，则剩余三个数字分别为1，0，0，共有3个好运数；当首位数字为7，则剩余三个数字分别为1，1，0或2，0，0，共有个好运数；当首位数字为6，则剩余三个数字分别为3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有个好运数；当首位数字为5，则剩余三个数字分别为4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，共有个好运数；当首位数字为4，则剩余三个数字分别为5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，共有个好运数；当首位数字为3，则剩余三个数字分别为6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，共有个好运数；当首位数字为2，则剩余三个数字分别为7，0，0或6，1，0或5，2，0或5，1，1或4，3，0或4，2，1或3，3，1或3，2，2，共有个好运数；当首位数字为1，则剩余三个数字分别为8，0，0或7，1，0或6，2，0或6，1，1或5，3，0或5，2，1或4，4，0或4，3，1或4，2，2或3，3，2，共有个好运数；所以共有个好运数.故选：A.8．A【分析】根据条件得到，，从而得出函数是周期为的周期函数，再根据条件得到，即可求出结果.【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称，即，由题知，又是偶函数，所以，则，则，又，所以，得到，所以，又由，得到，所以①，②，由①②得到，所以函数是周期为的周期函数，由①得到，又，所以，故，故选：A.9．BC【分析】计算第40百分位数判断选项A；计算二项分布的方差判断选项B；由二项展开式中各项系数和与所有项二项式系数和的计算判断选项C；由残差的计算验证选项D.【详解】对于A，这组数据共10个，，则第40百分位数为，A选项错误；对于B，若，则，B选项正确；对于C，在的展开式中，所有项二项式系数和为，令，各项系数和为，即各项系数和与所有项二项式系数和相等，C选项正确；对于D，样本点与的残差相等，则有，得，D选项错误.故选：BC.10．BCD【分析】求导，令导函数为0得到其极值点即可判断A，求出其极值大小即可得到其零点个数，则判断B，计算即可判断C，作出函数图象，则得到不等式组，解出即可判断D.【详解】对于A，令，解得，当时，，当，，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，所以有两个极值点，故A错误；对于B，由A知，即三次函数的极大值大于0，极小值小于0，从而有三个零点，故B正确；对于C，因为，则点是的对称中心，故C正确；对于D，因为，结合函数图象，所以，故D正确.

故选：BCD.11．ACD【分析】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，，选项A，根据条件，利用条件概率公式，即可求出结果；选项B，先求出，，，，再利用全概率公式即可求出结果；选项C，利用条件概率公式及选项B中结果，即可求出结果；选项D，分三种情况讨论，分别求出对应概率，即可求出结果.【详解】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，，对于选项A，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是，所以选项A正确；对于选项B，因为，又，，，由全概率公式知，所以选项B错误，对于选项C，如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为，所以选项C正确，对于选项D，若小明获得块月饼可能的情况有三种：①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为，②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为，③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为，所以小明获得块月饼的概率是，故选项D正确，故选：ACD.12．【分析】根据条件，利用分类、分步计数原理及组合，即可求出结果.【详解】名代表中医有名男生，名女生的选法有，名代表中医有名男生，名女生的选法有，所以名代表中既有男生又有女生的选法有，故答案为：.13．【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为，其中展开式的通项为（且），所以的展开式中含项为，所以展开式中项的系数为.故答案为：14．【分析】利用切线不等式得，题目转化为在上有解，再分离参数得，最后设形函数，求导得到其最大值即可得到的范围.【详解】设，，则，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；则，则在上恒成立，即恒成立，即恒成立，则由切线不等式，当且仅当时取等，知，当且仅当时，取等，从而在上有解等价与在上有解，等价于在上有解，令，则当时，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，时，；时，，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用切线不等式得到，当且仅当时等号成立，再利用分离参数得到，再设新函数，利用导数得到其最值即可.15．(1)，(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式及求和公式得到关于与的方程组，解得与，即可求出通项公式与；（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，所以，所以；（2）由（1）可得，所以，则，所以，所以.16．(1)人，人，人，人；(2)分布列见解析，【分析】（1）按照分层抽样规则求出各组的人数，再由古典概型的概率公式计算可得.（2）依题意的可能取值为，，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；【详解】（1）依题意选择数学的有人，选择数学的有人，选择数学的有人，选择数学的有人，从人中选人共有种选法，有人选择数学的选法共有种，有3人选择数学的选法有种，所以至少有人选择数学的概率．（2）依题意的可能取值为，，，，，，所以，，，，，，所以的分布列为：所以.17．(1)椭圆方程为，圆的方程为(2)【分析】（1）根据点在椭圆上，以及离心率公式即可列方程组求解，根据圆心和半径即可求解圆的方程，（2）根据垂直关系可得两直线的方程，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得，进而根据点到直线距离公式可得到直线的距离为，根据圆的弦长公式可得，即可根据三角形面积公式得表达式为，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解最值.【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为，圆的方程为（2）,由题意可知直线，均有斜率，且不为0，设直线方程为：，则:，联立，设，则，进而可得，故,则点到直线的距离为，而，故令，则，所以，故当即时，面积取最大值，此时圆心到直线的距离，直线与圆有两个不同的交点，满足题意，故面积最大值为,【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将的面积用k表示出来，然后再利用二次函数的性质求解．18．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（2）依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合二次函数的性质计算可得；（3）先利用导数研究有两个极值点的条件，得到的取值范围，同时利用韦达定理得到两极值点的和与积的值，然后得到两极值的和关于的函数表达式，将要证不等式转化为关于实数的等式，构造函数，利用导数研究其单调性，结合零点存在定理研究最值，从而证明原不等式.【详解】（1）当时，则，又，则，所以函数在处的切线方程为，即；（2）因为的定义域为，又，依题意在上恒成立，即在上恒成立，即在上