2023-2024学年人教A版必修第二册 8-5-3　第一课时　平面与平面平行的判定 学案

8.5.3平面与平面平行第一课时平面与平面平行的判定新课程标准解读核心素养1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，并加以证明逻辑推理2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行直观想象上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层.问题展馆的每两层所在的平面有什么位置关系？你是依据什么判断的？

知识点平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言提醒判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面β内两条相交直线a，b，即a⊂β，b⊂β，a∩b＝P；②两条相交直线a，b都与平面α平行，即a∥α，b∥α.1.在正方体中，相互平行的面不会是（）A.前后相对侧面B.上下相对底面C.左右相对侧面 D.相邻的侧面解析：D由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.2.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是（）A.平行 B.相交C.平行或相交 D.以上都不对解析：C由图①和图②可知，α与β平行或相交.3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有对.

解析：相对的两个侧面以及上下两底面相互平行，所以六棱柱的面中互相平行的有4对.答案：4题型一平面与平面平行判定定理的理解【例1】已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（）A.平面α内有一条直线与平面β平行B.平面α内有两条直线与平面β平行C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D.平面α与平面β不相交解析选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面（不重合）的位置关系只有相交与平行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行.故选D.答案D通性通法平面与平面平行的判定方法（1）定义法：两个平面没有公共点；（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；（3）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.下列命题正确的是（）A.一个平面内两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行D.如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行解析：B对于A、C、D选项，两个平面均有可能相交，而对于B选项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故A、C、D错误，B正确.题型二平面与平面平行的证明【例2】如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；（2）若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.证明（1）因为B1BDD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.（2）由BD∥B1D1，BD⊄平面EB1D1，B1D1⊂平面EB1D1，得BD∥平面EB1D1.如图，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD，又因为GF＝AD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，又DF⊄平面EB1D1，B1E⊂平面EB1D1，所以DF∥平面EB1D1.又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.（变条件，变设问）把本例（2）的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝14A1A”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD解：当F满足CF＝14CC1时，两平面平行，下面给出证明如图，在D1D上取点M，且DM＝14DD1连接AM，FM，则AED1M，从而四边形AMD1E是平行四边形，所以D1E∥AM.同理，FMCD，又因为ABCD，所以FMAB，从而四边形FMAB是平行四边形，所以AM∥BF，即有D1E∥BF.又BF⊂平面FBD，D1E⊄平面FBD，所以D1E∥平面FBD.又B1BD1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形，故B1D1∥BD，又BD⊂平面FBD，B1D1⊄平面FBD，从而B1D1∥平面FBD，又D1E∩B1D1＝D1，所以平面EB1D1∥平面FBD.通性通法1.利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤2.转化思想转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG.证明：（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.1.已知α，β是两个不重合的平面，直线a⊂α，命题p：a∥β，命题q：α∥β，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：Ba⊂α，a∥β，α，β可能相交，也可能平行；由面面平行的定义可知，若α∥β且a⊂α，则a∥β.故p是q的必要不充分条件.故选B.2.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在B1D1上，F在A1B1上，且B1EB1F＝B1D1B1A1，过E作EH∥B1B交BD于H，A.平行B.相交C.垂直 D.以上都有可能解析：A在平面A1B1C1D1中，因为B1EB1F＝B1D1B1A1，所以EF∥A1D1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1，所以EF∥B1C1，又因为EH∥B1B，EH⊂平面EFH，EF⊂平面EFH，BB1⊂平面BB1C1C，B1C1⊂平面BB1C1C，EH∩EF＝E，BB1∩B1C1＝B1，3.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是.

解析：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理，可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.答案：平行4.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.证明：在△CEF中，因为