2023-2024学年人教A版必修第二册 7-1-1　数系的扩充和复数的概念 学案

7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念新课程标准解读核心素养1.通过方程的解，了解引进复数的必要性数学抽象2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件逻辑推理数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解.问题我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？

知识点一复数的有关概念1.复数（1）定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.复数a＋bi的实部是a，虚部是b；（2）表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R）.2.复数集（1）定义：全体复数构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫做复数集；（2）表示：用符号C表示.1.复数m＋ni（m，n∈R）的实部是m，虚部是ni，对吗？提示：不对.2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以是实数吗？满足什么条件？提示：b＝0时，复数为实数.知识点二复数的分类1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下：复数实数（2.集合表示：知识点三复数相等设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.提醒在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立.1.已知复数z满足z＝2－i，则复数z的虚部是（）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：B由题意，复数z满足z＝2－i，根据复数的概念，可得复数z的虚部为－1.故选B.2.在2＋7，27i，8＋5i，（1－3）i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为（A.0 B.1C.2 D.3解析：C27i，（1－3）i是纯虚数，2＋7，0.618是实数，8＋5i是虚数.故纯虚数的个数为3.若（x－2y）i＝2x＋1＋3i，则实数x－y＝.

解析：∵（x－2y）i＝2x＋1＋3i，∴2x+1=0，x－2y=3，解得x＝－1答案：5题型一复数的概念【例1】（1）说出下列复数的实部和虚部：－2＋13i，2＋i，22，－3i，i，（2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系.解（1）－2＋13i，2＋i，22，－3i，i，0的实部分别为－2，2，22，0，0，0；虚部分别为13，1，0，－3（2）根据各数集的含义可知，N*⫋N⫋Z⫋Q⫋R⫋C.通性通法复数概念的几个关注点（1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b；（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；（3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则是不能比较大小的.1.已知复数z＝－15＋25i（i为虚数单位），则z的虚部为（A.－15B.25i C.25解析：Cz＝－15＋25i的虚部为252.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（）A.A⫋B⫋C B.B⫋A⫋CC.B⫋C⫋A D.A⫋C⫋B解析：B根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B.题型二复数的分类【例2】当m为何实数时，复数z＝m2－m－6m+3＋（m2－2（1）虚数；（2）纯虚数.解（1）当m+3≠0，m2－2m－15≠0，（2）当m2－m－6m+3=0，m2－1.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，复数z为实数？解：当m+3≠0，m2－2m2.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0.解：因为z＞0，所以z为实数，需满足m2－m通性通法解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部；（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可；（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）：①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.1.若复数z＝（x2－100）＋（x－10）i为纯虚数，则实数x＝（）A.－10 B.10C.100 D.－10或10解析：A∵z为纯虚数，∴x2－100＝0同时x－10≠0，∴x＝－10，故选A.2.若复数z＝（m＋2）＋（m2－9）i（m∈R）是正实数，则实数m＝.

解析：因为复数z＝（m＋2）＋（m2－9）i（m∈R）是正实数，由m2－9＝0，解得m＝3或m＝－3，当m＝3时，m＋2＝5∈R＋，符合题意；当m＝－3时，m＋2＝－1，不符合题意，所以实数m的值为3.答案：3题型三两个复数相等【例3】（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值；（2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值.解（1）由已知得m解得m＝－2.（2）因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R，依题意，得x解得x=3，通性通法复数相等问题的解题技巧（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.1.设a，b为实数，若复数a＋1＋bi＝1＋i，则（）A.a＝1，b＝1 B.a＝3，b＝1C.a＝0，b＝1 D.a＝1，b＝3解析：C由a＋1＋bi＝1＋i可得a+1=1，b=12.若实数x，y满足（x＋y）＋（x－y）i＝2，则xy＝.

解析：由（x＋y）＋（x－y）i＝2（x，y∈R）得x＋y=2，x答案：11.设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（）A.－1 B.1C.5 D.7解析：A由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和为－1.故选A.2.已知a∈R，若复数z＝a2＋2a＋ai是纯虚数，则a＝（）A.0 B.2C.－1 D.－2解析：D因为z＝a2＋2a＋ai是纯虚数，所以a2+2a=0，a≠3.下列命题中，真命题的个数是（）①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A.0 B.1C.2 D.3解析：A①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题；②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题；③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.4.设a∈R，1＋a2